Exercices corrigés - Calcul exact d'intégrales
Reconnaissance de formes
Enoncé
Déterminer toutes les primitives des fonctions suivantes, sur un intervalle bien choisi :
$$\begin{array}{lll}
\displaystyle f_1(x)=5x^3-3x+7&\displaystyle f_2(x)=2\cos(x)-3\sin(x)&\displaystyle f_3(x)=10-3e^x+x\\
\displaystyle f_4(x)=\frac{5}{\sqrt x}+\frac 4x+\frac{2}{x^2}+\frac{2}{x^3}&\displaystyle f_5(x)=\frac{x+5}{x^2}&\displaystyle f_6(x)=\frac{x^2}{5}+\frac 1{6}\\
\end{array}$$
Enoncé
Déterminer toutes les primitives des fonctions suivantes sur un intervalle bien choisi :
$$\begin{array}{lll}
\displaystyle f_1(x)=e^{4x}&\displaystyle f_2(x)=e^{4x+3}& \displaystyle f_3(x)=\sin(2x)\\
\displaystyle f_4(x)=\cos\left(3x+\frac\pi 3\right)&
\displaystyle f_5(x)=(2x+1)^2&\displaystyle f_6(x)=\frac{3}{\sqrt{5x+1}}.
\end{array}$$
Enoncé
Déterminer toutes les primitives des fonctions suivantes :
$$
\begin{array}{lllll}
\displaystyle f(x)=\frac{x}{1+x^2}&\quad&\displaystyle g(x)=\frac{e^{3x}}{1+e^{3x}}&\quad&
\displaystyle h(x)=\frac{\ln x}{x}\\
\displaystyle k(x)=\cos(x)\sin^2(x)&\quad&l(x)=\frac{1}{x\ln x}&\quad&m(x)=3x\sqrt{1+x^2}.
\end{array}
$$
Enoncé
Déterminer une primitive des fonctions suivantes sur l'intervalle considéré :
\begin{array}{lll}
\mathbf 1.\ f(x)=(3x-1)(3x^2-2x+3)^3,\ I=\mathbb R&\quad&\mathbf 2.\ f(x)=\frac{1-x^2}{(x^3-3x+2)^3},\ I=]-\infty,-2[\\
\mathbf 3.\ f(x)=\frac{(x-1)}{\sqrt{x(x-2)}},\ I=]-\infty,0[&&\mathbf 4.\ f(x)=\frac{1}{x\ln(x^2)},\ I=]1,+\infty[.
\end{array}
Enoncé
Calculer les intégrales suivantes :
$$
\int_0^{\frac{\pi}{3}} (1 - \cos(3x)) \, \mathrm dx,
\qquad
\int_0^{\sqrt{\pi}}x\sin(x^2)\, \mathrm dx,
\qquad
\int_1^2 \frac{\sqrt{\ln(x)}}{x} \, \mathrm dx.
$$
Enoncé
La hauteur, en mètres, d'une ligne électrique de $160\textrm{m}$ peut être modélisée par la fonction $h$ définie sur $[-80;80]$ par
$h(x)=10\left(e^{x/40}+e^{-x/40}\right).$
Quelle est la hauteur moyenne de cette ligne électrique?
Exercice 7 - Aire de la surface comprise entre deux courbes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ et $g$ les fonctions définies sur $[0;1]$ par $f(x)=\displaystyle{\frac1{1+x}}$ et $g(x)=\displaystyle{\frac1{1+x^2}}$. On munit le plan d'un repère orthonormé $(O;I;J)$ tel que $OI=5\textrm{cm}$.
- Représenter les courbes représentatives de $f$ et de $g$ dans ce repère. En particulier, on étudiera leurs positions relatives.
- Déterminer l'aire, en unités d'aires, de la surface $\mathcal S$ comprise entre les deux courbes et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.
- En déduire l'aire de $\mathcal S$ en $\textrm{cm}^2$.
