Exercices corrigés - Support d'une distribution, opérations

Soit $T_1$ la distribution associée à la fonction $f(x)=\textrm{signe}(x)$. Calculer la dérivée de $T_1$.
Soit $T_2$ la distribution associée à la fonction $g(x)=|x|$. Calculer la dérivée de $T_2$.

Exercice 2

- Dérivée de $\ln|x|$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Déterminer la dérivée de la distribution associée à $\ln|x|$.

Exercice 3

- Dérivation et suite de distributions [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Montrer que si $(T_n)$ est une suite de distributions qui converge vers $T$, alors $(T_n')$ converge vers $T'$.

Exercice 4

- Dérivées de Dirac [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Calculer explicitement $\langle x^\alpha \partial^\beta\delta_p,\phi\rangle$ pour tout $\phi\in\mcd(\mtr^n)$, où $\alpha$ et $\beta$ sont des entiers et $\delta_p$ est la masse de Dirac au point $p\in\mtr$. Quel est le support de $x^\alpha\partial^\beta\delta_p$?

Exercice 5

- Formule des sauts [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $f$ une fonction définie sur $]a,b[$ de classe $C^1$ par morceaux. Soit $a=a_0<a_1<\dots<a_N=b$ une subdivision adaptée à $f$, c'est-à-dire que $f$ se prolonge en une fonction de classe $C^1$ sur chaque $[a_i,a_{i+1}]$. Montrer que l'on a : $$(T_f)'=T_{f'}+\sum_{i=1}^{N-1}\left(f(a_i+0)-f(a_i-0)\right)\delta_{a_i},$$ où $f'$ est la dérivée usuelle de $f$, définie hors des points $a_i$, et $f(a_i\pm0)$ sont les limites à droite et à gauche de $f$ en $a_i$ (les distributions sont considérées comme éléments de $\mcd'(]a,b[)$.

Exercice 6

- Primitive [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $I$ un intervalle ouvert de $\mtr$. Montrer que toute distribution sur $I$ admet une primitive.
Soit $T\in\mcd'(\mtr)$ vérifiant $T'=0$. Montrer que $T$ est la distribution associée à une fonction constante.

Soit $T\in\mcd'(I)$ et $S$ une éventuelle primitive de $T$. Prenons $\phi\in\mcd(I)$. On doit alors avoir $$\langle T,\phi\rangle=\langle S',\phi\rangle =-\langle S,\phi'\rangle.$$ $S$ est donc déterminé sur les dérivées d'éléments de $\mcd(I)$. La situation serait parfaite si toute fonction de $\mcd(I)$ était la dérivée d'une fonction de $\mcd(I)$, mais malheureusement ce n'est pas le cas. Cela n'est vrai que pour les fonctions d'intégrale nulle sur $I$. Qu'à cela ne tienne! Rédigeons donc proprement. On a le résultat suivant :
Soit $u\in\mcd(I)$. Il existe $v\in\mcd(I)$ tel que $v'=u$ si et seulement si $\int_{\mtr}u=0$. Dans ce cas, $v$ est unique (et est donnée par la formule $v(x)=\int_{-\infty}^x u(t)dt$).
Le but, étant donnée une fonction $\psi\in\mcd(I)$, est de se ramener à une fonction qui est la dérivée d'une fonction test. Pour cela, on fixe $\theta\in\mcd(I)$ tel que $\int_\mtr\theta=1$. On a alors le résultat suivant :
Soit $\psi\in\mcd(I)$. Il existe un unique $\phi\in\mcd(I)$ tel que $$\psi=(\int_\mtr \psi)\theta+\phi'.$$
En effet, il suffit d'appliquer le résultat précédent à la fonction $u=\psi-(\int_\mtr\psi)\theta$. Supposons maintenant qu'il existe $S\in\mcd'(I)$ tel que $S'=T$. Soit $\psi\in\mcd(I)$, et $\phi\in\mcd(I)$ la fonction qui lui est uniquement associée par le procédé précédent. On a : \begin{eqnarray*} \langle S,\psi\rangle&=&\langle S,(\int\psi)\theta\rangle+\langle S,\phi'\rangle\\ &=&\langle S,\theta\rangle \int\psi -\langle T,\phi\rangle. \end{eqnarray*} On a donc $\langle S,\psi\rangle=C\int_\mtr\psi-\langle T,\phi\rangle$. Passons à la synthèse. On pose $S_0$ la forme linéaire définie sur $\mcd(I)$ par $$\langle S_0,\psi\rangle=-\langle T,\phi\rangle,$$ où $\phi$ est associée à $\psi$. Il faut vérifier que $S_0$ est continue, ce qu'on laisse au lecteur! Il faut aussi vérifier que $S_0'=T$. Mais pour $u\in\mcd(I)$, on a $$\langle S_0',u\rangle=-\langle S_0,u'\rangle.$$ Soit $v$ l'unique fonction de $\mcd(I)$ telle que $$u'=(\int_\mtr u')\theta+v'.$$ $u$ étant à support compact, $\int_\mtr u'=0$, et donc $u'=v'$. Par unicité de $v$, on en déduit que $u=v$. On a donc $$\langle S_0',u\rangle=-\langle S_0,u'\rangle=\langle T,v\rangle=\langle T,u\rangle$$ ce qui prouve que $S_0'=T$. En outre, la partie "analyse" de la preuve garantit que toute primitive de $T$ s'écrit $S=S_0+C$.
On applique simplement le résultat de la question précédente, en remarquant que $S_0=0$ : les seules distributions dont la dérivée est nulle sur un intervalle sont les distributions associées aux fonctions constantes.

