$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Équations différentielles linéaires - théorie et études qualitatives

Équations du premier ordre
Exercice 1 - Tangentes aux courbes intégrales [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit l'équation $y'=a(x)y+b(x)$, avec $a,b:\mathbb R\to\mathbb R$ continues, et soit $x_0\in\mathbb R$. Montrer que les tangentes au point d'abscisse $x_0$ aux courbes intégrales sont ou bien parallèles ou bien concourantes.
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Comportement à l'infini d'une solution [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Prouver que toute solution de l'équation différentielle $y'+e^{x^2}y=0$ admet une limite nulle en $+\infty$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $a,b:\mathbb R\to\mathbb R$ deux applications continues de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ périodiques de période 1. A quelle(s) condition(s) l'équation différentielle $y'=a(x)y+b(x)$ admet-elle des solutions 1-périodiques. Les déterminer.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $a,b:\mathbb R\to\mathbb R$ deux fonctions continues avec $a$ impaire et $b$ paire. Montrer que l'équation différentielle $$(E)\ y'(t)+a(t)y(t)=b(t)$$ admet une unique solution impaire.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $a:\mathbb R\to\mathbb R$ continue et intégrable. Démontrer que toutes les solutions de l'équation différentielle $y'(t)-a(t)y(t)=0$ sont bornées.
Indication
Corrigé
Équations du second ordre
Enoncé
Soit $p:\mathbb R\to\mathbb R_+$ une fonction continue non identiquement nulle. On se propose de démontrer que toutes les solutions de l'équation différentielle $y''(x)+p(x)y(x)=0$ s'annulent. Pour cela, on raisonne par l'absurde et on suppose que $f$ est une solution ne s'annulant pas.
  1. Justifier que $f$ est de signe constant. Dans la suite, quitte à changer $f$ en $-f$, on supposera $f>0$.
  2. Soit $a\in\mathbb R$ quelconque. Justifier que la courbe représentative de $f$ est en-dessous de sa tangente en $(a,f(a))$.
  3. En déduire que $f'(a)=0$.
  4. Conclure.
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère l'équation différentielle $y''(t)+b(t)y(t)=0$ où $b$ désigne une application continue de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$. On considère $y$ une solution non identiquement nulle de cette équation et on souhaite démontrer que, pour tout segment $[\alpha,\beta]\subset\mathbb R$, le nombre de zéros de $y$ dans $[\alpha,\beta]$ est fini. Pour cela, on raisonne par l’absurde et on suppose qu’il existe une solution $y$ qui possède un nombre infini de zéros dans $[\alpha, \beta]$.
  1. Démontrer qu’il existe dans $[\alpha, \beta]$ une suite $(z_n)_{n\in\mathbb N}$ de zéros de $y$ deux à deux distincts convergeant vers un réel $\gamma\in [\alpha, \beta]$.
  2. Démontrer que $y(\gamma)=0$.
  3. Démontrer que, à partir d’un certain rang, le quotient $T_n =\frac{y(z_n) − y(\gamma)}{z_n-\gamma}$ est bien défini et que $y'(\gamma)=0$.
  4. En déduire que la solution $y$ est nécessairement identiquement nulle et conclure.
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer tous les couples $(a,b)\in\mathbb R^2$ tels que toute solution de $y''+ay'+by=0$ soit bornée.
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Solutions périodiques d'équations différentielles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans cet exercice, $I$ désigne un intervalle ouvert de $\mathbb R$ symétrique par rapport à l'origine, et $\varphi$ une fonction paire, de classe $C^\infty$ sur $I$. On note $(E)$ l'équation différentielle homogène $$y''(x)+\varphi(x) y(x)=0.$$ On note $f_0$ l'unique solution de $(E)$ sur $I$ vérifiant les conditions initiales $f_0(0)=1$ et $f_0'(0)=0$, et $f_1$ l'unique solution vérifiant les conditions initiales $f_1(0)=0$ et $f_1'(0)=1$.
    1. Démontrer que si $y$ est solution de $(E)$ sur $I$, alors $y$ est de classe $C^\infty$.
    2. Démontrer que si $y$ est solution de $(E)$ sur $I$, alors $x\mapsto y(-x)$ est aussi solution de $(E)$ sur $I$.
    3. En déduire que $f_0$ est une fonction paire et que $f_1$ est une fonction impaire.
    4. Exprimer la solution générale de $(E)$ sur $I$ à l'aide de $f_0$ et de $f_1$. En déduire, parmi les solutions de $(E)$, celles qui sont paires et celles qui sont impaires.
  1. On suppose désormais que $I=\mathbb R$ et que $\varphi$ est $2\pi$-périodique.
    1. Soit $y$ une solution de $(E)$ sur $\mathbb R$. Démontrer que $x\mapsto y(x+2\pi)$ est encore solution de $(E)$ sur $\mathbb R$.
