$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Exercices corrigés - Exemples de distribution, calcul de leur ordre

Exemples de distributions
Enoncé
Pour $\varphi\in\mathcal D(\mathbb R)$, on définit $$\langle T,\varphi\rangle=\sum_{k\geq 1}\frac 1k\left(\phi\left(\frac 1k\right)-\phi(0)\right).$$
  1. Justifier que cette formule définit bien une distribution d'ordre inférieur ou égal à $1$.
  2. Prouver que $T$ n'est pas d'ordre 0. Pour cela, on rappelle que si $a<b<c<d$ sont des réels, il existe $\varphi\in\mathcal D(\mathbb R)$ telle que $0\leq\varphi\leq 1$, $\varphi=1$ sur $[b,c]$ et le support de $\varphi$ est contenu dans $[a,d]$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $T$ la forme linéaire définie sur $\mathcal D(\mathbb R)$ par $\langle T,\varphi\rangle=\varphi'(0)$.
  1. Démontrer que $T$ est une distribution d'ordre inférieur ou égal à 1.
  2. On souhaite démontrer que $T$ n'est pas une distribution d'ordre $0$.
    1. Pour tout $n\geq 1$, donner un exemple de fonction $f_n$ de classe $\mathcal C^\infty$ telle que $f_n'(0)=n$ et telle que $\|f_n\|_\infty=1$.
    2. En déduire, pour tout $n\geq 1$, l'existence d'une fonction $\varphi_n\in\mathcal D(\mathbb R)$, à support dans $[-1,1]$ et telle que $\varphi_n'(0)=n$ et $\|\varphi_n\|_\infty\leq 1$.
    3. Conclure.
Indication
Corrigé
Enoncé
Démontrer que l'on définit une distribution $T\in\mcd'(\mtr)$ en posant $$\forall \phi\in\mcd(\mtr),\ \langle T,\phi\rangle=\lim_{\veps\to 0}\int_{|x|\geq \veps}\frac{\phi(x)}{x}dx.$$ Cette distribution est notée $vp(1/x)$. Montrer que son ordre est inférieur ou égal à 1.
Indication
Corrigé
Enoncé
Pour $-2<\alpha<-1$, montrer que quel que soit $\phi\in\mcd(\mtr)$, on a $$\int_{\veps}^{\infty}x^\alpha \phi(x)dx=A\veps^{\alpha+1}+R_\veps,$$ où $A$ dépend de $\phi$, mais pas de $\veps$, et où $R_\veps$ tend vers une limite si $\veps\to 0$. On pose $$\langle pf(x_+^\alpha),\phi\rangle =\lim_{\veps\to 0}R_\veps.$$ Montrer que $pf(x_+^\alpha)$ est une distribution d'ordre inférieur ou égal à 1.
Corrigé
Exercice 5 - Série de distributions [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Montrer que la formule suivante $$\langle S,\phi\rangle= \sum_{n=1}^{+\infty} \phi^{(n)}(1/n)$$ définit un élément de $\mcd'(\mtr^*)$.
  2. On veut montrer qu'il n'existe pas de distribution $T\in\mcd'(\mtr)$ telle que, pour tout $\phi\in\mcd(\mtr^*)$, $\langle T,\phi\rangle=\langle S,\phi\rangle$. On raisonne par l'absurde et on suppose qu'une telle distribution $T$ existe.
    1. Montrer que pour tout suite $(a_k)_{k\in\mtn}$ de complexes donnée, il existe une fonction $f\in \mcd(\mtr)$ de support inclus dans $]3/4,5/4[$ et telle que $f^{(j)}(1)=a_j$ quel que soit $j$.
    2. On pose $f_k(x)=f(k^2x-k+1)$. Montrer que les supports des $f_k$ sont deux à deux disjoints.
    3. Calculer $f_p^{(n)}(1/n)$.
    4. En prenant $K=[0,5/4]$, $\phi_m=\sum_{p=1}^m f_p$ et $a_k=1$ montrer que $T$ ne peut pas être continue sur $\mcd(\mtr)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Démontrer que la formule $$\langle T,\phi\rangle= \sum_{n=0}^{+\infty} \phi^{(n)}(n)$$ définit un élément de $\mathcal{D}'(\mtr)$. Cette distribution est-elle d'ordre fini? (on pourra procéder par l'absurde, et poser $\phi(x)=\psi(\lambda(x-(m+1)))$, où $\psi(x)=\frac{x^{m+1}}{(m+1)!}\psi_0(x)$, $\psi_0$ étant une fonction de $\mcd(]-1/2,1/2[)$, égale à 1 sur $[-1/4,1/4]$, et $\lambda>1$).
