$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Extrema des fonctions de plusieurs variables

Extrema libres - points critiques
Enoncé
On pose $f(x,y)=x^2+y^2+xy+1$ et $g(x,y)=x^2+y^2+4xy-2$.
  1. Déterminer les points critiques de $f$, de $g$.
  2. En reconnaissant le début du développement d'un carré, étudier les extrema locaux de $f$.
  3. En étudiant les valeurs de $g$ sur deux droites vectorielles bien choisies, étudier les extrema locaux de $g$.
Corrigé
Enoncé
Déterminer les extrema locaux des fonctions $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ suivantes :
  1. $f(x,y) = x^2 + xy + y^2 - 3x - 6y$
  2. $f(x,y) = x^2 + 2y^2 - 2xy - 2y + 5$
  3. $f(x,y) = x^3 + y^3 $
  4. $f(x,y) = (x - y)^2 + (x + y)^3 $
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Point de Torricelli/Fermat [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A,B,C$ trois points non alignés d'un espace euclidien. On pose, pour tout point $M$, $f(M)=AM+BM+CM$.
  1. Étudier la différentiabilité de $g(M)=AM$ et calculer sa différentielle.
  2. Démontrer que $f$ atteint son minimum en au moins un point, et que tout point où $f$ atteint son minimum est situé dans le plan affine $(ABC)$.
  3. Démontrer que $f$ est strictement convexe, et en déduire que $f$ atteint un unique minimum.
  4. Soit $F$ le point où $f$ atteint son minimum. On suppose que $F$ est distinct de $A,B$ et $C$. Démontrer que $$\frac{1}{AF}\overrightarrow{AF}+\frac 1{BF}\overrightarrow{BF}+\frac 1{CF}\overrightarrow{CF}=\vec 0.$$
Indication
Corrigé
Extrema libres - avec dérivées du second ordre
Enoncé
Déterminer les extrema locaux des fonctions suivantes :
  1. $f(x,y)=y^2-x^2+\frac{x^4}2$;
  2. $f(x,y)=x^3+y^3-3xy$;
  3. $f(x,y)=x^4+y^4-4(x-y)^2$.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Extrema locaux et globaux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer les extrema locaux et globaux des fonctions suivantes :
  1. $f(x,y)=2x^3+6xy-3y^2+2$;
  2. $f(x,y)=y\big(x^2+(\ln y)^2\big)$ sur $\mathbb R\times ]0,+\infty[$;
  3. $f(x,y)=x^4+y^4-4xy$;
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Extrema dégénérés... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer les extrema locaux des fonctions suivantes. Est-ce que ce sont des extrema globaux?
  1. $f(x,y)=x^2+y^3$;
  2. $f(x,y)=x^4+y^3-3y-2$;
  3. $f(x,y)=x^3+xy^2-x^2y-y^3$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Étudier les extrema locaux et globaux dans $\mathbb R^2$ de la fonction $f(x,y)=x^2y^2(1+x+2y)$.
Indication
Corrigé
Extrema sous contraintes
Enoncé
Soit $f(x,y)=y^2-x^2y+x^2$ et $D=\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ x^2-1\leq y\leq 1-x^2\}$.
  1. Représenter $D$ et trouver une paramétrisation de $\Gamma$, le bord de $D$.
  2. Justifier que $f$ admet un maximum et un minimum sur $D$.
  3. Déterminer les points critiques de $f$.
  4. Déterminer le minimum et le maximum de $f$ sur $\Gamma$.
  5. En déduire le minimum et le maximum de $f$ sur $D$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Pour chacun des exemples suivants, démontrer que $f$ admet un maximum sur $K$, et déterminer ce maximum.
  1. $f(x,y)=xy(1-x-y)$ et $K=\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ x,y\geq 0,\ x+y\leq 1\};$
  2. $f(x,y)=x-y+x^3+y^3$ et $K=[0,1]\times [0,1]$;
  3. $f(x,y)=\sin x\sin y\sin(x+y)$ et $K=[0,\pi/2]^2$.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Polygone convexe de périmètre maximal inscrit dans le cercle unité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère un polygone convexe à $n$ côtés inscrit dans le cercle unité du plan euclidien. On note $P$ son périmètre, et $e^{ia_1}$, $e^{ia_2},\dots,e^{ia_n}$ les affixes de ses sommets, avec $0\leq a_1<a_2<\dots<a_n<2\pi$.
  1. On pose, pour $k\in\{1,\dots,n-1\}$, $t_k=\frac 12\left(a_{k+1}-a_k\right)$ et $t_n=\frac12\left(a_1+2\pi-a_n\right)$. Montrer que $P=2\sum_{k=1}^n \sin(t_k)$.
  2. Montrer que $P$ est maximal lorsque le polygone est régulier.
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Volume et surface d'une boite [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On désire fabriquer une boite ayant la forme d'un parallélépipède rectangle, sans couvercle sur le dessus. Le volume de cette boite doit être égal à $0,5m^3$ et pour optimiser la quantité de mâtière utilisée, on désire que la somme des aires des faces soit aussi petite que possible. Quelles dimensions doit-on choisir pour fabriquer la boite?
