$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Équations différentielles non linéaires

Enoncé
Démontrer que l'équation différentielle suivante $$y'=\frac{\sin(xy)}{x^2};\ y(1)=1$$ admet une unique solution maximale.
Indication
Corrigé
Résolution pratique d'équations différentielles non linéaires
Enoncé
Résoudre les équations différentielles suivantes : $$\begin{array}{lll} \mathbf 1.\ y'=1+y^2&\quad&\mathbf 2.\ y'=y^2 \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Équations à variables séparées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre les équations différentielles suivantes : $$ \begin{array}{lll} \mathbf 1.\ y'+e^{x-y}=0,\ y(0)=0&\quad&\mathbf 2.\ y'=\frac{x}{1+y},\ y(0)=0\\ \mathbf 3.\ y'+xy^2=-x,\ y(0)=0. \end{array} $$
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Équations de Bernoulli [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre les équations différentielles suivantes : $$\begin{array}{lll} \mathbf 1.\ y'+2y-(x+1)\sqrt{y}=0,\ y(0)=1&\quad&\mathbf 2.\ y'+\frac1xy=-y^2\ln x,\ y(1)=1\\ \mathbf 3.\ y'-2\alpha y=-2y^2,\ y(0)=\frac\alpha2,\ \alpha>0. \end{array} $$
Indication
Corrigé
Enoncé
Résoudre les équations différentielles suivantes : $$\begin{array}{lll} \mathbf 1.\ xy'=xe^{-y/x}+y,\ y(0)=1&\quad&\mathbf 2.\ x^2y'=x^2+xy-y^2,\ y(1)=0\\ \mathbf 3.\ xy'=y+x\cos^2\left(\frac yx\right),\ y(1)=\frac\pi4. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Du non-linéaire vers le linéaire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On se propose dans cet exercice de résoudre sur l'intervalle $]0,+\infty[$ l'équation différentielle $(E)$ $$y'(x)-\frac{y(x)}{x}-y(x)^2=-9x^2.$$
  1. Déterminer $a>0$ tel que $y_0(x)=ax$ soit une solution particulière de $(E)$.
  2. Soit $y$ une solution de $(E)$ différente de $y_0$, définie sur un intervalle $I\subset ]0,+\infty[$. Démontrer que $y-y_0$ ne s'annule pas sur $I$.
  3. On pose alors $y(x)=y_0(x)-\frac1{z(x)}$. Démontrer que $z$ vérifie l'équation différentielle $(F)$ $$z'(x)+\left(6x+\frac 1x\right)z(x)=1.$$
  4. Résoudre $(F)$ sur $]0,+\infty[$.
  5. En déduire les solutions maximales de $(E)$.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Avec des valeurs absolues [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre l'équation différentielle $y'=|y-x|$.
Indication
Corrigé
Étude qualitative d'équations différentielles
Exercice 8 - Comportement à l'infini [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $y:\mathbb R\to\mathbb R$ une solution de l'équation différentielle $$3x^2y+(x^3-\sin(y))y'=0.$$ Montrer qu'il existe une constante $C>0$ telle que $x^3y(x)+\cos(y(x))=C$ pour tout $x\in\mathbb R$. En déduire que $\lim_{x\to \pm \infty}y(x)=0$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère l'équation différentielle $x'(t)=x(t)\sin^2(x(t))$.
  1. Quelles sont les fonctions constantes solution de cette équation?
  2. Soit $x$ une solution maximale vérifiant $x(0)=x_0$. Montrer que $x$ est bornée, monotone.
  3. Démontrer que $x$ est définie sur $\mathbb R$ tout entier,
  4. Montrer que $x$ admet des limites en $\pm\infty$. Les déterminer.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Avec une exponentielle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère $y$ la solution maximale de $$y'=\exp(-ty)\textrm{ avec }y(0)=0.$$
  1. Démontrer que $y$ est impaire.
  2. Démontrer que $y$ est définie sur $\mathbb R$.
  3. Démontrer que $y$ admet une limite finie $l$ en $+\infty$.
  4. Démontrer que $l\geq 1$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère l'équation différentielle $$y'=x^2+y^2.$$
  1. Justifier l'existence d'une solution maximale $y$ vérifiant $y(0)=0$.
  2. Montrer que $y$ est une fonction impaire.
  3. Étudier la monotonie et la convexité de $y$.