Intégration par parties
Enoncé
Soient $u$,$v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $[a,b]$, dont la dérivée est continue.
- Démontrer que, pour tout $x\in[a,b]$, on a $$u(x)v'(x)=(uv)'(x)-u'(x)v(x).$$
- En déduire que $$\int_a^b u(x)v'(x)dx=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int_a^b u'(x)v(x)dx.$$
Enoncé
Calculer les intégrales suivantes :
$$\mathbf{1.}\quad I=\int_0^1 xe^xdx\quad\quad\mathbf{2.}\quad J=\int_1^e x^2\ln xdx$$
Exercice 10 - Intégration par parties - Niveau 2 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer une primitive des fonctions suivantes :
$$\mathbf{1.}\quad x\mapsto\arctan(x)\quad\quad\mathbf{2.}\quad x\mapsto (\ln x)^2\quad\quad\mathbf{3.} x\mapsto \sin(\ln x).$$
Exercice 11 - Intégration par parties - Niveau 3 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer les intégrales suivantes :
$$\mathbf{1.}\quad I=\int_1^2\frac{\ln(1+t)}{t^2}dt\quad \mathbf{2.}\quad J=\int_0^1 x(\arctan x)^2dx\quad\quad\mathbf{3.}\quad K=\int_0^1 \frac{x\ln x}{(x^2+1)^2}dx$$
Exercice 12 - Fraction rationnelle puis intégration par parties [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère la fonction $f(x)=\displaystyle \frac{1}{x(x+1)}$.
- Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $x \in [1,2]$, on a : $f(x)=\displaystyle\frac{a}{x}+\frac{b}{x+1}$.
- Déduire de la question précédente la valeur de l'intégrale $J = \displaystyle \int_1^2 \frac{1}{x(x+1)} \, \mathrm dx$.
- Calculer l'intégrale $I = \displaystyle \int_1^2 \frac{\ln(1+t)}{t^2} \, \mathrm dt$.
Exercice 13 - Primitive d'une puissance du logarithme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $n\geq 1$, donner une primitive de $\ln^n x$.
Enoncé
Soient $(\alpha,\beta,n)\in\mathbb R^2\times\mathbb N$. Calculer
$$\int_\alpha^\beta(t-\alpha)^n (t-\beta)^n dt.$$
Enoncé
Pour $(n,p)$ éléments de $\mathbb N^*\times\mathbb N$, on pose
$$I_{n,p}=\int_0^1 x^n (\ln x)^p dx.$$
Calculer $I_{n,p}$.
Enoncé
- Soient $f,g:[a,b]\to\mathbb R$ deux fonctions de classe $C^n$. Montrer que $$\int_{a}^b f^{(n)}g=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k \big(f^{(n-k-1)}(b)g^{(k)}(b)-f^{(n-k-1)}(a)g^{(k)}(a)\big)+(-1)^n \int_a^b fg^{(n)}.$$
- Application : On pose $Q_n(x)=(1-x^2)^n$ et $P_n(x)=Q_n^{(n)}(x)$. Justifier que $P_n$ est un polynôme de degré $n$, puis prouver que $\int_{-1}^1 QP_n=0$ pour tout polynôme $Q$ de degré inférieur ou égal à $n-1$.
Changements de variables
Exercice 17 - Changements de variables - Niveau 1 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
En effectuant le changement de variables demandé, calculer les intégrales suivantes :
- $\displaystyle \int_1^4\frac{1-\sqrt t}{\sqrt t}dt$ en posant $x=\sqrt t$;
- $\displaystyle \int_0^{\pi}\frac{\sin t}{1+\cos^2 t}dt$ en posant $x=\cos t$;
- $\displaystyle \int_1^e \frac{dt}{2t\ln (t)+t}$ en posant $x=\ln t$.
