$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Espaces $L^p$

Enoncé
Soient $f,g\in L^3(\mathbb R)$. Démontrer que $f^2g$ est intégrable.
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Une variante de l'inégalité de Hölder [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $p,q,r\geq 1$ tels que $\frac 1p+\frac 1q=\frac 1r$. Soit $f\in \mathcal L^p(\mu)$ et $g\in\mathcal L^q(\mu)$. Démontrer que $fg\in\mathcal L^r(\mu)$ et que $$\|fg\|_r\leq \|f\|_p\cdot \|g\|_q.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
  1. Décrire (en termes de suite) l'espace $\ell^p=\mathcal{L}^p(\mtn,\mathcal{P}(\mtn),\mu_d)$ où $\mu_d$ est la mesure de dénombrement et $1\leq p\leq+\infty$. Montrer que dans ce cas $\ell^p\subset \ell^q$ si $1\leq p<q\leq +\infty$, et que l'inclusion est stricte.
  2. Soit $(\Omega,\mathcal{A},\mu)$ un espace mesuré avec $\mu(\Omega)<+\infty$. Si $1\leq p<q\leq +\infty$, montrer l'inclusion $\mathcal{L}^p(\Omega)\supset \mathcal{L}^q(\Omega)$. Si $\Omega=[0,1]$ muni de la tribu des boréliens et de la mesure de Lebesgue, montrer que l'inclusion est stricte.
  3. Montrer que si $p\neq q$, les espaces $\mathcal{L}^p(\mtr)$ et $\mathcal{L}^q(\mtr)$ ne sont pas comparables.
  4. Donner un exemple de fonction dans $L^p([0,1])$ pour tout $p\geq 1$, mais pas dans $L^\infty([0,1])$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f$ une fonction complexe, mesurable sur $(\mtr,\mathcal{B}(\mtr))$.
  1. Soit $1\leq \alpha<\beta<\infty$. On suppose que $f\in L^\alpha(\mtr)\cap L^\beta(\mtr)$. Montrer que pour tout $p\in[\alpha,\beta]$, on a $|f|^p\leq |f|^\alpha+|f|^\beta$. En déduire que $\{p\in[1,+\infty[,\ f\in L^p(\mtr)\}$ est un intervalle de $\mtr$.
  2. Montrer que l'application $p\mapsto \|f\|_p$ est continue sur son domaine de définition.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(\Omega,\mathcal{A},\mu)$ un espace mesuré, $p\in[1,+\infty[$ et soit $g\in L^q(\Omega)$, où $q$ est l'exposant conjugué de $p$. Soit $T:L^p(\Omega)\to\mtc$ définie par $T(f)=\int_\Omega f\overline{g}d\mu$.
  1. Montrer que $T$ est définie et continue. Montrer que $\|T\|\leq \|g\|_q$.
  2. En utilisant la fonction $f$ définie par $f(x)=g(x)|g(x)|^{q-2}$ si $g(x)\neq 0$, $f(x)=0$ sinon, montrer qu'en fait $\|T\|=\|g\|_q$.
Corrigé
Exercice 6 - Comportement des intégrales partielles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soit $f\in L^2([0,1])$ et soit, pour $x\in[0,1]$, $F(x)=\int_{[0,x]}fd\lambda$. Montrer que $\lim_{x\to 0}\frac{F(x)}{\sqrt{x}}=0$.
  2. Soit $g\in L^2([0,+\infty[)$ et soit, pour $x\in [0,+\infty[$, $G(x)=\int_{[0,x]}g d\lambda$. Montrer à l'aide de l'inégalité de Cauchy-Schwarz sur un intervalle $[a,x]$ avec $a$ bien choisi que $\lim_{x\to+\infty}\frac{G(x)}{\sqrt{x}}=0$.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Limite des normes $L^p$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $a,b$ deux réels avec $a<b$ et soit $f\in L^\infty([a,b])$. Démontrer que $$\lim_{p\to+\infty}\|f\|_p=\|f\|_\infty.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f\in L^2(\mathbb R_+)$. On pose, pour $x>0$, $$F(x)=\frac 1x\int_0^x f(t)dt.$$
  1. Démontrer que $$\left(\int_0^x f(t)dt\right)^2\leq 2\sqrt x\int_0^x \sqrt t|f(t)|^2dt.$$
  2. En déduire que $F\in L^2(\mathbb R_+)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f_1,f_2,f_3$ trois fonctions de $L^2(\mathbb R^2)$. On définit $f$ sur $\mathbb R^3$ par $$f(x_1,x_2,x_3)=f_1(x_2,x_3)f_2(x_1,x_3)f_3(x_1,x_2).$$ Démontrer que $f\in L^1(\mathbb R^3)$ et que $$\|f\|_1\leq \|f_1\|_2\|f_2\|_2\|f_3\|_2.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Pour $1\leq p<+\infty$, soit $\tau_a:L^p(\mtr)\to L^p(\mtr)$ définie par $\tau_a(f)(x)=f(x-a)$. Démontrer que, pour tout $f\in L^p(\mtr)$, on a $\lim_{a\to 0}\|\tau_a(f)-f\|_p =0$. On pourra commencer par le cas où $f$ est une fonction continue à support compact.
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Produit de convolution [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f,g$ deux fonctions mesurables sur $(\mtr,\mathcal{B}(\mtr))$. On définit, lorsqu'il existe, le produit de convolution de $f$ et $g$ par: $$f\star g(x)=\int_{\mtr}f(x-y)g(y)dy.$$
  1. Soit $p\in[1,+\infty]$ et $q$ l'exposant conjugué de $p$. Montrer que si $f\in L^p(\mtr)$ et $g\in L^q(\mtr)$, alors $f\star g$ existe partout, est borné avec $$\|f\star g\|_\infty\leq \|f\|_p\|g\|_q.$$
  2. On suppose que $f,g\in L^1(\mtr)$. Montrer que $f\star g$ est définie presque partout, appartient à $L^1(\mtr)$ et vérifie $\|f\star g\|_1\leq \|f\|_1\|g\|_1.$
  3. Soit $1<p<+\infty$ et $f\in L^1(\mtr),\ g\in L^p(\mtr)$. En écrivant $$|f(x-y)||g(y)|=|f(x-y)|^{1/p}|g(y)||f(x-y)|^{1/q}$$ montrer que $f\star g$ existe p.p, est dans $L^p(\mtr)$ et satisfait $$\|f\star g\|_{p}\leq \|f\|_1\|g\|_p.$$
Indication
Corrigé