$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Intégrales curvilignes

Formes différentielles
Enoncé
On considère la forme différentielle $\dis\omega=\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}$, définie sur le demi-plan $U=\{(x,y)\in\mtr^2;\ x>0\}.$ Montrer que $\omega$ est exacte. Chercher ses primitives sur $U$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère la forme différentielle de degré 1 définie par : $$\omega=\frac{2x}{y}dx-\frac{x^2}{y^2}dy$$ sur $U=\{(x,y)\in\mtr^2;\ y>0\}.$
  1. Montrer que $\omega$ est fermée sur $U$.
  2. Montrer de deux façons différentes que $\omega$ est exacte.
  3. Calculer $\int_{(C)}\omega$, où $(C)$ est une courbe $C^1$ par morceaux d'origine $A=(1,2)$ et d'extrémité $B=(3,8)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $\omega$ la forme différentielle $\omega=(y^3-6xy^2)dx+(3xy^2-6x^2y)dy$. Montrer que $\omega$ est une forme différentielle exacte sur $\mtr^2$. En déduire l'intégrale curviligne le long du demi-cercle supérieur de diamètre $[AB]$ de $A(1,2)$ vers $B(3,4)$.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Intégration le long d'une cardioïde [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\omega=(x+y)dx+(x-y)dy$. Calculer l'intégrale curviligne de $\omega$ le long de la demi-cardioïde d'équation en polaire $r=1+\cos\theta$, $\theta$ allant de $0$ à $\pi$.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Rendre une forme exacte [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Trouver une application $\varphi:\mtr\to\mtr$ de classe $C^1$ et vérifiant $\varphi(0)=-1$ telle que la forme différentielle $\omega$ suivante soit exacte sur $\mtr^2$ : $$\omega(x,y)=\frac{2xy}{(1+x^2)^2}dx+\varphi(x)dy.$$
  2. Donner alors une primitive de $\omega$.
  3. En déduire $\int_C\omega$ pour l'ellipse d'équation $3x^2=-7y^2+21$, orientée dans le sens direct.
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Forme non exacte que l'on rend exacte [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère $\omega$ la forme différentielle définie sur $\mtr^2$ par $$\omega=(x^2+y^2-a^2)dx-2aydy,$$ où $a$ est un nombre réel non nul.
  1. Prouver que la forme différentielle n'est pas exacte.
  2. Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ de $\mtr$ dans $\mtr$. On pose $\alpha(x,y)=f(x)\omega(x,y)$. Quelle condition doit vérifier la fonction $f$ pour que la forme différentielle $\alpha$ soit exacte? Cette condition est-elle suffisante? Déterminer une fonction $f$ vérifiant la condition précédente.
  3. Calculer une primitive de $\alpha$ sur $\mtr^2$.
  4. Soit $\Gamma$ le cercle de rayon $R$ et de centre $(0,0)$. Déterminer $\int_\Gamma\alpha$.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Primitives en dimension 3 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\omega$ la forme différentielle : $$\omega=(3x^2y+z^3)dx+(3y^2z+x^3)dy+(3xz^2+y^3)dz.$$ Cette forme admet-elle des primitives sur $\mtr^3$? Si oui, les déterminer!
Indication
Corrigé
Enoncé
Calculer l'intégrale curviligne $\omega=(y+z)dx+(z+x)dy+(x+y)dz$ le long du cercle $(C)$ de l'espace : $$\left\{ \begin{array}{l} x^2+y^2+z^2=1\\ x+y+z=0\\ \end{array}\right.$$
Indication
Corrigé
Intégrales curvilignes
Enoncé
Calculer les intégrales curvilignes $\int_C\omega$ dans les exemples suivants :
  1. $\omega=xydx+(x+y)dy$, et $C$ est l'arc de parabole $y=x^2$, $-1\leq x\leq 2$, parcouru dans le sens direct.
  2. $\omega=y\sin xdx+x\cos ydy$, et $C$ est le segment de droite $OA$ de $O(0,0)$ vers $A(1,1)$.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Même origine, même extrémité, mais chemins différents [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer l'intégrale curviligne de $\omega=x^2dx-xydy$ le long des contours suivants :
  • le segment de droite $[OB]$ de $O(0,0)$ vers $B(1,1)$.
  • l'arc de parabole $x=y^2$, $0\leq x\leq 1$, orienté dans le sens des $x$ croissants.
Que peut-on en déduire pour la forme différentielle $\omega$? Retrouver cela par une autre méthode.
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère l'arc $\Gamma$, arc d'hélice paramétré et orienté par : $$x=R\cos t,\ y=R\sin t,\ z=ht,$$ pour $t$ variant de $0$ à $2\pi$. Calculer : $$I=\int_\Gamma (y-z)dx+(z-x)dy+(x-y)dz.$$
Corrigé
Enoncé
Calculer l'intégrale curviligne de $\dis \omega=\frac{x-y}{x^2+y^2}dx+\frac{x+y}{x^2+y^2}dy$ le long du carré $ABCD$, avec $A(1,1)$, $B(-1,1)$, $C(-1,-1)$ et $D(1,-1)$, parcouru dans le sens direct.
Indication
Corrigé
Enoncé
Calculer l'intégrale curviligne $\int_\gamma y^2dx+x^2dy$ lorsque
  1. $\gamma$ est la courbe d'équation $x^2+y^2-ay=0$, orientée dans le sens trigonométrique.
  2. $\gamma$ est la courbe d'équation $\dis\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-2\frac{x}{a}-2\frac{y}{b}=0$, orientée dans le sens trigonométrique.