Exercice 7

- Nulle sur le support, et pourtant... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Donner un exemple de distribution $T\in\mcd'(\mtr)$ et de fonction $\varphi\in\mcd(\mtr)$ telle que $supp(T)=\{0\}$, $\varphi(0)=0$ et $\langle T,\varphi\rangle\neq 0$. Plus généralement, si $T\in\mcd'(\mtr)$ et $\psi\in\mcd(\mtr)$, quelle condition faut-il sur $T$ et $\psi$ pour que $\langle T,\psi\rangle =0$? Quelle condition donner à $\psi_1,\psi_2\in\mcd(\mtr)$ pour que $\langle T,\psi_1\rangle=\langle T,\psi_2\rangle$?

Exercice 8

- Support et produit [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $T$ une distribution sur $\mtr^n$ et $f$ une fonction $\mathcal C^\infty$ sur $\mtr^n$.

Montrer que si $fT=0$, alors le support de $T$ est inclus dans $Z(f)=\left\{x\in\mtr^n,\ f(x)=0\right\}$.
En prenant $T=\delta'\in\mcd'(\mtr)$, montrer que la réciproque est fausse.
Déterminer les fonction $f$ de classe $\mathcal C^\infty$ telles que $f\delta'=0$.

Exercice 9

- Support réduit à un point [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Soit $T\in\mcd(\mtr)$ tel que $supp(T)=\{0\}$.

Justifier que $T$ est d'ordre fini. Dans la suite, on notera $m$ son ordre.
Soit $\phi\in\mcd(\mtr)$ telle que $\phi(x)=o(x^m)$ au voisinage de 0. Soit $\rho$ une fonction plateau valant 1 au voisinage de 0, et 0 hors de $]-1,1[$. On note $\rho_r(x)=\rho(x/r)$.
1. Montrer que si $l\leq m$, alors $\sup_{|x|\leq r}|(\rho_r\phi)^{(l)}(x)|\to_{r\to 0}0$.
2. En déduire que $\langle T,\phi\rangle =0$.
Soit $\phi\in\mcd(\mtr)$. Montrer que $\phi$ s'écrit $$\phi(x)=\sum_{k=0}^m \frac{\phi^{(k)}(0)}{k!}x^k+\psi(x),$$ où $\psi$ est une fonction de classe $C^\infty$ telle que $\psi(x)=o(x^m)$.
En déduire l'existence de complexes $a_0,\dots,a_m$ tels que, pour tout $\phi\in\mcd(\mtr)$, $$\langle T,\phi\rangle =\sum_{0\leq k\leq m}a_k\phi^{(k)}(0).$$

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Exercice 10

Soit $T$ l'application linéaire de $\mcd(\mtr^2)$ dans $\mtc$ définie par $$\langle T,\phi\rangle=\int_{\mtr}\phi(x,-x)dx.$$

Montrer que $T\in\mcd(\mtr^2)$. Quel est son ordre?
Déterminer le support de $T$. En déduire qu'il n'existe pas de fonctions continues sur $\mtr^2$ telle que $T$ soit la distribution associée à cette fonction.
Calculer au sens des distributions $$\frac{\partial T}{\partial x}-\frac{\partial T}{\partial y}.$$

