$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Exercices corrigés - Produit tensoriel et convolution de distributions

Exercice 1 - Premiers calculs - premières propriétés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Calculer $\delta_a'\otimes \delta_b'$.
  2. Calculer $\delta_0'\star \delta_0'$.
  3. Soient $T$ et $S$ deux distributions sur $\mtr$, $S$ étant à support compact; $X^n$ désigne la fonction $x\mapsto x^n$. Démontrer la formule suivante : $$X^n(T\star S)=\sum_{k=0}^n \binom n k(X^kT)\star (X^{n-k}S).$$
  4. Soit $T\in\mcd'(\mtr)$. Montrer qu'il existe une distribution $E$ à support compact telle que $E\star T=T^{(k)}$.
  5. Montrer que $\delta_a\star T=\tau_a T$, où $\tau_a T$ est la distribution définie par $(\tau_a T)(\phi)=T(\phi(.+a))$.
  6. Soient $S$ et $T$ deux distributions convolables. Montrer que $\textrm{Supp}(S\star T)\subset \textrm{Supp}($S$)+\textrm{Supp}($T$)$.
  7. Soient $f_1,f_2\in L^1_{loc}(\mtr)$, $Y$ la fonction d'Heaviside. Montrez que $T_{Yf_1}$ et $T_{Yf_2}$ sont convolables et que $T_{Yf_1}\star T_{Yf_2}=T_{Yf_1\star Yf_2}=T_F$ avec $F(x)=Y(x)\int_0^x f_1(t)f_2(x-t)dt.$
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Support, produit tensoriel et convolution [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soient $S,T\in\mcd'(\mtr^d)$, et $\theta\in\mcd(\mtr^d\times\mtr^d)$ tels que $$\supp(\theta)\cap(\supp(S)\times\supp(T))=\varnothing.$$ Pour $x\in\mtr^d$, on note $\theta_x$ la fonction définie par $\theta_x(y)=\theta(x,y)$, membre de $\mcd(\mtr^d)$.
    1. Montrer qu'il existe un voisinage $V$ de $\supp(S)$ tel que, si $x\in V$, $\langle T,\theta_x\rangle=0$.
    2. En déduire que $\supp(S\otimes T)=\supp(S)\times\supp(T)$.
  2. Soient $S$ et $T$ deux distributions telles que, pour tout compact $K$ de $\mtr^{2d}$, l'ensemble $$L=\left\{(\xi,\eta)\in\mtr^d\times\mtr^d;\ \xi+\eta\in K\right\}\cap(\supp S\times\supp T)$$ est compact. Montrer que l'on peut définir $S\star T$.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Opérateur différentiel [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Trouver deux distributions $H_1$ et $H_2$ de $\mcd'(\mtr)$ telles que $H_k'=\delta_0$ ($k=1,2$), $\supp(H_1)\subset]-\infty,0]$, $\supp(H_2)\subset[0,+\infty[$.
  2. Soit $\phi_1,\phi_2$ une partition de l'unité subordonnée au recouvrement $\mtr=]-\infty,1[\cup]-1,+\infty[$, et soit $T\in\mcd'(\mtr)$. Montrer que $\phi_1T$ est convolable avec $H_1$ et $\phi_2T$ est convolable avec $H_2$.
  3. Démontrer que l'opérateur $V:T\mapsto H\star \phi_1T+H_2\star\phi_2T$ est un inverse à droite de l'opérateur $D:=\frac{d}{dx}$ dans $\mcd'(\mtr)$, i.e. $D\circ V=I_{\mcd'(\mtr)}$. En déduire en particulier que $D$ est surjectif dans $\mcd'(\mtr)$.
  4. Déduire de la question précédente que l'opérateur $D-\lambda I$ admet un inverse à droite dans $\mcd'(\mtr)$ quel que soit $\lambda\in\mtc$.
  5. Soit $P$ un polynôme à coefficients complexes, $P\neq 0$. Montrer que l'opérateur $P(D)$ admet un inverse à droite dans $\mcd'(\mtr)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On note $\mcd'_+=\{T\in\mcd'(\mtr);\ \supp(T)\subset[0,+\infty[\}$.
  1. Montrer que $\mcd_+'$ est une algèbre de convolution.
  2. Montrer que pour tout $\lambda\in\mtc$, la distribution $\delta'-\lambda \delta$ est inversible dans cette algèbre, et que l'on a $$(\delta'-\lambda\delta)^{\star -1}=H(t)e^{\lambda t},$$ $$(\delta'-\lambda\delta)^{\star -n}=H(t)\frac{t^{n-1}e^{\lambda t}}{(n-1)!}.$$
  3. On considère une équation différentielle à coefficients constants (non tous nuls), où l'inconnue est la distribution $T$ et où $S$ est une distribution $$a_kT^{(k)}+\dots+a_0T=S.$$ Montrer qu'il existe une distribution $E$ que l'on explicitera telle que l'équation différentielle est équivalente à $$E\star T=S.$$
  4. On suppose désormais que $S$ est dans $\mcd_+'$. Montrer que l'équation différentielle admet toujours une solution $T$ dans $\mcd_+'$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère l'algèbre de convolution $\mcd'_+=\{T\in\mcd'(\mtr);\ \supp(T)\subset[0,+\infty[\}$.
  1. Soit $(T_j)$ une suite de $\mcd'_+$, qui convergent vers $T$, et soit $S\in\mcd_+'$. Montrer que $S\star T_j$ converge vers $S\star T$.
  2. Soit $K\in L^\infty_{loc}(\mtr_+)$. Pour $n\in\mtn$, on note $K_n=K^{\star n}=K\star\dots\star K$ ($n$ facteurs). Montrer que pour tout $a>0$, tout $x\in[0,a]$, tout $n\in\mtn^*$, on a $$|K_n(x)|\leq M(a)^n\frac{x^{n-1}}{(n-1)!},$$ où $M(a)=\sup_{x\in[0,a]}|K(x)|$.
  3. Montrer que la série $$\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n K_n=\delta-K+K^{\star 2}-\dots$$ converge dans $\mcd'_+$. En déduire que la distribution $\delta+K$ est inversible, et que l'on a $(\delta+K)^{-1}=\delta+L$, où $L$ est une fonction localement bornée.
  4. Soient $f$ et $g$ deux fonctions de $L^1_{loc}(\mtr_+)$ telles que $$f(x)+\int_0^x e^{\lambda(x-y)}f(y)dy=g(x),\ x\geq 0$$ $(\lambda\in\mtc)$. Montrer que ceci est équivalent au fait que $$(\delta+He^{\lambda x})\star f=g,$$ où $H$ est la fonction de Heaviside.
  5. En déduire que l'équation intégrale précédente admet toujours une solution.
Indication
Corrigé