Indication
Corrigé
Enoncé
  1. Soit $\phi\in\mcd(\mtr)$, à support dans $\mtr_+^*$, positive et non identiquement nulle. Démontrer qu'il existe deux constantes $C$ et $\beta$ strictement positives telles que : $$\int_0^{+\infty}\exp(n/u)\phi(u)du\geq C_1\exp(\beta n).$$
  2. Montrer qu'il n'existe pas de distribution $T\in\mcd'(\mtr)$ telle que, pour tout $\phi\in\mcd(]0,+\infty[)$, on ait $$\langle T,\phi\rangle=\int_0^{+\infty}\exp(1/t)\phi(t)dt.$$ On pourra raisonner par l'absurde, considérer une fonction $\phi$ positive à support dans $[1/2,1]$ et poser $\phi_n(x)=\phi(nx)$.
Corrigé
Enoncé
Soit $T\in\mcd'(\mtr^n)$ telle que pour tout $\phi\in\mcd(\mtr^n)$ avec $\phi\geq 0$, on ait $\langle T,\phi\rangle \geq 0$.
  1. Soit $K$ un compact de $\mtr^n$. Montrer que $T$ est continue pour la topologie de $C(K)$.
  2. En déduire qu'il existe une mesure borélienne positive $\mu_K$ sur $K$ telle que, pour tout $\phi\in\mcd(\mtr^n)$ à support dans $K$, on ait $$\langle T,\phi\rangle =\int_K \phi d\mu_K.$$
  3. Montrer qu'il existe une mesure borélienne positive $\mu$ sur $\mtr^n$, localement finie, telle que, pour tout $\phi\in\mcd(\mtr^n)$, on ait $$\langle T,\phi\rangle=\int_{\mtr^n}\phi d\mu.$$
Indication
Corrigé
Suites de distributions
Exercice 9 - Limites de combinaisons linéaires de masses de Dirac [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer les limites dans $\mathcal D'(\mathbb R)$ des suites $(T_n)$ de distributions suivantes :
  1. $T_n=n\left(\delta_{1/n}-\delta_{-1/n}\right)$;
  2. $T_n=n^2\left(\delta_{1/n}+\delta_{-1/n}-2\delta_0\right)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f_n$ la fonction définie sur $\mathbb R$ par $f_n=n$ sur $[0,1/n]$ et $f_n=0$ sinon. On note $T_n$ la distribution associée à $f_n$. Étudier la convergence de la suite $(T_n)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(f_j)_{j\geq 1}$ une suite de fonctions de $L^1_{\textrm{loc}}(\mathbb R^d)$ telle que $\textrm{supp}(f_j)\subset B(0,\veps_j)$ avec $\veps_j\to 0$, $f_j\geq 0$ et $\int_{\mathbb R^d} f_j(x)=1$. Démontrer que $f_j\to \delta_0$ dans $\mathcal D'(\mathbb R^d)$.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Limite de $\sin^2(nx)$ au sens des distributions [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soit $g$ une fonction de classe $\mathcal C^1$ sur l'intervalle $[a,b]$. Démontrer que $\lim_{\lambda\to+\infty}\cos(\lambda x)g(x)dx=0$.
  2. Soit $T_n$ la distribution associée à $\sin^2(nx)$. Étudier la convergence dans $\mathcal D(\mathbb R)$ de la suite $(T_n)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On note $T_N$ la distribution associée à la fonction localement intégrable $t\mapsto \frac{\sin(Nt)}{\pi t}$. Montrer que $T_N$ converge vers $\delta_0$. On rappelle que $\int_{0}^{+\infty}\frac{\sin t}{t}dt=\frac{\pi}{2}$.
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Une suite de distributions [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $F_N(t)=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=-N}^N e^{ikt}$, qui est une fonction localement intégrable. On pose $T_N$ la distribution associée à $F_N$. Le but de l'exercice est de déterminer la limite (au sens des distributions) de $(T_N)$.
  1. Soit $\varphi\in\mcd(\mtr)$ une fonction à support dans $[-(2M+1)\pi,(2M+1)\pi]$. Montrer que $$\langle T_N,\varphi\rangle =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{\sin((2N+1)t/2)}{\sin(t/2)}\phi(t)dt,$$ où $\phi(t)=\sum_{n=-M}^M \varphi(t+2n\pi)$.
  2. En écrivant $\phi(t)=\phi(0)+t\psi(t)$, où $\psi$ est $C^\infty$, démontrer que $T_N$ converge vers $\sum_{p\in\mtz}\delta_{2\pi p}$.
Indication
Corrigé