$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Intégrales à paramètres

Etude de fonctions définies par une intégrale
Exercice 1 - Calcul d'une intégrale impropre par dérivation [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On pose, pour $x\in\mathbb R$, $$F(x)=\int_0^{+\infty}\frac{\sin(xt)}te^{-t}dt.$$
  1. Justifier que $F$ est bien définie sur $\mathbb R$.
  2. Justifier que $F$ est $\mathcal C^1$ et donner une expression de $F'(x)$ pour tout $x\in\mathbb R$.
  3. Calculer $F'(x)$.
  4. En déduire une expression simplifiée de $F(x)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On pose $f(x)=\int_0^1 \frac{t^{x-1}}{1+t}dt$.
  1. Déterminer le domaine de définition de $f$.
  2. Démontrer que $f$ est continue sur son domaine de définition.
  3. Calculer $f(x)+f(x+1)$ pour tout $x>0$.
  4. En déduire un équivalent de $f$ en $0$.
  5. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Pour $n\geq 1$ et $x>0$, on pose $$I_n(x)=\int_0^{+\infty}\frac{dt}{(x^2+t^2)^n}.$$
  1. Justifier l'existence de $I_n(x)$.
  2. Calculer $I_1(x)$.
  3. Démontrer que $I_n$ est de classe $C^1$ sur $]0,+\infty[$ et former une relation entre $I'_n(x)$ et $I_{n+1}(x)$.
  4. En déduire qu'il existe une suite $(\lambda_n)$ telle que, pour tout $x>0$, on a $$I_n(x)=\frac{\lambda_n}{x^{2n-1}}.$$ Que vaut $\lambda_n$?
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Solution d'une équation différentielle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On pose $F(x)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{-xt}}{1+t^2}dt$.
  1. Démontrer que $F$ est définie sur $]0,+\infty[$.
  2. Justifier que $F$ tend vers $0$ en $+\infty$.
  3. Démontrer que $F$ est solution sur $]0,+\infty[$ de l'équation $y''+y=\frac 1x$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Pour $x>0$, on définit $$f(x)=\int_0^{\pi/2}\frac{\cos(t)}{t+x}dt.$$
  1. Justifier que $f$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $]0,+\infty[$, et étudier les variations de $f$.
  2. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
  3. En utilisant $1-\frac {t^2}2\leq \cos t\leq 1$, valable pour $t\in[0,\pi/2]$, démontrer que $$f(x)\sim_{0^+}-\ln x.$$
  4. Déterminer un équivalent de $f$ en $+\infty$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $a,b>0$. On définit, pour $x\in\mathbb R$, $$F(x)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{-at}-e^{-bt}}t\cos(xt)dt.$$
  1. Justifier l'existence de $F(x)$.
  2. Prouver que $F$ est $C^1$ sur $\mathbb R$ et calculer $F'(x)$.
  3. En déduire qu'il existe une constante $C\in\mathbb R$ telle que, pour tout $x\in\mathbb R$, $$F(x)=\frac 12\ln\left(\frac{b^2+x^2}{a^2+x^2}\right)+C.$$
  4. Justifier que, pour tout $x\in\mathbb R$, on a $$F(x)=-\frac1x\int_0^{+\infty}\psi'(t)\sin(xt)dt,$$ où $\psi(t)=\frac{e^{-at}-e^{-bt}}t$.
  5. En déduire la valeur de $C$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On pose $$F(x)=\int_0^{+\infty}\frac{dt}{1+t^x}.$$
  1. Déterminer le domaine de définition de $F$ et démontrer que $F$ est continue sur ce domaine de définition.
  2. Démontrer que $F$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $]1,+\infty[$ et démontrer que, pour tout $x>1$, $$F'(x)=\int_1^{+\infty}\frac{t^x\ln (t)}{(1+t^x)^2}\left(\frac 1{t^2}-1\right)dt.$$ En déduire le sens de variation de $F$.
  3. Déterminer la limite de $F$ en $+\infty$.
  4. On suppose que $F$ admet une limite $\ell$ en $1^+$. Démontrer que pour tout $A>0$ et tout $x>1$, on a $$\ell\geq \int_1^A \frac{dt}{1+t^x}.$$
  5. En déduire que $\lim_{x\to 1^+}F(x)=+\infty$.
Indication
Corrigé
Fonctions classiques
Exercice 8 - Transformée de Fourier de la gaussienne [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On pose, pour $a>0$, $F(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-itx}e^{-at^2}dt$.
  1. Montrer que $F$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb R$ et vérifie, pour tout $x\in\mathbb R$, $$F'(x)=\frac{-x}{2a}F(x).$$
  2. En déduire que pour tout $x$ réel, $F(x)=F(0)e^{-x^2/4a}$, puis que $$F(x)=\sqrt\frac\pi ae^{-x^2/4a}.$$
On rappelle que $\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-u^2}du=\pi$.
