$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Intégrales multiples

Intégrations successives
Enoncé
Soit $D$ le domaine : $D=\left\{(x,y)\in\mtr^2;\ x\geq 0,\ y\geq 0,\ x+y\leq 1\right\}.$ Calculer $\int\!\int_D f(x,y)dxdy$ dans les cas suivants : $$\mathbf{1.}\quad f(x,y)=x^2+y^2\textrm{ }\ \mathbf{2.}\ f(x,y)=xy(x+y).$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Calculer l'intégrale double suivante $\int\!\int_D f(x,y)dxdy$, avec
  1. $\dis f(x,y)=x\textrm{ et }D=\left\{(x,y)\in\mtr^2; y\geq 0,\ x-y+1\geq 0,\ x+2y-4\leq 0\right\}.$
  2. $\dis f(x,y)=x+y\textrm{ et }D=\left\{(x,y)\in\mtr^2;\ 0\leq x\leq 1;\ x^2\leq y\leq x\right\}.$
  3. $\dis f(x,y)=\cos(xy)\textrm{ et }D=\left\{(x,y)\in\mtr^2;\ 1\leq x\leq 2,\ 0\leq xy\leq\frac{\pi}{2}\right\}.$
  4. $\dis f(x,y)=xy\textrm{ et }D=\left\{(x,y)\in\mtr^2;\ x\geq 0,\ y\geq 0,\ xy+x+y\leq 1.\right\}$.
  5. $f(x,y)=\frac{1}{(x+y)^3}\textrm{ et }\dis D=\left\{(x,y)\in\mtr^2; 1<x<3,\ y>2, x+y<5\right\}.$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $D$ le domaine : $$D=\left\{(x,y)\in\mtr^2;\ -1\leq x\leq 1\textrm{ et }x^2\leq y\leq 4-x^3\right\}.$$ Calculer l'aire de $D$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On pose : $$D=\left\{(x,y)\in\mtr^2;\ 0\leq x\leq 1,\ 0\leq y\leq 1,\ x^2+y^2\geq 1\right\}.$$ Calculer $\dis \int_D\frac{xy}{1+x^2+y^2}dxdy.$
Indication
Corrigé
Dans l'espace
Enoncé
On se propose de calculer $$I=\int\!\int\!\int_D xdxdydz,$$ où $D=\left\{(x,y,z)\in\mtr^3;\ x>0,\ y>0,\ z>0,\ x+y+z<1\right\}.$ On note $T_z$ l'intersection de $D$ et d'un plan $P_z$ de cote $z$.
  1. Déterminer pour quelles valeurs de $z$ l'ensemble $T_z$ est non-vide.
  2. Pour une valeur de $z$ fixée telle que $T_z$ est non-vide, calculer $$I=\int_{(x,y)\in T_z}xdxdy.$$
  3. En déduire la valeur de $I$.
  4. Etudier l'intersection $D_{x,y}$ de $D$ et d'une droite d'équation $X=x$, $Y=y$ où $(x,y)\in\mtr^2$. Retrouver la valeur de $I$.
Corrigé
Enoncé
Calculer $\int\!\int\!\int_D f(x,y,z)dxdydz$ pour :
  1. $f(x,y,z)=\cos x$ et $D=\left\{(x,y,z)\in\mtr^3;\ x^2+y^2+z^2<1\right\}.$
  2. $f(x,y,z)=\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}}$ et $D=\left\{(x,y,z)\in\mtr^3;\ x^2+y^2\leq a^2\textrm{ et }0<z<a\right\}.$
Indication
Corrigé
Changements de variables
Enoncé
Calculer l'intégrale double $$\int\int_{\Delta}\frac{1}{1+x^2+y^2}dxdy$$ où $\Delta=\left\{(x,y)\in\mtr^2;\ 0\leq x\leq 1,\ 0\leq y\leq 1,\ 0<x^2+y^2\leq 1\right\}.$
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Coordonnées polaires toujours [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $D=\left\{(x,y)\in\mtr^2;\ x^2+y^2-2x\leq 0\right\}$.