Exercice 11

- L'équation $xT=1$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Montrer que $x \textrm{vp}(1/x)=1$.
Soit $u\in\mcd'(\mtr)$ telle que $xu=0$.
1. Soit $\phi\in\mcd(\mtr)$ telle que $\phi(0)\neq 0$. Démontrer qu'il existe une constante $C_\phi$ telle que, pour toute fonction $\eta\in\mcd(\mtr)$ égale à 1 sur le support de $\phi$, alors $$C_\phi=\langle u,\eta\rangle.$$
2. Montrer que si $\phi$ et $\psi$ sont deux fonctions de $\mcd(\mtr)$ telles que $\phi(0)\neq 0$ et $\psi(0)\neq 0$, alors $C_\phi=C_\psi$.
3. En déduire toutes les solutions de $xu=0$.
Résoudre l'équation $xu=1$.
Soit $T\in\mcd'(\mtr)$. Montrer que si $(\sin x)T=0$ si, et seulement si, il existe une suite $(c_n)$ telle que $T=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}c_n\delta_{n\pi}$.

Remarquons que ceci correspond ici à la multiplication d'une distribution par une fonction $C^\infty$. On a donc, pour $\phi\in\mcd(\mtr)$, $$\langle x\textrm{vp}(1/x),\phi\rangle=\langle \textrm{vp}(1/x),x\phi\rangle=\lim_{\veps\to 0}\int_{|x|\geq\veps} \frac{x\phi(x)}{x}dx,$$ ce qui donne bien le résultat.
1. L'idée est qu'on connait la valeur de $u$ sur les fonctions qui s'écrivent $x\varphi$, avec $\varphi\in\mcd(\mtr)$. On s'y ramène en décomposant $\phi(x)$ en $\phi(x)=\phi(0)+x\varphi(x)$ où $\varphi$ est de classe $C^\infty$. Multipliant par la fonction $\eta$ donnée par l'énoncé, on obtient : $$\phi=\phi(0)\eta+x\varphi\eta.$$ Si on applique $u$, on trouve : $$\langle u,\phi\rangle=\phi(0)\langle u,\eta\rangle+\langle xu,\varphi\eta\rangle.$$ On obtient finalement $$\langle u,\eta\rangle=\frac{\langle u,\phi\rangle}{\phi(0)},$$ quantité qui est donc indépendante de $\eta$.
2. Soit $\eta$ une fonction de $\mcd(\mtr)$ valant 1 à la fois sur le support de $\phi$ et de $\psi$. Alors on a : $$C_\phi=\langle u,\eta\rangle=C_\psi,$$ ce qui prouve le résultat.
3. Notons $C$ la valeur commune de tous les $C_\phi$, pour $\phi(0)\neq 0$. Le calcul effectué ci-dessus prouve que $\langle u,\phi\rangle = C\phi(0)=C\langle \delta_0,\phi\rangle$. Le résultat reste vérifié si $\phi(0)=0$, car les deux membres sont nuls. Une distribution vérifiant $xu=0$ s'écrit donc $C\delta_0$. La réciproque est clairement vraie!
Ecrivons $1=x\textrm{vp}(1/x)$, ce qui fait que l'équation se réécrit $$x(u-\textrm{vp}(1/x))=0,$$ ce qui entraîne alors $u=\textrm{vp}(1/x)+C\delta_0$.
On note $O_n=]-3\pi/4+n\pi,3\pi/4+n\pi[$, de telle sorte que $(O_n)_{n\in\mtz}$ est un recouvrement localement fini de $\mtr$. Soit $(\chi_n)$ une partition de l'unité associée, et décomposons $\phi$ en $\phi=\sum_{n\in\mtz} \phi(x)\chi_n=\sum_{n\in\mtz}\phi_n$. D'après la formule de Taylor avec reste intégral, chaque $\phi_n$ s'écrit $\phi_n(x)=\phi(n\pi)+(x-n\pi)\psi_n(x)$, où $\psi_n$ est de classe $C^\infty$. Remarquons encore que $x\mapsto (x-n\pi)/\sin(x)$ est de classe $C^\infty$ sur $O_n$. On note $\theta_n$ cettefonction. On peut alors écrire $$\phi_n(x)=\phi_n(x)\eta_n(x)=\phi(n\pi)\eta_n(x)+\sin(x)\theta_n(x)\eta_n(x),$$ où $\eta_n$ est une fonction plateau valant $1$ sur $O_n$ et à support dans $]-\pi+n\pi,\pi+n\pi[$. On obtient alors, puisque $(\sin x)T=0$, $\langle T,\sin(x)\theta_n\eta_n\rangle=0$ et donc $$\langle T,\phi\rangle=\sum_{n\in\mtz}\langle T,\eta_n\rangle\phi(n\pi),$$ ce qui prouve le résultat demandé avec $c_n=\langle T,\eta_n\rangle$. La réciproque est immédiate!