  4. Démontrer que $y$ est définie sur un intervalle borné de $\mathbb R$.
  5. Étudier le comportement de $y$ aux bornes de son intervalle de définition.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Décroissance contrôlée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $g:\mathbb R\to\mathbb R$ de classe $C^1$ telle que $g(0)=g(1)=0$, et vérifiant $g(x)<0$ pour tout $x\in]0,1[$. On notera $-\alpha=g'(0)$, $\alpha>0$. Soit $x_0\in\mathbb R$ et soit $x$ une solution maximale définie sur $]a,b[$ au problème de Cauchy $x'=g(x)$, $x(0)=x_0$.
  1. Démontrer que $x(t)\in ]0,1[$ pour tout $t\in [0,b[$.
  2. En déduire que $b=+\infty$ et démontrer que $\lim_{t\to+\infty}x(t)=0$.
  3. Soit $\beta\in ]0,\alpha[$. Démontrer qu'il existe $C>0$ tel que $x(t)\leq C\exp(-\beta t)$ pour tout $t\geq 0$.
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Étude qualitative d'un système différentiel [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $a,b>0$ deux constantes positives et $x_0 > 0$ , $y_0 > 0$ donnés. Considérons le système différentiel : $$\left\{ \begin{array}{rcl} x'&=& -(b+1)x+x^2y+a \\ y'&=&bx-x^2y\\ x(0)&=&x_0\\ y(0)&=&y_0 \end{array}\right.$$ Dans la suite on note $(x,y)$ une solution maximale du système différentiel, définie sur $[0,T_m[$.
  1. Soit $ \overline{t} \in [0,T_m[$ tel que $x(\overline{t})=0$. Démontrer que $x'(\overline{t})>0$, puis que $ x(t)>0$ pour tout $t\in [0,T_m[$. Démontrer que de même $y(t) >0$ pour tout $ t \in [0, T_m$[.
  2. En remarquant que $(x+y)'(t)\leq a$ pour tout $t \in [0,T_m[$, démontrer que $T_m =+\infty$
  3. Calculer la dérivée de $t \rightarrow x(t) e^{(b+1)t}$. En déduire que, pour tout $0<\gamma <\displaystyle\frac{a}{b+1}$, il existe $T_{\gamma }>0$, indépendant de $x_0 >0$ et de $y_0 >0$ tel que $x(t)\geq \gamma$ pour tout $t\geq T_{\gamma}$.
Indication
Corrigé
Exercices théoriques
Enoncé
Soit $F:\mathbb R^2\to\mathbb R^2$ une fonction de classe $C^1$, et $f,g:\mathbb R\to\mathbb R$ deux solutions maximales de l'équation différentielle $y'=F(t,y)$. On suppose qu'il existe $t_0\in\mathbb R$ tel que $f(t_0)<g(t_0)$. Montrer que pour tout $t\in\mathbb R$, on a $f(t)<g(t)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:\mathbb R^2\to\mathbb R$ une fonction continue, localement lipschitzienne par rapport à la seconde variable. On appelle
  • \emph{barrière inférieure} une fonction $\alpha:\mathbb R\to\mathbb R$ de classe $C^1$ telle que $\alpha'(t)< f(t,\alpha(t))$ pour tout $t\in\mathbb R$.
  • \emph{barrière supérieure} une fonction $\beta:\mathbb R\to\mathbb R$ de classe $C^1$ telle que $\beta'(t)> f(t,\beta(t))$ pour tout $t\in\mathbb R$.
Si $\alpha<\beta$, on appelle \emph{entonnoir} l'ensemble $\{(t,x);\ \alpha(t)\leq x\leq \beta(t)\}$.
  1. Soit $(]a,b[,u)$ une solution de l'équation différentielle $x'=f(t,x)$ vérifiant $u(t_0)=x_0$ où le point $(t_0,x_0)$ est dans l'entonnoir. Montrer que pour tout $t\in[t_0,b[$, le point $(t,u(t))$ est dans l'entonnoir.
  2. En déduire que si $(]a,b[,u)$ est une solution maximale, alors $b=+\infty$.
  3. On considère l'équation différentielle $x'=x^2-t$, et $u$ la solution maximale vérifiant $u(4)=-2$. Montrer que $u$ est définie au moins sur $[4,+\infty[$ et qu'elle est équivalente à la fonction $t\mapsto -\sqrt t$ au voisinage de $+\infty$.
Indication
Corrigé