$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Calcul exact d'intégrales

Exercice 1 - Reconnaissance de formes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer une primitive des fonctions suivantes sur l'intervalle considéré : \begin{array}{lll} \mathbf 1.\ f(x)=(3x-1)(3x^2-2x+3)^3,\ I=\mathbb R&\quad&\mathbf 2.\ f(x)=\frac{1-x^2}{(x^3-3x+1)^3},\ I=]-\infty,-2[\\ \mathbf 3.\ f(x)=\frac{(x-1)}{\sqrt{x(x-2)}},\ I=]-\infty,0[&&\mathbf 4.\ f(x)=\frac{1}{x\ln(x^2)},\ I=]1,+\infty[. \end{array}
Indication
Corrigé
Intégration par parties
Enoncé
Soient $u$,$v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $[a,b]$, dont la dérivée est continue.
  1. Démontrer que, pour tout $x\in[a,b]$, on a $$u(x)v'(x)=(uv)'(x)-u'(x)v(x).$$
  2. En déduire que $$\int_a^b u(x)v'(x)dx=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int_a^b u'(x)v(x)dx.$$
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Intégration par parties - Niveau 1 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer les intégrales suivantes : $$\mathbf{1.}\quad I=\int_0^1 xe^xdx\quad\quad\mathbf{2.}\quad J=\int_1^e x^2\ln xdx$$
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Intégration par parties - Niveau 2 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer une primitive des fonctions suivantes : $$\mathbf{1.}\quad x\mapsto\arctan(x)\quad\quad\mathbf{2.}\quad x\mapsto (\ln x)^2\quad\quad\mathbf{3.} x\mapsto \sin(\ln x).$$
Corrigé
Exercice 5 - Intégration par parties - Niveau 3 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer les intégrales suivantes : $$\mathbf{1.}\quad I=\int_0^1 x(\arctan x)^2dx\quad\quad\mathbf{2.}\quad J=\int_0^1 \frac{x\ln x}{(x^2+1)^2}dx$$
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Primitive d'une puissance du logarithme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $n\geq 1$, donner une primitive de $\ln^n x$.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Une suite d'intégrales [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $(\alpha,\beta,n)\in\mathbb R^2\times\mathbb N$. Calculer $$\int_\alpha^\beta(t-\alpha)^n (t-\beta)^n dt.$$
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Une suite d'intégrales [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $(n,p)$ éléments de $\mathbb N^*\times\mathbb N$, on pose $$I_{n,p}=\int_0^1 x^n (\ln x)^p dx.$$ Calculer $I_{n,p}$.
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Intégration par parties itérée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soient $f,g:[a,b]\to\mathbb R$ deux fonctions de classe $C^n$. Montrer que $$\int_{a}^b f^{(n)}g=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k \big(f^{(n-k-1)}(b)g^{(k)}(b)-f^{(n-k-1)}(a)g^{(k)}(a)\big)+(-1)^n \int_a^b fg^{(n)}.$$
  2. Application : On pose $Q_n(x)=(1-x^2)^n$ et $P_n(x)=Q_n^{(n)}(x)$. Justifier que $P_n$ est un polynôme de degré $n$, puis prouver que $\int_{-1}^1 QP_n=0$ pour tout polynôme $Q$ de degré inférieur ou égal à $n-1$.
Indication
Corrigé
Changements de variables
Exercice 10 - Changements de variables - Niveau 1 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
En effectuant un changement de variables, calculer $$\mathbf{1.}\quad \int_1^4\frac{1-\sqrt t}{\sqrt t}dt\quad\quad\mathbf{2.}\quad \int_1^2\frac{e^x}{1+e^x}dx$$
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Changements de variables - Niveau 2 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
En effectuant un changement de variables, calculer $$\mathbf{1.}\quad\int_1^e \frac{(\ln x)^n}xdx,\ n\in\mathbb N\quad\quad \mathbf{2.}\quad F(x)=\int_1^x \frac{e^t}{(3+e^t)\sqrt{e^t-1}}dt,\ x>0$$
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Fonction avec un axe de symétrie [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ continue telle que, pour tout $x\in[a,b]$, on a $f(a+b-x)=f(x)$. Montrer que $$\int_a^b xf(x)dx=\frac{a+b}2\int_a^b f(x)dx.$$ En déduire la valeur de $I=\int_0^\pi \frac{x\sin x}{1+\cos^2x }dx$.