Exercice 18 - Changements de variables - Niveau 2 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
En effectuant le changement de variables indiqué, calculer les intégrales suivantes :
- $\displaystyle \int_0^1\frac{dt}{1+e^t}$ en posant $x=e^t$;
- $\displaystyle \int_1^3\frac{\sqrt t}{t+1}dt$ en posant $x=\sqrt t$;
- $\displaystyle \int_{-1}^1 \sqrt{1-t^2}dt$ en posant $t=\sin\theta$.
Enoncé
- Calculer $\displaystyle \int_0^{1/2}\frac{dx}{1-x^2}$.
- En déduire la valeur de $\displaystyle \int_0^{\pi/6}\frac{d\theta}{\cos\theta}$, en effectuant le changement de variables $x=\sin\theta$.
Enoncé
- Calculer $\displaystyle\int_1^2 \frac{2u}{\sqrt{1+u}}du$.
- En déduire $\displaystyle \int_0^{3}\frac{dt}{\sqrt{1+\sqrt{1+t}}}$.
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ continue telle que, pour tout $x\in[a,b]$, on a
$f(a+b-x)=f(x)$. Montrer que
$$\int_a^b xf(x)dx=\frac{a+b}2\int_a^b f(x)dx.$$
En déduire la valeur de $I=\int_0^\pi \frac{x\sin x}{1+\cos^2x }dx$.
Exercice 22 - Changement de variables - Recherche de primitives - Niveau 1 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
En effectuant le changement de variables indiqué, déterminer une primitive des fonctions suivantes :
- $\displaystyle x\mapsto \frac{x}{\sqrt{1+x}}$, en posant $u=\sqrt{1+x}$;
- $\displaystyle x\mapsto \frac{1}{e^x+1}$, en posant $u=e^x$;
- $\displaystyle x\mapsto \frac{1}{x+x(\ln x)^2}$, en posant $u=\ln x$.
Exercice 23 - Changements de variables - Recherche de primitives - Niveau 2 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
En effectuant un changement de variables, déterminer une primitive des fonctions suivantes :
- $\displaystyle x\mapsto \cos(2\ln x)$;
- $\displaystyle x\mapsto\cos(\sqrt x)$;
- $\displaystyle x\mapsto \frac{e^x}{(3+e^x)\sqrt{e^x-1}}$.
Exercice 24 - Une erreur dans un changement de variables [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On demande de calculer
$$I=\int_0^{\pi}\frac{dx}{1+\cos^2(x)}.$$
Sur une copie d'un étudiant, on lit
\begin{eqnarray*}
I&=&\int_0^\pi \frac{dx}{1+\frac{1}{1+\tan^2 x}}\\
&=&\int_0^\pi \frac{(1+\tan^2 x)dx}{2+\tan^2 x}.
\end{eqnarray*}
Je pose $t=\tan x$, d'où $dt=(1+\tan^2 x)dx$, et j'obtiens
$$I=\int_{\tan 0}^{\tan \pi}\frac{1}{2+t^2}dt=0.$$
- Pourquoi est-ce manifestement faux?
- Où est l'erreur de raisonnement?
- Quelle est la valeur de $I$?
Fractions rationnelles
Exercice 25 - Intégrale d'une fraction rationnelle avec décomposition en éléments simples [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
- Démontrer qu'il existe deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $x\in\mathbb R\backslash\{-1\}$, $$\frac x{x+1}=a+\frac b{x+1}.$$
- En déduire la valeur de $\int_1^2 \frac{x}{x+1}dx.$
Exercice 26 - Fraction rationnelle avec décomposition en éléments simples [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f(x)=\frac{5x^2+21x+22}{(x-1)(x+3)^2}$, $x\in ]1,+\infty[$.
- Démontrer qu'il existe trois réels $a$, $b$ et $c$ tels que $$\forall x\in ]1,+\infty[,\ f(x)=\frac a{x-1}+\frac b{x+3}+\frac c{(x+3)^2}.$$
- En déduire la primitive de $f$ sur $]1,+\infty[$ qui s'annule en 2.
