$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Exercices corrigés - Équations différentielles linéaires du premier ordre - résolution, applications

Résolution pratique
Exercice 1 - Premier ordre, à coefficients constants [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre les équations différentielles suivantes :
  1. $7y'+2y=2x^3-5x^2+4x-1$;
  2. $y'+2y=x^2-2x+3$;
  3. $y'+y=xe^{-x}$;
  4. $y'-2y=\cos(x)+2\sin(x)$;
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Varions la constante... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre les équations différentielles suivantes :
  1. $y'+y=\frac{1}{1+e^x}$ sur $\mathbb R$;
  2. $(1+x)y'+y=1+\ln(1+x)$ sur $]-1,+\infty[$;
  3. $y'-\frac yx=x^2$ sur $]0,+\infty[$;
  4. $y'-2xy=-(2x-1)e^x$ sur $\mathbb R$;
  5. $y'-\frac{2}ty=t^2$ sur $]0,+\infty[$;
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Avec une condition initiale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre les équations différentielles suivantes :
  1. $y'+\tan(t)y=\sin(2t)$, $y(0)=1$ sur $]-\pi/2,\pi/2[$;
  2. $(x+1)y'+xy=x^2-x+1$, $y(1)=1$ sur $]-1,+\infty[$ (on pourra rechercher une solution particulière sous la forme d'un polynôme).
Corrigé
Enoncé
Donner une équation différentielle dont les solutions sont les fonctions de la forme $$x\mapsto \frac{C+x}{1+x^2},\ C\in\mathbb R.$$
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Raccordement détaillé [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soient $C,D\in\mathbb R$. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R^*$ par $$f(x)=\begin{cases} C\exp\left(\frac{-1}x\right)&\textrm{ si }x>0\\ D\exp\left(\frac{-1}x\right)&\textrm{ si }x<0. \end{cases} $$
    1. Donner une condition nécessaire et suffisante portant sur $C$ et $D$ pour que $f$ se prolonge par continuité en $0$.
    2. Démontrer que si cette condition est remplie, ce prolongement, toujours noté $f$, est alors dérivable en $0$ et que $f'$ est continue en 0.
  2. On considère l'équation différentielle $$x^2y'-y=0.$$ Résoudre cette équation sur les intervalles $]0,+\infty[$ et $]-\infty,0[$.
  3. Résoudre l'équation précédente sur $\mathbb R$.
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Raccordement des solutions- tous les cas possibles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer les solutions sur $\mathbb R$ des équations différentielles suivantes :
  1. $ty'-2y=t^3$;
  2. $t^2y'-y=0$;
  3. $(1-t)y'-y=t$.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - D'autres raccordements... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer les solutions des équations différentielles suivantes :
  1. $(x\ln x)y'-y=-\frac{1+\ln x}{x}$ sur $]1,+\infty[$, puis sur $]0,+\infty[$;
  2. $xy'+2y=\frac{x}{1+x^2}$ sur $\mathbb R$;
  3. $y'\cos^2x-y=e^{\tan x}$ sur $\mathbb R$;
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Un double raccordement, mais détaillé... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On cherche à déterminer les fonctions $y:\mathbb R\to\mathbb R$ dérivables vérifiant l'équation $(E)$ suivante : $$\forall x\in\mathbb R,\ x(x-1)y'(x)-(3x-1)y(x)+x^2(x+1)=0.$$
  1. Déterminer deux constantes $a$ et $b$ telles que $$\frac{3x-1}{x(x-1)}=\frac ax+\frac b{x-1}.$$
  2. Sur quel(s) intervalle(s) connait-on l'ensemble des solutions de l'équation homogène? Résoudre l'équation homogène sur cet(ces) intervalle(s).
  3. Chercher une solution particulière à $(E)$ sous la forme d'un polynôme du second degré.
  4. Résoudre $(E)$ sur $\mathbb R$.
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Presque linéaire...ou presque du premier ordre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre les équations différentielles suivantes :
  1. $(1+x)^2y''+(1+x)y'-2=0$ sur $]-1,+\infty[$;
  2. $x^2+y^2+-2xyy'=0$ sur $]0,+\infty[$;
Indication
Corrigé
Exercice 10 - De drôles de conditions initiales [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Déterminer les fonctions $f:\mathbb R\to\mathbb R$ dérivables et telles que $$\forall x\in\mathbb R,\ f'(x)+f(x)=f(0)+f(1).$$
  2. Déterminer les fonctions $f:\mathbb R\to\mathbb R$ dérivables et telles que $$\forall x\in\mathbb R,\ f'(x)+f(x)=\int_0^1 f(t)dt.$$
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Le plus facile des systèmes différentiels [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique suivant l'axe $(Oz)$ est régi par un système différentiel de la forme $$\left\{ \begin{array}{rcl} x''&=&\omega y'\\ y''&=&-\omega x'\\ z''&=&0 \end{array}\right.$$ où $\omega$ dépend de la masse et de la charge de la particule, ainsi que du champ magnétique. En posant $u=x'+iy'$, résoudre ce système différentiel.
Corrigé
Enoncé
Déterminer les solutions sur $\mathbb R$ de $y'=|y-x|$.
