$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Fonctions tests

Dans la suite, $\mathcal D(\mathbb R^d)$ désigne l'espace des fonctions de classe $\mathcal C^\infty$ à support compact.
Suite de fonctions tests
Exercice 1 - Convergence dans l'espace des fonctions tests? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\varphi\in\mathcal D(\mathbb R)$ non identiquement nulle. Pour tout $n\geq 1$ et tout $x\in\mathbb R$, on pose $\varphi_n(x)=\frac 1n\varphi(nx)$. Étudier la convergence de la suite $(\varphi_n)$ dans $\mathcal D(\mathbb R)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(f_n)$ la suite de fonctions de $\mcd(\mtr)$ définie par : $$f_n(t)=\frac{1}{2^n}\exp\left(-\frac{1}{1-|t|^2/n^2}\right)\textrm{ si }|t|< n,\ 0\textrm{ sinon.}$$ Montrer que, pour chaque $k\geq 0$, la suite de fonctions $(f_n^{(k)})$ converge uniformément sur tout compact vers une fonction $g\in\mcd(\mtr)$ que l'on précisera. A-t-on convergence dans $\mcd(\mtr)$?
Indication
Corrigé
Enoncé
  1. Soit $\phi\in\mcd(\mtr^n)$ et $h\in\mtr^n\backslash\{0\}$. Pour $t\in\mtr\backslash\{0\}$ on pose $$\phi_t(x)=\frac{\phi(x+th)-\phi(x)}{t}.$$ Montrer que $\phi_t\in\mcd(\mtr^n)$ pour $t\neq 0$.
  2. Montrer que lorsque $t$ tend vers 0, $\phi_t$ converge dans $\mcd(\mtr^n)$ vers une fonction que l'on déterminera.
Indication
Corrigé
Résultats utiles avec/sur des fonctions tests
Exercice 4 - Une sorte de développement de Taylor dans $\mathcal D(\mathbb R)$. [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\varphi,\theta\in\mathcal D(\mathbb R)$ tel que $\theta(0)=1$. Démontrer qu'il existe $\psi\in\mathcal D(\mathbb R)$ tel que, pour tout $x\in\mathbb R$, $$\varphi(x)=\varphi(0)\theta(x)+x\psi(x).$$
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Une fonction test est presque la dérivée d'une fonction test! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\varphi_0\in\mathbb D(\mathbb R)$ telle que $\int_{\mathbb R}\varphi_0(t)dt=1$. Démontrer que, pour tout $\varphi\in\mathcal D(\mathbb R)$, il existe un unique couple $(c,\psi)\in\mathbb R\times\mathcal D(\mathbb R)$ tel que $$\varphi=\psi'+c\varphi_0.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $\varphi$ une fonction $\mathcal C^\infty$, à support compact, telle que $\varphi$ est nulle en dehors de $[-1,1]$, et $\int_{-1}^1 \varphi(x)dx=1$. Le but de l'exercice est de construire à l'aide de $\psi$ une fonction $\mathcal C^\infty$, égale à $1$ sur $[-1/2,1/2]$, et nulle en dehors de $[-1,1]$.
  1. Construire à partir de $\varphi$ une fonction $\mathcal C^\infty$ $u$ égale à $0$ sur $]-\infty,-1[$ et égale à $1$ sur $[1,+\infty[$.
  2. En déduire une fonction $v$ égale à $1$ sur $[-1/2,+\infty[$ et nulle sur $]-\infty,-1]$ et une fonction $w$ égale à $1$ sur $]-\infty,1/2[$ et égale à $0$ sur $]1,+\infty[$.
  3. Construire $\psi$.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Fonctions $\mathcal C^\infty$ 1-périodique et somme de fonctions tests [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soit $\varphi\in\mathcal D(\mathbb R)$. On pose, pour tout $x\in\mathbb R$, $f(x)=\sum_{n\in\mathbb Z}\varphi(x+n)$. Justifier que $f$ est bien définie, que $f\in\mathcal C^\infty$ et que $f$ est $1$-périodique.