Exercice 12

- Une équation [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

On rappelle que les distributions $T\in\mathcal D(\mathbb R)$ vérifiant $xT=0$ sont les distributions $c\delta_0$, $c\in\mathbb R$.

Pour tout $k\geq 0$, résoudre l'équation $xT=\delta_0^{(k)}$.
Résoudre l'équation $x^2 T=\delta_0$.
Plus généralement, pour tout $n\geq 1$, résoudre l'équation $x^n T=\delta_0$.

On commencer par rechercher une solution particulière sous la forme $c\delta_0^{(k+1)}$. En effet, pour tout $\varphi\in\mathcal D(\mathbb R)$, \begin{eqnarray*}\langle cx\delta_0^{(k+1)},\varphi\rangle &=& c\langle \delta_0^{(k+1)},x\varphi\rangle\\ &=& (-1)^{k+1}c\langle \delta_0, (x\varphi)^{(k+1)}\rangle\\ &=& (-1)^{k+1}c\langle \delta_0, x\varphi^{(k+1)}+(k+1)\varphi^{(k)}\rangle\\ &=&(-1)^{k+1}(k+1)c\varphi^{(k)}(0)\\ &=&-(k+1)c\langle \delta_0^{(k)},\varphi\rangle. \end{eqnarray*} Ainsi, la distribution $T_0=\frac{-1}{k+1}\delta_0^{(k)}$ est une solution particulière de l'équation. Soit maintenant $T$ une autre solution de l'équation. Alors $x(T-T_0)=0$ et donc il existe $c\in\mathbb R$ tel que $T=T_0+c\delta$. Les solutions de l'équations sont donc les distributions $$T=\frac{-1}{k+1}\delta_0^{(k)}+c\delta_0,\ c\in\mathbb R.$$
Posons $S=xT$. L'équation $x^2T=\delta$ est équivalente à $xS=\delta$, donc les solutions sont les distributions $S=-\delta_0'+c\delta_0$. Il faut ensuite résoudre l'équation $xT=-\delta_0'+c\delta_0$, dont les solutions sont, d'après la question précédente, les distributions $T=\frac 12\delta_0''+c_1\delta_0'+c_0\delta_0$, $c_1=-c$, $c_0\in\mathbb R$. Finalement, si $c$ parcourt $\mathbb R$, alors $c_1$ parcourt $\mathbb R$ et les solutions de l'équation $x^2T=\delta_0$ sont les distributions $\frac12 \delta_0''+c_1\delta_0'+c_0\delta_0$, $c_0,c_1\in\mathbb R$.
La réponse aux deux questions précédentes suggère que les solutions de l'équation $x^n T=\delta_0$ sont les distributions $$T=\frac{(-1)^n}{n!}\delta_0^{(n)}+c_{n-1}\delta_0^{(n-1)}+\dots+c_0\delta_0,\ c_0,\dots,c_{n-1}\in\mathbb R.$$ Démontrons par récurrence cette propriété. Elle est vraie si $n=1$ ou $n=2$. Supposons qu'elle est vraie pour $n\geq 1$ et démontrons-la pour $n+1$. Posons $S=x T$. Alors l'équation $x^{n+1}T=\delta_0$ devient $x^n S=\delta_0$. Par hypothèse de récurrence, il existe $d_0,\dots,d_{n-1}$ des réels tels que $$S=\frac{(-1)^n}{n!}\delta_0^{(n)}+d_{n-1}\delta_0^{(n-1)}+\cdots+d_0\delta_0.$$ On résout ensuite l'équation $$xT=\frac{(-1)^n}{n!}\delta_0^{(n)}+d_{n-1}\delta_0^{(n-1)}+\cdots+d_0\delta_0$$ à l'aide de la première question. On trouve que $$T=\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}\delta_0^{(n+1)}-\frac{d_{n-1}}n\delta_0^{(n)}-\cdots-\frac{d_0}{1}\delta_0'+c\delta_0,\ c\in\mathbb R.$$ En posant $c_k=-d_{k-1}/k$ pour $k=1,\dots,n$ et $c_0=c$ (de sorte que les $c_i$ décrivent bien $\mathbb R$), on prouve bien que la propriété est vraie au rang $n+1$. Ainsi, par le principe de récurrence, la propriété est démontrée pour tout entier $n$.