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Changements de variables - Recherche de primitives [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
En effectuant un changement de variables, donner une primitive des fonctions suivantes : $$\mathbf{1.}\quad x\mapsto\frac{\ln x}x\quad\quad\mathbf{2.}\quad x\mapsto\cos(\sqrt x)$$
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Une erreur dans un changement de variables [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On demande de calculer $$I=\int_0^{\pi}\frac{dx}{1+\cos^2(x)}.$$ Sur une copie d'un étudiant, on lit
\begin{eqnarray*} I&=&\int_0^\pi \frac{dx}{1+\frac{1}{1+\tan^2 x}}\\ &=&\int_0^\pi \frac{(1+\tan^2 x)dx}{2+\tan^2 x}. \end{eqnarray*} Je pose $t=\tan x$, d'où $dt=(1+\tan^2 x)dx$, et j'obtiens $$I=\int_{\tan 0}^{\tan \pi}\frac{1}{2+t^2}dt=0.$$
  1. Pourquoi est-ce manifestement faux?
  2. Où est l'erreur de raisonnement?
  3. Quelle est la valeur de $I$?
Indication
Corrigé
Fractions rationnelles
Exercice 15 - Fraction rationnelle avec décomposition en éléments simples [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f(x)=\frac{5x^2+21x+22}{(x-1)(x+3)^2}$, $x\in ]1,+\infty[$.
  1. Démontrer qu'il existe trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que $$\forall x\in ]1,+\infty[,\ f(x)=\frac a{x-1}+\frac b{x+3}+\frac c{(x+3)^2}.$$
  2. En déduire la primitive de $f$ sur $]1,+\infty[$ qui s'annule en 2.
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Primitive de fractions rationnelles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer une primitive des fractions rationnelles suivantes : $$ \begin{array}{lll} \mathbf 1.\ f(x)=\frac{2x^2-3x+4}{(x-1)^2}\textrm{ sur }]1,+\infty[&\quad&\mathbf 2. f(x)=\frac{2x-1}{(x+1)^2}\textrm{ sur }]-1,+\infty[ \\ \mathbf 3.\ f(x)=\frac{x}{(x^2-4)^2}\textrm{ sur }]2,+\infty[&&\mathbf 4. f(x)=\frac{24x^3+18x^2+10x-9}{(3x-1)(2x+1)^2}\textrm{ sur }]-1/2,1/3[ \end{array} $$
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Primitive de fractions rationnelles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Donner une primitive des fonctions suivantes : $$ \begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf{1.}\quad x\mapsto \frac{1}{x^2+4}&\quad\quad&\displaystyle \mathbf{2.}\quad x\mapsto\frac{1}{x^2+4x+5}\\ \displaystyle \mathbf{3.}\quad x\mapsto \frac{1}{1-x^2} \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Donner une primitive des fonctions suivantes : $$ \begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf{1.}\quad x\mapsto \frac{3x+2}{x^2+x+1}&\quad\quad&\displaystyle \mathbf{2.}\quad x\mapsto \frac{2x}{x^2-x+1}\\ \displaystyle \mathbf{3.}\quad x\mapsto \frac{2x+1}{x^2+x-3} \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Primitive de fractions rationnelles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Donner une primitive des fonctions suivantes : $$ \begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf{1.}\quad x\mapsto \frac{1}{x^3-1}&\quad\quad&\displaystyle \mathbf{2.}\quad x\mapsto \frac{x^3+2x}{x^2+x+1}\\ \displaystyle \mathbf{3.}\quad x\mapsto \frac{1}{x^3-7x+6}&\quad\quad&\displaystyle \mathbf{4.}\quad x\mapsto \frac{4x^2}{x^4-1}\\ \end{array} $$