Exercice 27 - Primitive de fractions rationnelles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer une primitive des fractions rationnelles suivantes :
$$
\begin{array}{lll}
\mathbf 1.\ f(x)=\frac{2x^2-3x+4}{(x-1)^2}\textrm{ sur }]1,+\infty[&\quad&\mathbf 2. f(x)=\frac{2x-1}{(x+1)^2}\textrm{ sur }]-1,+\infty[ \\
\mathbf 3.\ f(x)=\frac{x}{(x^2-4)^2}\textrm{ sur }]2,+\infty[&&\mathbf 4. f(x)=\frac{24x^3+18x^2+10x-9}{(3x-1)(2x+1)^2}\textrm{ sur }]-1/2,1/3[
\end{array}
$$
Exercice 28 - Primitive de fractions rationnelles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Donner une primitive des fonctions suivantes :
$$
\begin{array}{lcl}
\displaystyle \mathbf{1.}\quad x\mapsto \frac{1}{x^2+4}&\quad\quad&\displaystyle \mathbf{2.}\quad x\mapsto\frac{1}{x^2+4x+5}\\
\displaystyle \mathbf{3.}\quad x\mapsto \frac{1}{1-x^2}
\end{array}$$
Enoncé
Donner une primitive des fonctions suivantes :
$$
\begin{array}{lcl}
\displaystyle \mathbf{1.}\quad x\mapsto \frac{3x+2}{x^2+x+1}&\quad\quad&\displaystyle
\mathbf{2.}\quad x\mapsto \frac{2x}{x^2-x+1}\\
\displaystyle \mathbf{3.}\quad x\mapsto \frac{2x+1}{x^2+x-3}
\end{array}$$
Exercice 30 - Primitive de fonction rationnelle par intervalles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=\frac{x^2-4}{|x+2|+1}$. Déterminer la primitive $F$ de $f$ définie sur $\mathbb R$ qui vérifie $F(0)=0$.
Exercice 31 - Primitive de fractions rationnelles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Donner une primitive des fonctions suivantes :
$$
\begin{array}{lcl}
\displaystyle \mathbf{1.}\quad x\mapsto \frac{1}{x^3-1}&\quad\quad&\displaystyle \mathbf{2.}\quad x\mapsto \frac{x^3+2x}{x^2+x+1}\\
\displaystyle \mathbf{3.}\quad x\mapsto \frac{1}{x^3-7x+6}&\quad\quad&\displaystyle \mathbf{4.}\quad x\mapsto \frac{4x^2}{x^4-1}\\
\end{array}
$$
Enoncé
Pour tout $n\in\mathbb N^*$, on pose
$$I_n=\int_0^1\frac{dx}{(x^2+1)^n}.$$
- Exprimer $I_{n+1}$ en fonction de $I_n$ pour tout $n\in\mathbb N^*$.
- En déduire la valeur de $I_3$.