Exercice 13

- Distributions homogènes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Une distribution $T\in\mcd(\mtr^n)$ est dite \emph{homogène de degré $p\in\mtr$} si, pour tout $\lambda>0$ et tout $\phi\in\mcd(\mtr^n)$, on a l'égalité \begin{eqnarray}\label{EQHOMO1} \langle T,\phi_\lambda\rangle=\lambda^{-n-p}\langle T,\phi\rangle, \end{eqnarray} où $\phi_\lambda\in\mcd(\mtr^n)$ est définie par $\phi_\lambda(x)=\phi(\lambda x)$.

Montrer que la masse de Dirac en 0 est homogène de degré $-n$. Montrer que sur $\mtr$, la distribution $\textrm{vp}(1/x)$ est homogène de degré $-1$.
Déterminer les distributions homogènes de degré $-1$ sur $\mtr$ dont le support est $\{0\}$ (on rappelle qu'une distribution dont le support est $\{0\}$ est combinaison linéaire de dérivées de masses de Dirac en 0).
Dans le cas où $T$ est une distribution associée à une fonction $f$ de classe $\mathcal C^\infty$, quelle propriété vérifie $f$ lorsque $T$ est homogène de degré $p$?
Montrer que la dérivée d'une distribution homogène est encore homogène.
Montrer qu'une distribution est homogène de degré $p$ si et seulement si $$\sum_{i=1}^n x_i\frac{\partial T}{\partial x_i}=pT.$$ On pourra utiliser le fait que si $\phi\in\mcd(\mtr^n)$ alors $\frac{\phi_\lambda-\phi}{\lambda-1}$ converge dans $\mcd(\mtr)$ vers $\sum_{j=1}^n\frac{\partial \phi}{\partial x_j}$ lorsque $\lambda$ tend vers 1.
En déduire toutes les distributions homogènes sur $\mtr$ de degré $2$.