Indication
Corrigé
Enoncé
Calculer $\int_C\omega$ où $\omega$ est la forme différentielle définie par : $$\omega=\frac{xdy-ydx}{x^2+y^2},$$ et $C$ est le carré orienté de sommets consécutifs $A=(a,a)$, $B=(-a,a)$, $C=(-a,-a)$ et $D=(a,-a)$. En déduire que la forme différentielle n'est pas exacte.
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Un contour un peu plus délicat [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer l'intégrale curviligne de $\omega=ydx+2xdy$ sur le contour du domaine défini par : $$\left\{\begin{array}{rcl} x^2+y^2-2x&\leq&0\\ x^2+y^2-2y&\leq&0\\ \end{array}\right.$$ parcouru une fois en sens direct.
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Le long d'une cardioïde [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer l'intégrale curviligne de $\omega=(x+y)dx+(x-y)dy$ le long de la demi-cardioïde $(C)$ d'équation polaire $\rho=a(1+\cos\theta)$, $a>0$ fixé, $\theta$ variant de $0$ à $\pi$.
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Autour d'un cercle de l'espace [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer $\int_\gamma zdx+xdy+ydz$, où $\gamma$ est le cercle défini par $x+z=1,\ x^2+y^2+z^2=1$, avec une orientation que l'on choisira.
Indication
Corrigé
Circulation d'un champ de vecteurs
Enoncé
Soit $\dis V(x,y)=\left(\frac{-y}{x^2+y^2};\frac{x}{x^2+y^2}\right)$ un champ de vecteurs. Calculer sa circulation le long du cercle de centre O et de rayon $R$. En déduire que ce champ de vecteurs ne dérive pas d'un potentiel.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(O,\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ un repère orthonormé, et $\vec{F}$ le champ de vecteurs : $$\vec{F}(x,y,z)=(x+z)\vec{i}-3xy\vec{j}+x^2\vec{k}.$$ Calculer la circulation de ce champ de vecteurs entre les points $O(0,0,0)$ et $P(1,2,-1)$ le long des chemins suivants :
  1. $\Gamma_1:(x=t^2,y=2t,z=-t)$.
  2. Le segment de droite $[O,P]$.
Que peut-on remarquer? Pourquoi?
Indication
Corrigé
Enoncé
Calculer la circulation du champ vectoriel $\vec{F}$ le long de la courbe $(C)$ dans les cas suivants :
  1. $\vec{F}=(-y,x)$ et $(C)$ est la demi-ellipse $x=a\cos t$, $y=b\sin t$, $0\leq t\leq \pi$, parcouru dans le sens direct.
  2. $\dis\vec{F}=\left(\frac{x}{x^2+y^2+1},\frac{y}{x^2+y^2+1}\right)$, et $(C)$ est le cercle $x^2+y^2-2x=1$, parcouru dans le sens direct.
  3. $\vec{F}=(2xy^2z,2x^2yz,x^2y^2-2z)$, et $(C)$ est la courbe définie par $x=\cos t$, $y=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin t$, $z=\frac{1}{2}\sin t$, avec $0\leq t\leq 2\pi$.
Indication
Corrigé
Formule de Green-Riemann
Enoncé
En utilisant la formule de Green-Riemann, calculer $$\int_\gamma (2xy-x^2)dx+(x+y^2)dy,$$ où $\gamma$ est le bord orienté du domaine délimité par les courbes d'équation $y=x^2$ et $x=y^2$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $D=\left\{(x,y)\in \mtr^2;\ x\geq0,\ y\geq 0;\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\leq 1\right\}$. Calculer l'intégrale : $$J=\int\!\int_D (2x^3-y)dxdy.$$
Indication
Corrigé
Exercice 23 - Aire d'une arche de cycloïde [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer l'aire du domaine plan délimité par l'axe $(Ox)$ et l'arc paramétré $x=a(t-\sin t)$ et $y=a(1-\cos t)$, pour $t\in[0,2\pi]$.
Corrigé
Exercice 24 - Comparaison de deux méthodes de calcul [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $K=\{(x,y)\in\mtr^2;\ x\geq 0,\ y\geq 0\textrm{ et }x^2+y^2\leq 1\}.$ Soit $\gamma$ son bord orienté, et $\omega$ la forme différentielle : $$\omega=xy^2dx+2xydy.$$ Calculer $\int_\gamma w$ :
  1. en utilisant une paramétrisation de $\gamma$.
  2. en utilisant la formule de Green-Riemann.
Indication
Corrigé
Enoncé
Calculer l'aire du domaine délimité par les axes $(Ox)$, $(Oy)$ et la courbe paramétrée $x=a\cos^3 t$, $y=a\sin^3 t$, $t\in[0,\pi].$
Indication
Corrigé
Exercice 26 - Aire comprise entre un disque et une hyperbole [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer l'aire de $D=\left\{(x,y)\in\mtr^2;\ x^2+y^2\leq 4,\ xy\geq 1,\ x>0\right\}.$
Indication
Corrigé
Longueur d'un arc de courbe
Exercice 27 - Longueur d'un arche de cycloïde [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer la longueur d'une arche de cycloïde : $$\left\{ \begin{array}{rcl} x(t)=a(t-\sin t)\\ y(t)=a(1-\cos t)\\ \end{array}\right.$$ avec $0\leq t\leq 2\pi$.
Indication
Corrigé
Exercice 28 - Longueur d'une spire d'hélice [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer la longueur d'une spire d'hélice circulaire : $$\left\{ \begin{array}{rcl} x(t)&=&a\cos t\\ y(t)&=&a\sin t\\ z(t)&=&ht \end{array}\right.$$ avec $0\leq t\leq 2\pi$.
Indication
Corrigé
Exercice 29 - Longueur de la cardioïde [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer la longueur de la cardioïde d'équation polaire $\rho=a(1+\cos\theta)$, avec $0\leq\theta\leq 2\pi$.
Indication
Corrigé