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Équation différentielle en Terminale S [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
En Terminale S, les élèves ont les connaissances suivantes :
  • ils savent que la fonction exponentielle est l'unique fonction $y$ dérivable sur $\mathbb R$, telle que $y'=y$ et $y(0)=1$; ils connaissent aussi les principales propriétés de la fonction exponentielle;
  • ils savent que si $f:I\to\mathbb R$ est une fonction dérivable sur l'intervalle I avec $f'=0$, alors $f$ est constante sur $I$.
Les équations différentielles ne sont en revanche pas à leur programme. Proposer un exercice niveau Terminale S proposant de déterminer toutes les solutions de l'équation $y'+2y=x+1$.
Indication
Corrigé
Applications
Exercice 14 - Triplement d'une population [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
L'accroissement de la population $P$ d'un pays est proportionnelle à cette population. La population double tous les 50 ans. En combien de temps triple-t-elle?
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Dissolution d'un composé chimique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
La vitesse de dissolution d'un composé chimique dans l'eau est proportionnelle à la quantité restante. On place 20g de ce composé, et on observe que 5min plus tard, il reste 10g. Dans combien de temps restera-t-il seulement 1g?
Indication
Corrigé
Enoncé
Trouver les courbes d'équation $y=f(x)$, avec $f$ de classe $C^1$ sur l'intervalle $]0,+\infty[$ vérifiant la propriété géométrique suivante : si $M$ est le point courant de la courbe, $T$ l'intersection de la tangente à la courbe en $M$ avec l'axe $(Ox)$, et $P$ le projeté orthogonal de $M$ sur $(Ox)$, alors $O$ est le milieu de $[PT]$.
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Le vecteur sous-tangent [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ dérivable telle que $f'$ ne s'annule pas. Soit $M$ un point de la courbe représentative $C_f$ de $f$ dans le repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$. On note $T$ le point d'intersection de la tangente à $C_f$ avec l'axe $(O,\vec i)$ et $P$ le projeté orthogonal de $M$ sur l'axe $(O,\vec i)$. On appelle vecteur sous-tangent à $C_f$ en $M$ le vecteur $\overrightarrow{TP}$.
Déterminer les fonctions $f:\mathbb R\to \mathbb R$ (dérivables, et dont la dérivée ne s'annule pas) dont les vecteurs sous-tangents en tout point de $C_f$ sont égaux à un vecteur constant.
Indication
Corrigé
Exercice 18 - Une équation fonctionnelle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer les fonctions $f$ dérivables sur $\mathbb R$ et vérifiant, pour tout $x\in\mathbb R$, $f'(x)f(-x)=1$ et $f(0)=-4$.
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Une équation fonctionnelle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer les fonctions $f:\mathbb R\to\mathbb R$ dérivables et vérifiant, pour tous $s,t\in\mathbb R$, $$f(s+t)=f(s)f(t).$$
Indication
Corrigé
Exercice 20 - Où est l'équation différentielle? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f\in\mathcal C^1(\mathbb R)$ telle que $$\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)+f'(x)\big)=0.$$ Montrer que $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$.
Indication
Corrigé
Exercice 21 - Une équation intégrale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Trouver toutes les fonctions $f:\mathbb R_+\to\mathbb R_+$ continues vérifiant, pour tout $x>0$, $$\frac12\int_0^x f^2(t)dt=\frac1x\left(\int_0^x f(t)dt\right)^2.$$
Indication
Corrigé
Exercice 22 - Calcul d'une transformée de Fourier par résolution d'une équation différentielle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
En formant une équation différentielle vérifiée par $f$, calculer la valeur de $$f(x)=\int_0^{+\infty}\frac{e^{-t}}{\sqrt t}e^{itx}dt.$$ On rappelle que $\int_0^{+\infty}e^{-u^2}du=\sqrt\pi/2$.
Indication
Corrigé
Pour les Terminales S
Exercice 23 - Équations différentielles 1 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On se propose de chercher toutes les fonctions $y:\mathbb R\to\mathbb R$, dérivables, et vérifiant : $$\forall x\in\mathbb R, y'(x)+2y(x)=x+1.$$ On notera $(E)$ cette équation.
  1. Équation homogène. On va d'abord chercher toutes les fonctions $y:\mathbb R\to\mathbb R$, dérivables, et vérifiant $$\forall x\in\mathbb R,\ y'(x)+2y(x)=0.$$ On notera $(H)$ cette équation.
    1. Soit $C\in\mathbb R$. Vérifier que la fonction $x\mapsto C\exp(-2x)$ est solution de $(H)$.
    2. Réciproquement, soit $y$ une solution de $(H)$. On pose, pour tout $x\in\mathbb R$, $f(x)=y(x)\exp(2x)$. Démontrer que $f$ est constante. En déduire toutes les solutions de $(H)$.
  2. Retour à l'équation originale :
    1. Déterminer deux réels $a,b$ tels que $y_0(x)=ax+b$ soit solution de $(E)$.
    2. Soit $C\in\mathbb R$. Vérifier que la fonction $y$ définie sur $\mathbb R$ par $y(x)=y_0(x)+C\exp(-2x)$ est solution de $(E)$.
    3. Réciproquement, soit $y$ une solution de $(E)$. On pose $z=y-y_0$. Démontrer que $z$ est solution de $(H)$.
    4. En déduire toutes les solutions de $(E)$.
  3. Sur le même modèle, déterminer l'ensemble des fonctions $y:\mathbb R\to\mathbb R$ dérivables telles que $$\forall x\in\mathbb R,\ y'-7y=-7x^2-5x-6.$$
Indication
Corrigé