On a $$\langle \delta_0,\phi_\lambda\rangle = \langle \delta_0,\phi\rangle(=\phi(0)).$$ Ceci assure que $\delta_0$ est homogène de degré $-n$. Pour la valeur principale, \begin{eqnarray*} \langle \textrm{vp}(1/x),\phi_\lambda\rangle&=&\lim_{\veps\to 0}\int_{|x|\geq\veps}\frac{\phi(\lambda x)}{x}dx\\ &=&\lim_{\veps\to 0}\int_{|\lambda u|\geq \veps}\frac{\phi(u)}{u}du\\ &=&\langle \textrm{vp}(1/x),\phi\rangle. \end{eqnarray*} On en déduit que $\textrm{vp}(1/x)$ est bien homogène de degré $-1$.
Soit $R=\sum_{k=0}^d a_k\delta^{(k)}$ une telle distribution. Remarquons que $R$ est invariante par homothétie. D'autre part, on a $$\langle \delta^{(k)},\phi_\lambda\rangle=(\lambda)^k\langle\delta^{(k)},\phi\rangle.$$ $R$ est invariante par homothétie si et seulement si $R=C\delta_0$.
Lorsque $T=T_f$, on a, pour tout $\phi\in\mcd(\mtr^n)$, $$\int_{\mtr^n}f(x)\phi(\lambda x)dx=\int_{\mtr^n}\lambda^{-n-p}f(x)\phi(x)dx.$$ Le changement de variables $y=\lambda x$ donne $$\lambda^{-n}\int_{\mtr^n}f(y/\lambda)\phi(y)dy=\int_{\mtr^n}\lambda^{-n-p}f(x)\phi(x)dx.$$ Ceci étant vérifié pour toute fonction $\phi$ dans $\mcd(\mtr^n)$, on en déduit que, pour tout $y$, on a $f(y/\lambda)=\lambda^{-p}f(y)$, ou encore $f(\lambda x)=\lambda^p f(x)$ (ce qui correspond à la définition classique d'une fonction homogène).
On a $$\langle T',\phi_\lambda\rangle=-\lambda\langle T,(\phi')_\lambda\rangle=-\lambda^{-n-p+1}\langle T,\phi'\rangle=\lambda^{-n-p+1}\langle T',\phi\rangle,$$ ce qui prouve que $T'$ est homogène de degré $p-1$.
Supposons $T$ homogène de degré $p$. Pour $\lambda\neq 1$, on a alors $$\langle T,\frac{\phi_\lambda-\phi}{\lambda-1}\rangle =\frac{\lambda^{n-p}-1}{\lambda-1}\langle T,\phi\rangle.$$ On fait tendre $\lambda$ vers 1 dans l'égalité ci-dessus. En utilisant le rappel de l'énoncé, on trouve : $$\langle T,\sum_{j=1}^n x_j\frac{\partial \phi}{\partial x_j}\rangle=(-n-p)\langle T,\phi\rangle.$$ En utilisant les définitions de la dérivée d'une distribution et de la multiplication par une fonction $C^\infty$, on trouve $$(-n-p)\langle T,\phi\rangle=-\langle \sum_{j=1}^n \frac{\partial(x_j T)}{\partial x_j},\phi\rangle.$$ Développant la dérivée du membre de droite, on trouve le résultat souhaité.
Réciproquement, soit $T$ une distribution telle que $$\sum_{i=1}^n x_i\frac{\partial T}{\partial x_i}=pT.$$ On pose $f(\lambda)=\langle T,\phi_\lambda\rangle$. Comme précédemment, on trouve $$f'(\lambda)=\langle T,\sum_{j=1}^n x_j \frac{\partial \phi}{\partial x_j}(\lambda x)\rangle.$$ Ainsi, $$f'(\lambda)=\frac{1}{\lambda}\langle T,\sum_{j=1}^n x_j\partial_j\phi_\lambda\rangle=-\frac{n}{\lambda}\langle T,\phi_\lambda\rangle-\frac{1}{\lambda}\langle\sum_{j=1}^nx_j\partial_jT,\phi_\lambda\rangle.$$ Finalement, on obtient $\lambda f'(\lambda)=-(n+p)f(\lambda)$. On a donc $f(\lambda)=C\lambda^{-n-p}$ pour un réel $C$. Il suffit de prendre ensuite $\lambda=1$ pour obtenir la valeur de $C$ et le résultat.
La question précédente assure que $T$ est homogène de degré 2 sur $\mtr$ si et seulement si elle vérifie l'équation différentielle $$xT'-2T=0.$$ On résout cette équation différentielle d'abord en recherchant les fonctions $C^\infty$ solutions de $$xu'-2u=0.$$ Il faut résoudre l'équation sur chaque intervalle $\mtr_+^*$ et $\mtr_-^*$, où on trouve que les solutions sont de la forme $u(x)=C_1x_+^2$ (resp. $u(x)=C_2x_-^2$). Soit maintenant $T$ une distribution solution de l'équation différentielle. On note $T_1$ sa restriction à $\mcd(\mtr_+^*)$ (resp. $T_2$ sa restriction à $\mcd(\mtr_-^*)$). On pose ensuite $S_1=\frac{T_1}{x_+^2}$, qui est distribution sur $\mcd(\mtr_+^*)$ car sur cet intervalle, la fonction $x\mapsto \frac{1}{x_+^2}$ est de classe $C^\infty$. La formule de Leibniz donne alors $S_1'=0$. On en déduit l'existence d'une constante $C_1$ telle que $S_1=C_1$, ce qui donne $T_1=C_1 x_+^2$. De même, de $S_2'=0$, on déduit l'existence d'une constante $C_2$ telle que $T_2=C_2 x_-^2$. Posons enfin $S=T-C_1x_+^2-C_2x_-^2$. Le support de $S$ est contenu dans $\{0\}$, et donc $S$ s'écrit $$S=\sum_{k=0}^m a_k\delta_0^{(k)}.$$ Un calcul facile montre que $$x(\delta^{(k)})'=-(k+1)\delta^{(k)}.$$ On a donc $$xS'-2S=\sum_{k=0}^m [-(k+1)-2]a_k\delta^{(k)}_0=0.$$ Ceci n'est possible que si tous les $a_k$ sont nuls! Les distributions homogènes de degré 2 sur $\mtr$ sont donc les distributions associées aux fonctions localement intégrables $$C_1x_+^2+C_2x_-^2.$$

