$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Systèmes différentiels linéaires - résolution

Exercice 1 - Le plus facile des systèmes différentiels [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique suivant l'axe $(Oz)$ est régi par un système différentiel de la forme $$\left\{ \begin{array}{rcl} x''&=&\omega y'\\ y''&=&-\omega x'\\ z''&=&0 \end{array}\right.$$ où $\omega$ dépend de la masse et de la charge de la particule, ainsi que du champ magnétique. En posant $u=x'+iy'$, résoudre ce système différentiel.
Indication
Corrigé
Enoncé
Résoudre les systèmes différentiels suivants : $$\mathbf 1. \left\{ \begin{array}{rcl} x'&=&x+2y-z\\ y'&=&2x+4y-2z\\ z'&=&-x-2y+z \end{array}\right.\quad\quad \mathbf 2. \left\{\begin{array}{rcl} x'&=&y+z\\ y'&=&-x+2y+z\\ z'&=&x+z \end{array}\right. $$
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Diagonalisable...mais sur les complexes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Donner les solutions réelles du système différentiel $X'=AX$ lorsque $$\mathbf 1. A=\left(\begin{array}{ccc} 1&1&0\\ -1&2&1\\ 1&0&1 \end{array}\right)\quad\quad\mathbf 2. A=\left(\begin{array}{ccc} 0&1&-1\\ 1&4&-2\\ 2&6&-3 \end{array}\right). $$
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Systèmes non diagonalisables [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre le système différentiel $X'=AX$ lorsque $$ \begin{array}{lll} \mathbf 1.\ A=\left(\begin{array}{ccc} 0&2&2\\ -1&2&2\\ -1&1&3 \end{array}\right)&\quad& \mathbf 2.\ A=\left(\begin{array}{ccc} -6&5&3\\ -8&7&4\\ -2&1&1 \end{array}\right) \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Avec l'exponentielle de matrice [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A$ la matrice $$\left( \begin{array}{ccc} 2&0&1\\ 1&-1&-1\\ -1&2&2 \end{array} \right).$$
  1. Calculer le polynôme caractéristique de $A$.
  2. En déduire la valeur de $\exp(tA)$.
  3. Résoudre le système différentiel $$\left\{ \begin{array}{rcl} x_1'(t)&=&2x_1(t)+x_3(t)\\ x_2'(t)&=&x_1(t)-x_2(t)-x_3(t)\\ x_3'(t)&=&-x_1(t)+2x_2(t)+2x_3(t) \end{array}\right. $$
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Avec l'exponentielle de matrice [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A$ la matrice $A=\left(\begin{array}{rcl} a&b&c\\ 0&a&b\\ 0&0&a \end{array} \right)$. Calculer $\exp(A)$. En déduire la solution générale du sytème $X'=AX$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Résoudre les systèmes différentiels suivants : $$\begin{array}{lll} \mathbf 1.\ \left\{ \begin{array}{rcl} x_1'(t)&=&6x_1(t)+3x_2(t)-3t+4e^{3t}\\ x_2'(t)&=&-4x_1(t)-x_2(t)+4t-4e^{3t} \end{array}\right. &\quad& \mathbf 2.\ \left\{ \begin{array}{rcl} x_1'(t)&=&x_1(t)+2x_2(t)+t\\ x_2'(t)&=&-4x_1(t)-3x_2(t). \end{array}\right. \end{array}$$ On donnera les solutions réelles.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Coefficients non constants [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre le système différentiel suivant : $$\left\{\begin{array}{rcl} x_1'&=&(2-t)x_1+(t-1)x_2\\ x_2'&=&2(1-t)x_1+(2t-1)x_2. \end{array}\right.$$
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Avec second membre, et pas à coefficients constants [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre le système différentiel $$\left\{\begin{array}{rcl} x'&=&2tx-y+t\cos t\\ y'&=&x+2ty+t\sin t. \end{array}\right.$$ On pourra, dans le système homogène, effectuer le changement de fonctions inconnues en posant $u=xe^{-t^2}$ et $v=ye^{-t^2}$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Résoudre le système différentiel d'ordre 2 suivant : $$ \left\{ \begin{array}{rcl} x''(t)&=&x'(t)+y'(t)-y(t)\\ y''(t)&=&x'(t)+y'(t)-x(t) \end{array}\right.$$
Indication
Corrigé