  1. Montrer que $D$ est un disque.
  2. Calculer $\dis\int\!\int_D\sqrt{x^2+y^2}dxdy.$
Corrigé
Enoncé
Calculer $\int\!\int_D f(x,y)dxdy$ dans les cas suivants :
  1. $D=\left\{(x,y)\in\mtr^2;\ x\geq 0,\ y\geq 0,\ 1\leq x^2+y^2\leq 4\right\}$ et $f(x,y)=\dis \frac{xy}{x^2+y^2}.$
  2. $D=\left\{(x,y)\in\mtr^2;\ x\geq 0,\ 1\leq x^2+y^2\leq 2y\right\}$ et $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}.$
Indication
Corrigé
Exercice 10 - En suivant le changement de variables donné [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer les intégrales doubles $\int\!\int_D f(x,y)dxdy$ dans les cas suivants, en suivant le changement de variables indiqué :
  1. $D=\left\{(x,y)\in\mtr^2;\ x\geq 0,\ y\geq 0,\ x^{2/3}+y^{2/3}\leq 1\right\}$ et $f(x,y)=xy$. On posera $x=r\cos ^3\theta$ et $y=r\sin^3\theta$.
  2. $D=\left\{(x,y)\in\mtr^2;\ 0<x<y,\ a<xy<b,\ y^2-x^2<1\right\}$ et $f(x,y)=(y^2-x^2)^{xy}(x^2+y^2)$. On posera $u=xy$ et $v=y^2-x^2$.
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Coordonnées elliptiques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $D=\left\{(x,y)\in \mtr^2;\ x\geq 0,\ y\geq 0,\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq 1\right\}$. Calculer l'intégrale : $$J=\int\!\int_D (2x^3-y)dxdy.$$
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Changement de variables dans l'espace [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $B$ la boule unité, et $a>1$. Calculer : $$\int\int\int_B\frac{dxdydz}{\sqrt{x^2+y^2+(z-a)^2}}.$$
Indication
Corrigé
Applications
Exercice 13 - Un centre de gravité dans le plan [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer les coordonnées du centre de gravité du domaine : $$D=\left\{(x,y)\in\mtr^2;\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq 1,\ x\geq 0\textrm{ et }y\geq 0\right\}.$$
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Un calcul d'une intégrale d'une variable [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit l'intégrale $I=\dis\int_0^1\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}dx.$
  1. Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle $]-1,+\infty[$, on a : $$\ln(1+x)=\int_0^1\frac{xdy}{1+xy}.$$ En déduire que $\dis I=\int\!\int_D \frac{xdxdy}{(1+x^2)(1+xy)}dxdy$, où $D$ est le pavé $[0,1]^2$.
  2. En intervertissant les rôles de $x$ et $y$, montrer que $$2I=\int\!\int_D \frac{(x+y)dxdy}{(1+x^2)(1+y^2)}.$$ En déduire que $I=\frac{\pi}{8}\ln 2$.
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Volume d'un ellipsoïde [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer le volume intérieur à l'ellipsoide d'équation : $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1,$$ où $a$, $b$ et $c$ désignent trois réels strictement positifs.
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Volume déterminé par une surface de l'espace [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $a$ un nombre tel que $0<a<1$, et $S$ l'ensemble des points de $\mtr^3$ de la forme $(u\cos t,u\sin t,\sin t)$ pour $t\in[0,\pi]$, et $a\leq u\leq 1$.
  1. Trouver une équation de $S$ de la forme $z=f(x,y)$, $(x,y)\in D$.
  2. Calculer le volume limité par $S$ et le plan $(xOy)$.
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Centre de gravité d'une demi-boule [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer le centre de gravité d'une demi-boule homogène.
Indication
Corrigé
Exercice 18 - Aire comprise entre deux hyperboles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer l'aire du compact $D$ du quart de plan $\mtr^{+*}\times\mtr^{+*}$ délimité par les droites d'équation $y=ax$ et $y=\frac{1}{a}x$, et par les hyperboles d'équation $y=\frac{b}{x}$ et $y=\frac{1}{bx}$.
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Calcul d'une intégrale impropre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On se propose dans cet exercice de calculer $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx$.
  1. Justifier la convergence de cette intégrale.
  2. Soit $a>0$. On note $K_a$ le carré de centre $O$ de côté $2a$ et $C_{a}$ le disque de centre $O$ et de rayon $a$. On définit une fonction $f$ sur $\mathbb R^2$ par $$f(x,y)=e^{-x^2-y^2}.$$ Justifier que $$\int_{C_a}f(x,y)dxdy\leq \int_{K_a}f(x,y)dxdy\leq\int_{C_{a\sqrt 2}}f(x,y)dxdy.$$
  3. En effectuant un changement de variables en coordonnées polaires, calculer $$\int_{C_a}f(x,y)dxdy.$$
  4. Déduire des questions précédentes la valeur de $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx.$
Indication
Corrigé