Avec la fonction exponentielle
Enoncé
Calculer les intégrales suivantes :
$$\begin{array}{lcl}
\displaystyle \mathbf{1.}\int_{0}^2 (x+6)e^{2x}dx &\quad&\displaystyle \mathbf{2.} \int_0^1 e^x(2x^3+3x^2-x+1)dx
\end{array}$$
Enoncé
Calculer les intégrales suivantes :
$$\begin{array}{lcl}
\displaystyle \mathbf{1.} \int_0^\pi e^x\sin(2x)dx&\quad&\displaystyle \mathbf{2.} \int_0^{2\pi}e^{-x}\sin^2 xdx\\
\end{array}$$
Exercice 35 - Exponentielle * polynôme * trigonométrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer l'intégrale :
$$\int_0^\pi x^2e^x \cos xdx.$$
Enoncé
Déterminer une primitive des fonctions suivantes :
$$\begin{array}{lcl}
\displaystyle \mathbf{1.}\quad x\mapsto \frac{1}{\cosh x}&\quad\quad&\mathbf{2.}\displaystyle \quad x\mapsto \frac{1}{1+e^x}\\
\displaystyle \mathbf{3.}\quad x\mapsto \frac{\cosh x-1}{\cosh x+1}e^x&\quad\quad&\mathbf{4.}\displaystyle \quad x\mapsto \frac{1}{\cosh x(1+\sinh x)}\\
\end{array}$$
Intégrales trigonométriques
Enoncé
Donner une primitive des fonctions suivantes :
$$\mathbf 1.\ x\mapsto\sin^5x\ \ \quad\mathbf2.\ x\mapsto\cos^4 x\sin^2 x\ \ \quad\mathbf3.\ x\mapsto \cos(3x)\cos^3x.$$
Enoncé
- Démontrer par récurrence que si $m,n\in\mathbb N$ sont tels que $m>n$, on a $$\int_0^{\pi}\cos^n(x)\cos(mx)dx=0$$ - on pourra utiliser la formule de trigonométrie $$\cos a\cos b=\frac12\big(\cos(a+b)+\cos(a-b)\big).$$
- En déduire que $$\int_0^\pi\cos^n(x)\cos(nx)dx=\frac{\pi}{2^n}.$$
Enoncé
Déterminer une primitive de la fonction $\frac 1{\cos^6 x}$ sur l'intervalle $]-\pi/2,\pi/2[$.
Enoncé
Calculer les intégrales suivantes :
$$\mathbf{1.}\ \int_0^{\pi/4}\frac{\sin^3(t)}{1+\cos^2 t}dt\quad\quad\mathbf{2.}\ \int_{\pi/3}^{\pi/2}\frac{dx}{\sin x}\quad\quad\mathbf{3.}\ \int_0^{\pi/3}\big(1+\cos(x)\big)\tan(x)dx.$$
Enoncé
Calculer les intégrales suivantes :
$$\mathbf{1.}\ \int_0^{\pi/4}\frac{\tan x}{\sqrt 2\cos x+2\sin^2 x}dx\quad\quad\mathbf{2.}\ \int_0^{\pi/2}\frac{dx}{2+\sin x}.$$
Enoncé
Calculer les intégrales suivantes :
$$\displaystyle\mathbf{1.}\ \int_0^\pi \frac{1-\cos(x/3)}{\sin(x/2)}dx\quad\quad\mathbf{2.}\ \int_{\pi/3}^{\pi/2}\frac{dx}{\sin x+\sin 2x}.$$
Intégrales abéliennes
Enoncé
Déterminer une primitive des fonctions suivantes :
$$\begin{array}{lcl}
\displaystyle \mathbf{1.}\quad x\mapsto \frac{1}{1-\sqrt{x+2}}\quad\quad&\mathbf{2.}\displaystyle \quad x\mapsto \frac{1}{(1-x^2)\sqrt{1-x^2}}\\
\displaystyle \mathbf{3.}\quad x\mapsto\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}.
\end{array}
$$
Enoncé
On se propose de calculer $I=\int_1^{5/2}\sqrt{-x^2+2x+8}dx$.
- Mettre le trinôme sous forme canonique.
- En effectuant deux changements de variable, calculer la valeur de $I$.
Enoncé
Calculer $\int_1^2x\sqrt{x^2-2x+5}dx$.
En résumé
Exercice 46 - Quelques primitives à savoir calculer! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer une primitive des fonctions suivantes :
$$
\begin{array}{lcl}
\displaystyle \mathbf{1.}\quad x\mapsto \frac{1}{x^2+4}&\quad\quad&\displaystyle \mathbf{2.}\quad x\mapsto\frac{1}{x^2+4x+5}\\
\displaystyle \mathbf{3.}\quad x\mapsto \frac{1}{1-x^2}&&\displaystyle \mathbf{4.}\quad x\mapsto e^x(2x^3+3x^2-x+1)\\
\displaystyle \mathbf{5.}\quad x\mapsto\sin^3(x)&&\displaystyle \mathbf{6.}\quad x\mapsto \arctan(x)
\end{array}$$