  2. Réciproquement, on souhaite démontrer que pour toute fonction $f\in\mathcal C^\infty(\mathbb R)$, il existe $\varphi\in\mathcal D(\mathbb R)$ telle que, pour tout $x\in\mathbb R$, $f(x)=\sum_{n\in\mathbb Z}\varphi(x+n)$. On fixe donc une telle fonction $f$. On rappelle par ailleurs que la fonction $$g(x)=\begin{cases} \exp\left(\frac1{x^2-1}\right)&\textrm{ si }|x|<1\\ 0&\textrm{ si } |x|\geq 1 \end{cases}$$ est un élément de $\mathcal D(\mathbb R)$.
    1. On pose $G(x)=\sum_{n\in\mathbb Z}g(x+n)$. Justifier que $G$ est bien définie, et de classe $\mathcal C^\infty$, est $1$-périodique et ne s'annule pas.
    2. Pour $x\in\mathbb R$, on pose $h(x)=\frac{g(x)}{G(x)}$. Justifier que $h\in\mathcal D(\mathbb R)$ et que $\sum_{n\in\mathbb Z}h(x+n)=1$.
    3. En déduire le résultat annoncé.
Indication
Corrigé
Enoncé
  1. Soit $f\in\mcd(\mtr^n)$, $a,b\in\mtr^n$, et $m\geq 0$. Démontrer la formule de Taylor avec reste intégral : $$f(b)=\sum_{|\alpha|\leq m}\frac{(b-a)^\alpha}{\alpha!}\partial^\alpha f(a)+(m+1)\sum_{|\alpha|=m+1}\frac{(b-a)^\alpha} {\alpha !}\int_0^1 (1-t)^m \partial^\alpha f(a+t(b-a))dt.$$
  2. Soit $f\in \mcd(\mtr^n)$ s'annulant à l'origine. Montrer qu'il existe des fonctions $g_1,\dots,g_n\in\mcd(\mtr^n)$ telles que $$\forall x\in\mtr^n,\ f(x)=x_1g_1(x)+\dots+x_ng_n(x).$$
  3. Généraliser au cas où $f$ et toutes ses dérivées (partielles) jusqu'à l'ordre $m-1$ s'annulent en $0$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(a_n)_{n\in\mtn}$ une suite de nombres complexes. Le but de cet exercice est de montrer qu'il existe des fonctions $f:\mtr\to\mtc$ indéfiniment dérivables et telles que $$\forall n\in\mtn, f^{(n)}(0)=a_n.$$
  1. En utilisant une fonction $\phi\in\mcd(\mtr)$ égale à 1 dans un voisinage de $0$, résoudre le problème dans le cas où la série entière $\dis \sum_{n\in\mtn}\frac{a_n}{n!}x^n$ a un rayon de convergence non nul.
  2. Soit $\phi\in\mcd(\mtr)$ à support inclus dans $[-1,1]$ et égale à 1 sur $[-1/2,1/2]$. On définit une suite $\alpha_n$ par $\alpha_n=1$ si $|a_n|\leq 1$ et $\alpha_n=|a_n|$ sinon. On pose, pour chaque $n\in\mtn$, $$f_n(x)=\frac{a_n}{n!}x^n \phi(\alpha_nx),\ f(x)=\sum_{n\in\mtn}f_n(x).$$
    1. Vérifier que la série définissant $f$ converge normalement sur $\mtr$ (on pourra majorer pour chaque $n$ $f_n(x)$ en séparant les cas $|x\alpha _n|\geq 1$ et $|x\alpha_n|<1$).
    2. Montrer que $f$ est $C^\infty$, et calculer $f^{(k)}(0)$.
  3. Est-il toujours possible d'obtenir une fonction vérifiant la même propriété si on demande que $f$ soit entière?
Indication
Corrigé