$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Produit de convolution

Existence et calculs
Enoncé
Soit $f=\mathbf{1}_{[-1,1]}$ et $g=\mathbf{1}_{[-a,a]}$, avec $a\geq 1$. Calculer $f\star g$ après en avoir justifié l'existence.
Corrigé
Exercice 2 - Deux fonctions dans $L^1_{\textrm{loc}}$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\alpha$ et $\beta$ deux nombres réels. Montrer l'existence et calculer le produit de convolution $(e^{\alpha x}\mathbf{1}_{[0,+\infty[}(x))\star(e^{\beta x}\mathbf{1}_{[0,+\infty[}(x))$.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Fonctions de $[0,+\infty[$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soient $f$ et $g$ deux fonctions mesurables et localement bornées sur $[0,+\infty[$ (c'est-à-dire bornées sur tout segment de $[0,+\infty[)$. Montrer que le produit de convolution $f\star g$ a un sens.
  2. Soit $K\in L^\infty_{loc}(\mtr_+)$. Pour $n\in\mtn$, on note $K_n=K^{\star n}=K\star\dots\star K$ ($n$ facteurs). Montrer que pour tout $a>0$ et tout $n\in\mtn^*$, on a $$|K_n(x)|\leq M(a)^n\frac{x^{n-1}}{(n-1)!},$$ où $M(a)=\sup_{x\in[0,a]}|K(x)|$.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Convolée de Gaussiennes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $(m,\sigma)\in\mtr\times\mtr_+^*$, on considère la fonction $g_{m,\sigma}$ définie par $$g_{m,\sigma}(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(x-m)^2}{2\sigma^2}}.$$ Si $(p,\sigma)$ et $(q,\tau)$ sont dans $\mtr\times\mtr_+^*$, peut-on définir $g_{p,\sigma}\star g_{q,\tau}$? Que dire de cette fonction? La calculer. On rappelle que $\int_{\mtr}e^{-x^2/2}dx=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}$.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Quand $C^1\star C^1$ donne $C^2$... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur $\mtr$ de classe $C^1$, bornées, et dont les dérivées sont bornées. On suppose que $f$ et $g'$ sont dans $L^1(\mtr)$. Montrer que $f\star g$ est bien définie, et qu'elle est de classe $C^2$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f\in L^1$ à support compact et $g:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction continue $\alpha$-höldérienne, avec $\alpha\in ]0,1]$ : $$\exists C>0,\ \forall (x,y)\in\mathbb R^2,\ |g(x)-g(y)|\leq C|x-y|^\alpha.$$ Démontrer que $f\star g$ existe et est une fonction $\alpha$-höldérienne.
Corrigé
Divers
Exercice 7 - L'opérateur de convolution [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f\in L^1(\mtr^n)$. Montrer que l'opérateur $$\begin{array}{rcl} T:L^2(\mtr^n)&\to&L^2(\mtr^n)\\ g&\mapsto&f\star g \end{array}$$ est continu. Calculer son adjoint.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Application à la topologie [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Donner un exemple de partie mesurable $A$ de $\mtr$ de mesure (de Lebesgue) non nulle, mais ne contenant aucun ouvert (on rappelle que l'on dit alors que $A$ est d'intérieur vide).
  2. Soient $A$ et $B$ deux parties mesurables de $\mtr^d$, de mesure finie mais non nulle. Montrer que la fonction $\mathbf{1}_A\star \mathbf{1}_B$ est continue. En calculant son intégrale sur $\mtr^d$, montrer qu'elle est non nulle. En déduire que l'ensemble $A+B=\{a+b;\ a\in A,\ b\in B\}$ est d'intérieur non vide.
  3. Reprendre la question précédente si $A$ et/ou $B$ peuvent maintenant être de mesure infinie.
Indication
Corrigé
Enoncé
  1. Montrer que si $f$ et $g$ sont deux fonction de $L^1(\mtr)$ paires, alors $f\star g$ est encore paire.
  2. Généralisation : on dit qu'une fonction $f:\mtr^n\to\mtc$ est radiale si la valeur de $f(x)$ ne dépend que de la distance de $x$ à l'origine (la norme choisie ici est la norme euclidienne classique). Montrer que le produit de convolution de deux fonctions radiales de $L^1(\mtr^n)$ est encore une fonction radiale.