Indication
Corrigé
Enoncé
Pour tout $n\in\mathbb N$, on pose $$I_n=\int_0^1\frac{dx}{(x^2+1)^n}.$$
  1. Exprimer $I_{n+1}$ en fonction de $I_n$ pour tout $n\in\mathbb N$.
  2. En déduire la valeur de $I_3$.
Indication
Corrigé
Avec la fonction exponentielle
Enoncé
Calculer les intégrales suivantes : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf{1.} \int_0^1 e^x(2x^3+3x^2-x+1)dx&\quad&\displaystyle \mathbf{2.} \int_0^{2\pi}e^{-x}\sin^2 xdx\\ \displaystyle \mathbf{3.} \int_0^\pi x^2e^x \cos xdx \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer une primitive des fonctions suivantes : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf{1.}\quad x\mapsto \frac{1}{\cosh x}&\quad\quad&\mathbf{2.}\displaystyle \quad x\mapsto \frac{1}{1+e^x}\\ \displaystyle \mathbf{3.}\quad x\mapsto \frac{\cosh x-1}{\cosh x+1}e^x&\quad\quad&\mathbf{4.}\displaystyle \quad x\mapsto \frac{1}{\cosh x(1+\sinh x)}\\ \end{array}$$
Indication
Corrigé
Intégrales trigonométriques
Exercice 23 - Puissances et produits [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Donner une primitive des fonctions suivantes : $$\mathbf 1.\ x\mapsto\sin^5x\ \ \quad\mathbf2.\ x\mapsto\cos^4 x\sin^2 x\ \ \quad\mathbf3.\ x\mapsto \cos(3x)\cos^3x.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer une primitive de la fonction $\frac 1{\cos^6 x}$ sur l'intervalle $]-\pi/2,\pi/2[$.
Indication
Corrigé
Exercice 25 - Intégrale trigonométrique - 1 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer les intégrales suivantes : $$\mathbf{1.}\ \int_0^{\pi/4}\frac{\sin^3(t)}{1+\cos^2 t}dt\quad\quad\mathbf{2.}\ \int_{\pi/3}^{\pi/2}\frac{dx}{\sin x}\quad\quad\mathbf{3.}\ \int_0^{\pi/3}\big(1+\cos(x)\big)\tan(x)dx.$$
Indication
Corrigé
Exercice 26 - Intégrale trigonométrique - 2 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer les intégrales suivantes : $$\mathbf{1.}\ \int_0^{\pi/4}\frac{\tan x}{\sqrt 2\cos x+2\sin^2 x}dx\quad\quad\mathbf{2.}\ \int_0^{\pi/2}\frac{dx}{2+\sin x}.$$
Indication
Corrigé
Exercice 27 - Intégrale trigonométrique - 3 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer les intégrales suivantes : $$\displaystyle\mathbf{1.}\ \int_0^\pi \frac{1-\cos(x/3)}{\sin(x/2)}dx\quad\quad\mathbf{2.}\ \int_{\pi/3}^{\pi/2}\frac{dx}{\sin x+\sin 2x}.$$
Indication
Corrigé
Intégrales abéliennes
Exercice 28 - Intégrales abéliennes - 1 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer une primitive des fonctions suivantes : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf{1.}\quad x\mapsto \frac{1}{1-\sqrt{x+2}}\quad\quad&\mathbf{2.}\displaystyle \quad x\mapsto \frac{1}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}}\\ \displaystyle \mathbf{3.}\quad x\mapsto\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}. \end{array} $$
Indication
Corrigé
Exercice 29 - Avec une racine carrée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On se propose de calculer $I=\int_1^{5/2}\sqrt{-x^2+2x+8}dx$.
  1. Mettre le trinôme sous forme canonique.
  2. En effectuant deux changements de variable, calculer la valeur de $I$.
Indication
Corrigé
Exercice 30 - Intégrales abéliennes - 2 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer $\int_1^2x\sqrt{x^2-2x+5}dx$.
Indication
Corrigé
En résumé
Exercice 31 - Quelques primitives à savoir calculer! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer une primitive des fonctions suivantes : $$ \begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf{1.}\quad x\mapsto \frac{1}{x^2+4}&\quad\quad&\displaystyle \mathbf{2.}\quad x\mapsto\frac{1}{x^2+4x+5}\\ \displaystyle \mathbf{3.}\quad x\mapsto \frac{1}{1-x^2}&&\displaystyle \mathbf{4.}\quad x\mapsto e^x(2x^3+3x^2-x+1)\\ \displaystyle \mathbf{1.}\quad x\mapsto\sin^5(x)&&\displaystyle \mathbf{6.}\quad x\mapsto \arctan(x) \end{array}$$
Indication
Corrigé