$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Support d'une distribution, opérations

Dérivées de distribution
Enoncé
  1. Soit $T_1$ la distribution associée à la fonction $f(x)=\textrm{signe}(x)$. Calculer la dérivée de $T_1$.
  2. Soit $T_2$ la distribution associée à la fonction $g(x)=|x|$. Calculer la dérivée de $T_2$.
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Dérivation et suite de distributions [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Montrer que si $(T_n)$ est une suite de distributions qui converge vers $T$, alors $(T_n')$ converge vers $T'$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Calculer explicitement $\langle x^\alpha \partial^\beta\delta_p,\phi\rangle$ pour tout $\phi\in\mcd(\mtr^n)$, où $\alpha$ et $\beta$ sont des entiers et $\delta_p$ est la masse de Dirac au point $p\in\mtr$. Quel est le support de $x^\alpha\partial^\beta\delta_p$?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f$ une fonction définie sur $]a,b[$ de classe $C^1$ par morceaux. Soit $a=a_0<a_1<\dots<a_N=b$ une subdivision adaptée à $f$, c'est-à-dire que $f$ se prolonge en une fonction de classe $C^1$ sur chaque $[a_i,a_{i+1}]$. Montrer que l'on a : $$(T_f)'=T_{f'}+\sum_{i=1}^{N-1}\left(f(a_i+0)-f(a_i-0)\right)\delta_{a_i},$$ où $f'$ est la dérivée usuelle de $f$, définie hors des points $a_i$, et $f(a_i\pm0)$ sont les limites à droite et à gauche de $f$ en $a_i$ (les distributions sont considérées comme éléments de $\mcd'(]a,b[)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
  1. Soit $I$ un intervalle ouvert de $\mtr$. Montrer que toute distribution sur $I$ admet une primitive.
  2. Soit $T\in\mcd'(\mtr)$ vérifiant $T'=0$. Montrer que $T$ est la distribution associée à une fonction constante.
Corrigé
Support d'une distribution
Exercice 6 - Nulle sur le support, et pourtant... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Donner un exemple de distribution $T\in\mcd'(\mtr)$ et de fonction $\varphi\in\mcd(\mtr)$ telle que $supp(T)=\{0\}$, $\varphi(0)=0$ et $\langle T,\varphi\rangle\neq 0$. Plus généralement, si $T\in\mcd'(\mtr)$ et $\psi\in\mcd(\mtr)$, quelle condition faut-il sur $T$ et $\psi$ pour que $\langle T,\psi\rangle =0$? Quelle condition donner à $\psi_1,\psi_2\in\mcd(\mtr)$ pour que $\langle T,\psi_1\rangle=\langle T,\psi_2\rangle$?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $T$ une distribution sur $\mtr^n$ et $f$ une fonction $\mathcal C^\infty$ sur $\mtr^n$.
  1. Montrer que si $fT=0$, alors le support de $T$ est inclus dans $Z(f)=\left\{x\in\mtr^n,\ f(x)=0\right\}$.
  2. En prenant $T=\delta'\in\mcd'(\mtr)$, montrer que la réciproque est fausse.
  3. Déterminer les fonction $f$ de classe $\mathcal C^\infty$ telles que $f\delta'=0$.
Corrigé
Exercice 8 - Support réduit à un point [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $T\in\mcd(\mtr)$ tel que $supp(T)=\{0\}$.
  1. Justifier que $T$ est d'ordre fini. Dans la suite, on notera $m$ son ordre.
  2. Soit $\phi\in\mcd(\mtr)$ telle que $\phi(x)=o(x^m)$ au voisinage de 0. Soit $\rho$ une fonction plateau valant 1 au voisinage de 0, et 0 hors de $]-1,1[$. On note $\rho_r(x)=\rho(x/r)$.
    1. Montrer que si $l\leq m$, alors $\sup_{|x|\leq r}|(\rho_r\phi)^{(l)}(x)|\to_{r\to 0}0$.
    2. En déduire que $\langle T,\phi\rangle =0$.
  3. Soit $\phi\in\mcd(\mtr)$. Montrer que $\phi$ s'écrit $$\phi(x)=\sum_{k=0}^m \frac{\phi^{(k)}(0)}{k!}x^k+\psi(x),$$ où $\psi$ est une fonction de classe $C^\infty$ telle que $\psi(x)=o(x^m)$.
  4. En déduire l'existence de complexes $a_0,\dots,a_m$ tels que, pour tout $\phi\in\mcd(\mtr)$, $$\langle T,\phi\rangle =\sum_{0\leq k\leq m}a_k\phi^{(k)}(0).$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $T$ l'application linéaire de $\mcd(\mtr^2)$ dans $\mtc$ définie par $$\langle T,\phi\rangle=\int_{\mtr}\phi(x,-x)dx.$$
  1. Montrer que $T\in\mcd(\mtr^2)$. Quel est son ordre?
  2. Déterminer le support de $T$. En déduire qu'il n'existe pas de fonctions continues sur $\mtr^2$ telle que $T$ soit la distribution associée à cette fonction.