Indication
Corrigé
Suites régularisantes
Exercice 10 - Norme de l'opérateur de convolution [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soit $p\in[1,+\infty]$, et $h\in L^p(\mtr^d)$.On sait que $T_h:f\mapsto f\star h$ est un opérateur linéaire borné de $L^1$ dans $L^p$, et que $$\|T_h\|_{\mcl(L^1,L^p)}\leq \|h\|_p.$$ En testant $T_h$ sur une suite régularisante, montrer que $$\|T_h\|_{\mcl(L^1,L^p)}= \|h\|_p.$$
  2. Soit $p\in[1,+\infty[$ et $h\in L^1(\mtr^d)$ une fonction \emph{positive}. On sait que $T_h:f\mapsto f\star h$ est un opérateur linéaire borné sur $L^p$, et que $$\|T_h\|_{\mcl(L^p)}\leq \|h\|_1.$$ En observant que la suite $h_n(x)=\frac{1}{\|h\|_1}n^d h(nx)$ est une unité approchée, montrer que $$\|T_h\|_{\mcl(L^p)}=\|h\|_1.$$
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Convergence du taux d'accroissement [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f\in L^1(\mtr)$.
  1. Pour $h\in\mtr$, exprimer la fonction $x\mapsto \int_x^{x+h}f(t)dt$ comme le produit de convolution de $f$ par une fonction $\alpha_h$.
  2. On pose $F(x)=\int_0^xf(t)dt$, et on pose $G_h(x)=\frac{F(x+h)-F(x)}{h}$. Justifier que $G_h$ converge vers $f$ dans $L^1(\mtr)$ quand $h$ tend vers 0.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Théorème de Weierstrass [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour tout $n\geq 1$, on pose $$a_n=\int_{-1}^1(1-t^2)^ndt\textrm{ et }p_n:\mtr\to\mtc,\ t\mapsto\left\{ \begin{array}{ll} (1-t^2)^n/a_n&\textrm{si }|x|\leq 1\\ 0&\textrm{sinon.} \end{array}\right.$$
  1. Montrer que $(p_n)$ est une unité approchée.
  2. Soit $f$ une fonction continue sur $\mtr$, nulle en dehors de $I=[-1/2,1/2]$. Montrer que $f\star p_n$ est une fonction polynôme sur $I$.
  3. En déduire le théorème de Weierstrass : si $J$ est un segment de $\mtr$, et si $f:J\to\mtc$ est une fonction continue, alors $f$ est limite uniforme sur $J$ d'une suite de fonctions polynômes.
Indication
Corrigé
Enoncé
Si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues et $2\pi$-périodiques, on définit leur produit de convolution par $$f\star g(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x-t)g(t)dt.$$ Dans toute la suite, $f$ désigne une telle fonction continue $2\pi-$périodique. Pour $k\in\mtz$, on note $e_k(x)=e^{ikx}$. On note $$S_n=e_{-n}+e_{-(n-1)}+\dots+e_0+\dots+e_{n-1}+e_n,\textrm{ }C_n=\frac{S_0+S_1+\dots+S_n}{n+1}.$$
  1. Montrer que $f\star S_n$ est un polynôme trigonométrique. Quel nom donne-t-on usuellement à $f\star S_n$?
  2. Montrer que si $x\notin \mtr\backslash 2\pi\mtz$, on a : $$C_n(x)=\frac{1}{n+1}\left(\frac{\sin((n+1)x/2)}{\sin(x/2)}\right)^2.$$
  3. Montrer que $C_n\geq 0$, que $\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi C_n(t)dt=1$, et que pour tout $\alpha\in]0,\pi]$, $C_n$ converge uniformément vers 0 sur $[-\pi,\pi]\backslash [-\alpha,\alpha]$.
  4. Montrer que $f\star C_n$ converge uniformément vers $f$ sur $\mtr$.
Ainsi, cet exercice prouve le théorème de Féjer : toute fonction continue $2\pi-$périodique est limite uniforme sur $\mtr$ de polynômes trigonométriques. En outre, il donne une suite qui réalise l'approximation uniforme - la suite des moyennes de Césaro de la série de Fourier de $f$.
Indication
Corrigé
Produit de convolution de mesures
Enoncé
Pour $a\in\mtr$, on note $\delta_a$ la masse de Dirac en $a$, c'est-à-dire la mesure telle que $$\delta_a(A)=1\iff a\in A,\ \delta_a(A)=0\textrm{ sinon}.$$
  1. Si $\mu$ est une mesure de Borel positive sur $\mtr$, exprimer $\mu\star\delta_a$ comme une certaine mesure image de $\mu$. Etudier le cas particulier de $\mu=\delta_b$, et $\mu$ la mesure de Lebesgue.
  2. Pour $m\geq 1$ un entier, et $p\in[0,1]$, on considère la mesure $$B(m,p)=\sum_{k=0}^m \binom mk p^k(1-p)^{m-k}\delta_k.$$ Montrer que $B(m,p)=B(1,p)\star B(1,p)\star\dots\star B(1,p)$.
Corrigé