    2. En déduire qu'il existe des constantes $w_{00},w_{01},w_{10}$ et $w_{11}$, que l'on déterminera en fonction des valeurs prises par $f_0$, $f_0'$, $f_1$ et $f_1'$ en $2\pi$, telles que pour tout $x\in\mathbb R$, on ait $$\left\{ \begin{array}{rcl} f_0(x+2\pi)&=&w_{00}f_0(x)+w_{10}f_1(x)\\ f_1(x+2\pi)&=&w_{01}f_0(x)+w_{11}f_1(x). \end{array}\right.$$
    3. Soit $W$ la matrice carrée d'ordre $2$ définie par $W=\left(\begin{array}{cc} w_{00}&w_{01}\\ w_{10}&w_{11} \end{array}\right)$. Montrer que, pour que $(E)$ admette sur $\mathbb R$ des solutions non identiquement nulles $2\pi$-périodiques, il faut et il suffit que $W$ admette 1 pour valeur propre. On pourra exprimer une telle solution $g$ en fonction de $f_0$ et $f_1$, puis utiliser la périodicité de $g$.
Corrigé
Exercice 10 - Sur les zéros des solutions d'une équation différentielle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction. On dit qu'un réel $a$ est un \emph{zéro isolé} de $f$ si $f(a)=0$ et s'il n'existe pas de suite $(a_n)$ de zéros distincts de $f$ telle que $(a_n)$ converge vers $a$.
  1. Donner un exemple de fonction continue dont 0 est un zéro non-isolé.
  2. On suppose que $f$ est dérivable, et que $a$ est un zéro de $f$ non-isolé. Prouver que $f'(a)=0$.
  3. On suppose toujours que $f$ est dérivable et que les zéros de $f$ sont isolés. Soient $a$ et $b$ deux zéros consécutifs de $f$. Démontrer que $f'(a)$ et $f'(b)$ ont des signes opposés.
    Dans la suite de l'exercice, on fixe $p,q:\mathbb R\to\mathbb R$ deux fonctions continues, et on considère l'équation différentielle $(E)$ : $$y''+p(t)y'+q(t)y=0.$$
  4. Soit $f$ une solution non-nulle de $(E)$. En utilisant 2., prouver que les zéros de $f$ sont isolés.
  5. Soient $f$ et $g$ deux solutions de $(E)$ et $t_0,C\in\mathbb R$ tels que $g(t_0)=Cf(t_0)$ et $g'(t_0)=Cf'(t_0)$. Prouver que $g=Cf$.
  6. On suppose désormais que $(f,g)$ est une base de solutions de $(E)$. On appelle \emph{wronskien} de $f$ et $g$ la fonction $W$ définie sur $\mathbb R$ par $$W(t)=\left|\begin{array}{cc}f(t)&g(t)\\f'(t)&g'(t)\end{array}\right|.$$ Déduire de la question précédente que $W$ ne s'annule jamais.
  7. Former une équation différentielle du premier ordre vérifiée par $W$ et en déduire l'expression de $W(t)$ en fonction de $W(t_0)$.
  8. Soient $a,b$ deux zéros consécutifs de $f$. Que vaut $W(a)$, $W(b)$? En utilisant les questions précédentes, en déduire que $g$ s'annule sur $[a,b]$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:\mathbb R_+\to\mathbb R$ une fonction continue intégrable. On considère l'équation $y''+f(t)y=0$.
  1. Soit $y$ une solution bornée de l'équation. Montrer que $y'$ tend vers 0 en $+\infty$.
  2. Soit $y_1$, $y_2$ deux solutions. Montrer que leur déterminant wronskien $W(t)=\left|\begin{array}{cc}y_1(t)&y_2(t)\\ y_1'(t)&y_2'(t) \end{array}\right|$ est constant.
  3. En déduire que l'équation admet une solution non bornée.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Au moins/au plus un zéro! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $p:\mathbb R\to\mathbb ]0,+\infty[$ une fonction continue.
  1. Soit $y$ une solution de l'équation différentielle $y''+py=0$. Montrer que $y$ s'annule au moins une fois.
  2. Soit $z$ une solution de l'équation différentielle $z''-pz=0$. Montrer que $z$ est identiquement nulle, ou que $z$ s'annule au plus une fois.
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Principe d'entrelacement des zéros de Sturm [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le but de cet exercice est de donner des indications "qualitatives" sur le nombre et la place des zéros de solutions d'équations différentielles linéaires du second ordre. On fixe $p,q:\mathbb R\to\mathbb R$ deux fonctions continues.
  1. {\bf Une seule équation.} On considère l'équation différentielle $(E)$ $$y''+p(t)y'+q(t)y=0.$$
    1. Soit $f$ une solution non-nulle de $(E)$. Montrer que les zéros de $f$ sont isolés.
    2. Soient $f,g$ deux solutions indépendantes de $(E)$. On appelle wronskien de $f$ et $g$ la fonction $W(t)=f(t)g'(t)-f'(t)g(t)$.