  3. Calculer au sens des distributions $$\frac{\partial T}{\partial x}-\frac{\partial T}{\partial y}.$$
Corrigé
Equations sur les distributions
Enoncé
  1. Montrer que $x \textrm{vp}(1/x)=1$.
  2. Soit $u\in\mcd'(\mtr)$ telle que $xu=0$.
    1. Soit $\phi\in\mcd(\mtr)$ telle que $\phi(0)\neq 0$. Démontrer qu'il existe une constante $C_\phi$ telle que, pour toute fonction $\eta\in\mcd(\mtr)$ égale à 1 sur le support de $\phi$, alors $$C_\phi=\langle u,\eta\rangle.$$
    2. Montrer que si $\phi$ et $\psi$ sont deux fonctions de $\mcd(\mtr)$ telles que $\phi(0)\neq 0$ et $\psi(0)\neq 0$, alors $C_\phi=C_\psi$.
    3. En déduire toutes les solutions de $xu=0$.
  3. Résoudre l'équation $xu=1$.
  4. Soit $T\in\mcd'(\mtr)$. Montrer que si $(\sin x)T=0$ si, et seulement si, il existe une suite $(c_n)$ telle que $T=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n\delta_{n\pi}$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On rappelle que les distributions $T\in\mathcal D(\mathbb R)$ vérifiant $xT=0$ sont les distributions $c\delta_0$, $c\in\mathbb R$.
  1. Pour tout $k\geq 0$, résoudre l'équation $xT=\delta_0^{(k)}$.
  2. Résoudre l'équation $x^2 T=\delta_0$.
  3. Plus généralement, pour tout $n\geq 1$, résoudre l'équation $x^n T=\delta_0$.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Distributions homogènes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Une distribution $T\in\mcd(\mtr^n)$ est dite \emph{homogène de degré $p\in\mtr$} si, pour tout $\lambda>0$ et tout $\phi\in\mcd(\mtr^n)$, on a l'égalité \begin{eqnarray}\label{EQHOMO1} \langle T,\phi_\lambda\rangle=\lambda^{-n-p}\langle T,\phi\rangle, \end{eqnarray} où $\phi_\lambda\in\mcd(\mtr^n)$ est définie par $\phi_\lambda(x)=\phi(\lambda x)$.
  1. Montrer que la masse de Dirac en 0 est homogène de degré $-n$. Montrer que sur $\mtr$, la distribution $\textrm{vp}(1/x)$ est homogène de degré $-1$.
  2. Déterminer les distributions homogènes de degré $-1$ sur $\mtr$ dont le support est $\{0\}$ (on rappelle qu'une distribution dont le support est $\{0\}$ est combinaison linéaire de dérivées de masses de Dirac en 0).
  3. Dans le cas où $T$ est une distribution associée à une fonction $f$ de classe $\mathcal C^\infty$, quelle propriété vérifie $f$ lorsque $T$ est homogène de degré $p$?
  4. Montrer que la dérivée d'une distribution homogène est encore homogène.
  5. Montrer qu'une distribution est homogène de degré $p$ si et seulement si $$\sum_{i=1}^n x_i\frac{\partial T}{\partial x_i}=pT.$$ On pourra utiliser le fait que si $\phi\in\mcd(\mtr^n)$ alors $\frac{\phi_\lambda-\phi}{\lambda-1}$ converge dans $\mcd(\mtr)$ vers $\sum_{j=1}^n\frac{\partial \phi}{\partial x_j}$ lorsque $\lambda$ tend vers 1.
  6. En déduire toutes les distributions homogènes sur $\mtr$ de degré $2$.
Indication
Corrigé
Equations différentielles et distributions
Enoncé
  1. Résoudre dans $\mathcal D(\mathbb R)$ l'équation $T'=0$ (on pourra utiliser que si $\varphi_0$ est une fonction de $\mathcal D(\mathbb R)$ satisfaisant $\int_{\mathbb R}\varphi_0(x)dx=1$, pour tout $\varphi\in\mathcal D(\mathbb R)$, il existe un unique $\psi\in\mathcal D(\mathbb R)$ et un unique $c\in\mathbb R$ tel que $\varphi=\psi'+c\varphi_0$).
  2. En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle $T'-aT=0$, où $a\in\mathbb R$.
  3. Résoudre l'équation différentielle $T'+T=H$, où $H$ est la fonction de Heaviside.
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Deux équations différentielles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre, dans $\mcd'(\mtr)$, les équations différentielles suivantes :
  1. $2xT'-T=\delta_0$,
  2. $xT'+T=0$.
Indication
Corrigé