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Calcul de l'intégrale de Gauss [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le but de l'exercice est de calculer la valeur de l'intégrale de Gauss $$I=\int_0^{+\infty}e^{-t^2}dt.$$ On définit deux fonctions $f,g$ sur $\mathbb R$ par les formules $$f(x)=\int_0^x e^{-t^2}dt\textrm{ et }g(x)=\int_0^{1}\frac{e^{-(t^2+1)x^2}}{t^2+1}dt.$$
  1. Prouver que, pour tout $x\in\mathbb R$, $g(x)+f^2(x)=\frac{\pi}{4}.$
  2. En déduire la valeur de $I$.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Calcul de l'intégrale de Gauss [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On pose $$F(x)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{-x(1+t^2)}}{1+t^2}dt.$$
  1. Montrer que $F$ est définie et continue sur $[0,+\infty[$ et déterminer $\lim_{x\to+\infty}F(x)$.
  2. Montrer que $F$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ et démontrer que $$F'(x)=-\frac{e^{-x}}{\sqrt x}\int_0^{+\infty}e^{-u^2}du.$$
  3. En intégrant $F'$ sur $]0,+\infty[$, montrer que $\int_0^{+\infty}e^{-t^2}dt=\frac{\sqrt \pi}2.$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to \mathbb R$ définie par $$f(x)=\int_0^\pi \cos(x\sin\theta)d\theta.$$
  1. Montrer que $f$ est de classe $C^2$ sur $\mathbb R$.
  2. Vérifier que $f$ est solution de l'équation différentielle $$xf''(x)+f'(x)+xf(x)=0.$$
  3. Démontrer que $f$ est développable en série entière.
Indication
Corrigé
Enoncé
Pour $x\in\mathbb R$, on définit $\Gamma(x)=\int_0^{+\infty}t^{x-1}e^{-t}dt$.
  1. Quel est le domaine de définition de $\Gamma$?
    1. Pour $k\geq 1$ et $0<A<B<+\infty$, on pose $$g_k(t)=\left\{\begin{array}{ll} t^{A-1}e^{-t}|\ln t|^k&\textrm{ si }0<t<1\\ t^{B-1}e^{-t}|\ln t|^k&\textrm{ si }t\geq 1. \end{array}\right. $$ Démontrer que $g_k$ est intégrable sur $]0,+\infty[$.
    2. En déduire que $\Gamma$ est $C^\infty$ sur son domaine de définition, et calculer $\Gamma^{(k)}$.
  2. Montrer que pour tout $x>0$, $\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)$. En déduire $\Gamma(n+1)$ pour $n$ un entier et un équivalent de $\Gamma$ en $0$.
  3. Montrer que $\Gamma$ est convexe.
    1. Justifier que, pour tout $u<-1$, $\ln(1-u)\leq -u$.
    2. Pour $x>0$, on pose $$f_n(t):=\left\{ \begin{array}{ll} t^{x-1}(1-t/n)^n&\textrm{ si }t\in]0,n[\\ 0&\textrm{ si }t\geq n. \end{array}\right.$$ Démontrer que $\lim_{n\to+\infty}\int_0^{+\infty}f_n(t)dt=\Gamma(x).$
  4. En déduire que pour $x>0$, on a $$\Gamma(x)=\lim_{n\to+\infty}n^x\int_0^1 u^{x-1}(1-u)^n du.$$
  5. En utilisant des intégrations par parties successives, conclure que, pour tout $x>0$, on a $$\Gamma(x)=\lim_{n\to+\infty}\frac{n!n^x}{x(x+1)\dots(x+n)}.$$
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Calcul d'une transformée de Fourier par résolution d'une équation différentielle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
En formant une équation différentielle vérifiée par $f$, calculer la valeur de $$f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{-t}}{\sqrt t}e^{itx}dt.$$ On rappelle que $\int_0^{+\infty}e^{-u^2}du=\sqrt\pi/2$.
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Transformée de Laplace [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R_ +\to\mathbb C$ une fonction continue. Pour $x\in\mathbb R$, on pose $Lf(x)=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-xt}dt.$
  1. Montrer que si $\int_0^{+\infty}f(t)e^{-xt}dt$ converge, alors $\int_0^{+\infty}f(t)e^{-yt}dt$ converge pour $y>x$.
  2. Quelle est la nature de l'ensemble de définition de $Lf$?
  3. On suppose $f$ bornée. Montrer que $\lim_{x\to+\infty}Lf(x)=0$.
Indication
Corrigé
Exercices théoriques
Enoncé
Soit $f$ une application définie sur $[0,1]$, à valeurs strictement positives, et continue. Pour $\alpha\geq 0$, on pose $F(\alpha)=\int_0^1 f^\alpha(t)dt$.
  1. Justifier que $F$ est dérivable sur $\mathbb R_+$, et calculer $F'(0)$.
  2. En déduire la valeur de $$\lim_{\alpha\to 0}\left(\int_0^1 f^{\alpha}(t)dt\right)^{1/\alpha}.$$
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Division des fonctions régulières [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ de classe $C^\infty$.
  1. On suppose que $f(0)=0$ et on pose, pour $x\neq 0$, $g(x)=\frac{f(x)}{x}$. Justifier que, pour $x\neq 0$, $g(x)=\int_0^1 f'(tx)dt$, et en déduire que $g$ se prolonge en une fonction de classe $C^\infty$ sur $\mathbb R$.
  2. On suppose désormais que $f(0)=f'(0)=\dots=f^{(n-1)}(0)$ et on pose $g(x)=\frac{f(x)}{x^n}$, $x\neq 0$. Justifier que $g$ se prolonge en une fonction de classe $C^\infty$ sur $\mathbb R$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $I$ un intervalle, $f:I\times\mathbb R\to\mathbb R$ et $u,v:I\to\mathbb R$ continues. Démontrer que $F : x\mapsto \int_{u(x)}^{v(x)}f(x,t)dt$ est continue sur $I$.
Indication
Corrigé