      1. Montrer que $W(t)=W(t_0)\exp\left(-\int_{t_0}^t p(u)du\right)$.
      2. Montrer que $W(t_0)\neq 0$.
      3. En déduire que si $\alpha<\beta$ sont deux zéros consécutifs de $f$, alors il existe $\gamma\in [\alpha,\beta]$ tel que $g(\gamma)=0$.
  2. {\bf Deux équations} On suppose désormais que l'on a deux équations du second ordre $$(E_1):\ y''+p(t)y=0$$ $$(E_2):\ y''+q(t)y=0$$ avec $p\leq q$. On considère $f$ (resp. $g$) une solution non-identiquement nulle de $(E_1)$ (resp. de $E_2$). Montrer que si $\alpha$ et $\beta$ sont deux zéros consécutifs de $f$, alors il existe $\gamma\in [\alpha,\beta]$ tel que $g(\gamma)=0$.
  3. {\bf Comparaison à un cas classique} Soit l'équation $y''+q(t)y=0$, et $f$ une solution non-identiquement nulle de cette équation. Montrer que
    • si $q(t)\leq M^2$, alors deux zéros consécutifs de $f$ sont distants d'au moins $\pi/M$;
    • si $q(t)\geq M^2$, alors dans tout intervalle $I$ de longueur $\pi/M$, $f$ admet au moins un zéro dans $I$.
  4. {\bf Équation de Bessel} On considère l'équation différentielle suivante, dite équation de Bessel : $$y''+\frac 1xy'+\left(1-\frac{\lambda^2}{x^2}\right)y=0,$$ définie sur l'intervalle $]0,+\infty[$.
    1. Effectuer le changement de fonction inconnue $y=v/\sqrt{x}$, et ramener cette équation à une équation de la forme précédente.
    2. Discuter, suivant la valeur de $\lambda$, le nombre de zéros d'une solution non-nulle de l'équation de Bessel dans un intervalle de longueur $\pi$.
Indication
Corrigé
Cas général
Exercice 14 - Fonction non-solution d'une équation différentielle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que la fonction définie sur $\mathbb R^*$ par $f(t)=e^{-1/t^2}$ et prolongée par $f(0)=0$ est de classe $C^\infty$, mais n'est solution d'aucune équation différentielle linéaire homogène.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $a_1,\dots,a_n:I\to \mathbb R$ des fonctions continues. Montrer que toute solution non-nulle de l'équation $y^{(n)}+a_{n-1}(t)y^{(n-1)}+\dots+a_0(t)y=0$ a ses zéros isolés.
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Comportement à l'infini des systèmes 2x2 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right)$ une matrice complexe. Montrer que toutes les solutions du système $X'(t)=AX(t)$ tendent vers 0 en $+\infty$ si et seulement si les valeurs propres de $A$ sont toutes de partie réelle strictement négative.
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Toutes les solutions sont de norme constante [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On munit $\mathbb R^n$ de sa structure euclidienne canonique. Démontrer l'équivalence de
  1. $A$ est antisymétrique;
  2. toutes les solutions de l'équation $X'=AX$ sont de norme constante.
Indication
Corrigé
Exercice 18 - Stabilité des systèmes linéaires [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\Omega$ un ouvert de $\mathbb R^n$ contenant $0$. Soit $y'=f(t,y)$ une équation différentielle avec $f:\mathbb R\times\Omega\to\mathbb R$ continue telle que $f(t,0)=0$. La solution nulle est dite \emph{stable} s'il existe $\eta>0$ et $C>0$ tels que , si $y$ est une solution de l'équation avec $y(0)=\eta$, alors
  1. $y$ est définie sur $[t_0,+\infty[$;
  2. pour tout $t\geq t_0$, $\|y(t)\|\leq C\|y(0)\|$.
Enfin, elle est dite \emph{asymptotiquement stable} s'il existe $\eta>0$ et $C>0$ tels que, si $y$ est une solution de l'équation avec $y(0)=\eta$, alors
  1. $y$ est définie sur $[t_0,+\infty[$;
  2. pour tout $t\geq t_0$, $\|y(t)\|\leq C\|y(0)\|$;
  3. $\lim_{t\to +\infty}y(t)=0$.
Pour $A\in M_n(\mathbb R)$, montrer que la solution nulle de $y'=Ay$ est
  • stable si et seulement si toutes les valeurs propres de $A$ sont de partie réelle négative ou nulle, et que les valeurs propres de partie réelle nulle sont des racines de multiplicité 1 dans le polynôme minimal de $A$.
  • asymptotiquement stable si et seulement si toutes les valeurs propres de $A$ sont de partie réelle strictement négative.
Indication
Corrigé