Exercices corrigés - Distributions tempérées
Exercice 1 - Convergence de fonctions tests et convergence dans l'espace de Schwartz [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
- Justifier que si $(\phi_k)$ est une suite de $\mcd(\mtr^d)$ qui converge dans $\mcd(\mtr^d)$ vers $\phi\in\mcd(\mtr^d)$, alors la convergence a aussi lieu dans $\mcs(\mtr^d)$.
- Donner une suite de fonctions $(f_n)$ de $\mcd(\mtr)$, qui converge vers 0 dans $\mcs(\mtr)$, mais pas dans $\mcd(\mtr)$.
Enoncé
- Démontrer que la distribution associée à $e^t$ n'est pas tempérée. On pourra l'appliquer à $\tau_a\phi$ où $\phi\in\mcd(]-1,1[)$ est positive, non identiquement nulle, et $\tau_a\phi(x)=\phi(x-a)$..
- Soit $(a_k)$ une suite de nombres complexes et $T=\sum_{k\in\mtn} a_k\delta_k\in\mcd'(\mtr)$. Montrer que $T\in\mcs'(\mtr)$ si et seulement si il existe $p\geq 1$ et $C\geq 0$ tel que $|a_k|\leq C(1+k)^p$. On pourra appliquer $T$ à la fonction $\tau_k\phi$ où $\phi\in\mcd(]-1,1[)$ satisfait $\phi(0)=1$.
Enoncé
Soit $f:\mtr\to\mtc$ une fonction localement intégrable. On désigne par $S$ la distribution associée à la
fonction $f$.
- On suppose qu'il existe un entier $p\geq 0$ tel que $$\int_{\mtr}\frac{|f(x)|}{(1+|x|)^p}<+\infty.$$ Montrer que $S$ est tempérée.
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- Calculer $g'(x)$, où $g$ est la fonction $g(x)=x^m \sin(\exp x)$.
- Montrer que si $S$ est la distribution associée à la fonction $f(x)=x^m\exp(x)\cos(\exp x)$, $m\geq 1$, alors $S$ est tempérée. Que pensez-vous de la réciproque à la question précédente?
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- Soit $\psi\in\mcd(\mtr)$ telle que $\psi=1$ sur $[-1,1]$, $0$ hors de $[-2,2]$, $0\leq\psi\leq 1$. Pour $r\geq 1$, on pose $\phi_r(x)=\psi(x/r)$. Montrer que pour tous $\alpha,k\geq 0$ il existe une constante $C>0$ telle que, pour tout $x\in\mtr$, pour tout $r\geq 1$, on ait $$(1+|x|)^k|\phi_r^{(\alpha)}(x)|\leq C(1+r)^k.$$
- On suppose désormais que $f$ est positive, et que $S$ est une distribution tempérée. Montrer que la réciproque à la question 1. est vraie.
Enoncé
- Soit $f:\mtr\to\mtc$ une fonction intégrable telle que $\int_{\mtr}f(t)dt=1$. On pose, pour $n\geq 1$, $f_n(t)=nf(nt)$. Montrer que $f_n\to\delta_0$ dans $\mcd'(\mtr)$.
- En utilisant le théorème de Weierstrass, déduire de la question précédente qu'il existe une suite de polynômes $(P_n)$ telle que $P_n\to\delta_0$ dans $\mcd'(\mtr)$.
- Montrer qu'il n'existe pas une telle suite de polynômes qui converge vers $\delta_0$ dans $\mcs'(\mtr)$ (on pourra raisonner par l'absurde, montrer que le degré des polynômes d'une telle suite tend vers l'infini, et puis...).