$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Exercices corrigés - Théorèmes d'inversion locale et des fonctions implicites

Difféomorphisme, théorème d'inversion locale, d'inversion globale
Enoncé
Soient $a,b\in \mathbb R$ de sorte que $|ab|<1$.
  1. Soit $v\in\mathbb R$. On définit $g:\mathbb R\to\mathbb R$ par $g(x)=x+a\sin(v-b\sin x)$. Démontrer que $g$ réalise une bijection de $\mathbb R$ sur $\mathbb R$.
  2. On pose $f(x,y)=(x+a\sin y,y+b\sin x)$. Démontrer que $f$ réalise un $C^1$-difféomorphisme de $\mathbb R^2$ sur lui-même.
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Difféomorphisme -Somme et produits [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Montrer que l'application $\phi:(u,v)\mapsto (u+v,uv)$ est un $C^1$-difféomorphisme de $U=\{(u,v)\in\mathbb R^2;\ u>v\}$ vers un ouvert que l'on déterminera.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:\mathbb R^n\to\mathbb R^n$ une application de classe $C^1$ telle qu'il existe $k>0$ vérifiant, pour tout $(x,y)\in\mathbb R^n$, $$\|f(x)-f(y)\|\geq k\|x-y\|.$$
  1. Démontrer que $f(\mathbb R^n)$ est un fermé de $\mathbb R^n$.
  2. Démontrer que $df_x$ est inversible en tout point $x\in\mathbb R^n$.
  3. En déduire que $f$ est un $C^1$-difféomorphisme de $\mathbb R^n$ sur $\mathbb R^n$.
Indication
Corrigé
Théorème des fonctions implicites
Exercice 4 - Théorème des fonctions implicites - application immédiate [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Montrer que la relation $x^4+x^3y^2-y+y^2+y^3=1$ définit $y$ comme fonction de $x$ au voisinage du point $(-1,1)$. Calculer alors $\frac{dy}{dx}$ en ce point.
Indication
Corrigé
Enoncé
Démontrer que la relation $x+y+z+\sin(xyz)=0$ définit $z$ comme fonction de $x$ et de $y$ au voisinage du point $(0,0,0)$. Calculer alors $\frac{\partial z}{\partial x}$ et $\frac{\partial z}{\partial y}$ au voisinage de ce point.
Corrigé
Exercice 6 - Développement limité et fonctions implicites [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Vérifier que la relation $e^{xy}+y^2-xy-3y+2x=-1$ définit $y$ comme fonction de $x$ sur un voisinage de $(0,1)$. Montrer que cette fonction admet un développement limité à tout ordre au voinage de $x=0$. Calculer ce développement limité à l'ordre 2.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Racine carrée de matrice [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
En considérant l'application $\phi:\mathcal M_n(\mathbb R)\to\mathcal M_n(\mathbb R),\ M\mapsto M^2$, démontrer qu'il existe $\alpha>0$ telle que toute matrice $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ vérifiant $\|A-I\|<\alpha$ possède une racine carrée, où $I$ désigne la matrice unité de $\mathcal M_n(\mathbb R)$.
Indication
Corrigé