Exercice 14

- Du premier ordre! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Résoudre dans $\mathcal D(\mathbb R)$ l'équation $T'=0$ (on pourra utiliser que si $\varphi_0$ est une fonction de $\mathcal D(\mathbb R)$ satisfaisant $\int_{\mathbb R}\varphi_0(x)dx=1$, pour tout $\varphi\in\mathcal D(\mathbb R)$, il existe un unique $\psi\in\mathcal D(\mathbb R)$ et un unique $c\in\mathbb R$ tel que $\varphi=\psi'+c\varphi_0$).
En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle $T'-aT=0$, où $a\in\mathbb R$.
Résoudre l'équation différentielle $T'+T=H$, où $H$ est la fonction de Heaviside.

Utilisons les notations de l'énoncé, et remarquons que $c=\int_{\mathbb R}\varphi(x)dx$ puisque $\int_{\mathbb R}\psi'(x)dx=0$ (la fonction $\psi$ étant à support compact). On a alors \begin{eqnarray*} \langle T,\varphi\rangle&=&\langle T,\psi'\rangle+c\langle T,\varphi_0\rangle\\ &=&-\langle T',\psi\rangle+c\langle T,\varphi_0\rangle\\ &=&c\langle T,\varphi_0\rangle \end{eqnarray*} Notons $C=\langle T,\varphi_0\rangle$ (qui ne dépend pas de $\varphi$). Alors on a $$\langle T,\varphi\rangle=C\langle 1,\varphi\rangle$$ et donc $T$ est la distribution associée à une fonction constante $C$. Réciproquement, toute distribution associée à une fonction constante est aussi solution de cette équation.
Posons $S=e^{-at}T$. Alors $$S'=-ae^{-at}T+e^{-at}T'=e^{-at}(T'-aT).$$ Ainsi, si $T$ est solution de l'équation différentielle $T'-aT=0$, $S'=0$ et $S$ est la distribution associée à une fonction constante. Ainsi, $T=Ce^{at}$. Réciproquement, la distribution associée à $Ce^{at}$ est solution de l'équation différentielle.
Comme pour les équations différentielles ordinaires, la solution d'une équation différentielle avec second membre s'écrit comme somme d'une solution de l'équation homogène et d'une solution particulière. La forme du second membre nous incite à chercher une solution particulière sous la forme $fH$, où $f$ est une fonction et $H$ est la fonction de Heaviside. On a alors \begin{eqnarray*} \langle T'_{fH},\varphi\rangle&=&-\langle T_{fH},\varphi'\rangle\\ &=&-\int_{0}^{+\infty}f(x)\varphi'(x)dx\\ &=&-\left[f(x)\varphi(x)\right]_0^{+\infty}+\int_0^{+\infty}f'(x)\varphi(x)\\ &=&f(0)\varphi(0)+\langle T_{f'H},\varphi\rangle\\ &=&\langle f\delta_0, \varphi\rangle+\langle T_{f'H},\varphi\rangle \end{eqnarray*} Ainsi, on a prouvé (pourvu que $f$ soit de classe $\mathcal C^1$ pour pouvoir faire l'intégration par parties) que $$T_{fH}'=f\delta_0+T_{f'H}.$$ Pour que $T_{fH}$ soit une solution de $T'+T=H$, il faut donc que $f(0)=0$ et que, pour tout $x>0$, $f'(x)+f(x)=1$. La résolution de cette équation différentielle donne $f(x)=1-e^{-x}$. On vérifie alors (tous les calculs précédents pouvaient être réalisés au brouillon, ils ne servent qu'à rechercher une solution particulière) que la distribution associée à $(1-e^{-t})H(t)$ est solution particulière de l'équation $T'+T=H$. Les solutions de cette équation sont donc les distributions associées aux fonctions $Ce^{-t}+H(t)(1-e^{-t})$.

Exercice 15

- Deux équations différentielles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Résoudre, dans $\mcd'(\mtr)$, les équations différentielles suivantes :

$2xT'-T=\delta_0$,
$xT'+T=0$.