Indication
Corrigé
Enoncé
Étudier les extrema de la fonction $f:\mathbb R^2\to\mathbb R,\ (x,y)\mapsto \exp(axy)$, $a>0$ sous la contrainte $x^3+y^3+x+y-4=0$.
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Inégalité arithmético-géométrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 2$ et $f:\mathbb R^n\to\mathbb R$, $(x_1,\dots,x_n)\mapsto x_1\cdots x_n$. On note $\Gamma=\{(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb R_+^n;\ x_1+\dots+x_n=1\}$.
  1. Démontrer que $f$ admet un maximum global sur $\Gamma$ et le déterminer.
  2. En déduire l'inégalité arithmético-géométrique : pour tout $(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb R_+^n$, on a $$\prod_{i=1}^n x_i^{1/n}\leq \frac{\sum_{i=1}^n x_i}n.$$
Indication
Corrigé
Exercices théoriques sur les extrema
Enoncé
Soit $f$ une fonction convexe différentiable de $\mathbb R^n$ dans $\mathbb R$. Montrer que tout point critique de $f$ est un minimum global.
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Le théorème de Rolle en plusieurs variables [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R^n\to\mathbb R$ différentiable. On note $S$ la sphère unité de $\mathbb R^n$ et $B$ la boule unité ouverte. On suppose que $f$ est constante sur $S$. Démontrer l'existence de $x_0\in B$ tel que $df_{x_0}=0$.
Indication
Corrigé
Exercice 16 - La méthode des moindres carrés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Étant donné un nuage de points $(x_i,y_i)_{i=1}^n$, la droite des moindres carrés (ou droite de régression linéaire) est la droite d'équation $y=mx+p$ qui minimise la quantité $$F(m,p)=\sum_{k=1}^n (y_k-mx_k-p)^2.$$
  1. Démontrer que si $(m,p)$ est un couple où ce minimum est atteint, alors $(m,p)$ est solution du système $$\left\{ \begin{array}{rcl} \sum_{k=1}^n (y_k-mx-p)&=&0\\ \sum_{k=1}^n x_k(y_k-mx_k-p)&=&0. \end{array}\right.$$
  2. On note $\bar x$ et $\bar y$ les valeurs moyennes respectives de $(x_i)_{i=1,\dots,n}$ et $(y_i)_{i=1,\dots,n}$. Démontrer que si $\sum_{k=1}^n (x_k-\bar x)^2\neq 0$, alors il existe au plus une droite des moindres carrés, avec $$m=\frac{\sum_{k=1}^n (x_k-\bar x)(y_k-\bar y)}{\sum_{k=1}^n (x_k-\bar x)^2}.$$
  3. On veut désormais prouver l'existence d'une droite des moindres carrés, toujours sous la condition $\sum_{k=1}^n (x_k-\bar x)^2\neq 0$.
    1. Pourquoi suffit-il de prouver que $\lim_{\|(m,p)\|\to+\infty}F(m,p)=+\infty$?
    2. Démontrer que $$F(m,p)=\sum_{i=1}^n u_i^2(m,p)+v(m,p)+c,$$ où $u_1,\dots,u_n,v$ sont des formes linéaires sur $\mathbb R^2$ et $c\in\mathbb R$.
    3. Démontrer que le rang de $(u_1,\dots,u_n)$ est 2.
    4. On suppose que $(u_1,u_2)$ sont indépendantes. Justifier que l'on peut écrire $$F(m,p)=u_1^2(m,p)+au_1(m,p)+u_2^2(m,p)+bu_2(m,p)+c+R(m,p),$$ où $a,b,c\in\mathbb R$ et $R(m,p)\geq 0$.
    5. Justifier que $\|(m,p)\|\to+\infty\implies |u_1(m,p)|+|u_2(m,p)|\to+\infty$.
    6. Conclure.
  4. Application numérique : Une réaction lente conduit à une concentration $y$ de produit, donnée en fonction du temps par la relation théorique $$y=0,01-\frac{1}{\alpha t+\beta}.$$ L'expérience conduit au tableau de valeurs suivant : $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline t\quad (sec)&0&180&360&480&600&900&1200\\ \hline y\quad (10^{-3} mole/l)&0&2,6&4,11&4,81&5,36&6,37&6,99\\ \hline \end{array}.$$ Déterminer par la méthode des moindres carrés des valeurs possibles pour $\alpha$ et $\beta$.
Corrigé
Enoncé
Soit $f$ une fonction définie sur une partie $A$ de $\mtr^2$, et $a\in\mtr^2$. On dit qu'une fonction $f$ présente en $a$
  • un maximum local s'il existe un réel $r>0$ tel que $$\forall u\in A,\ \|u-a\|\leq r\implies f(u)\leq f(a).$$
  • un minimum local s'il existe un réel $r>0$ tel que : $$\forall u\in A,\ \|u-a\|\leq r\implies f(u)\geq f(a).$$
  • un extrémum local si elle présente en $a$ un maximum local ou un minimum local.
On suppose dans la suite que $f$ est une fonction de classe $C^1$ sur un ouvert $U$ de $\mtr^2$, et soit $a\in U$.
  1. Montrer que si $f$ présente un extremum en a, alors les dérivées partielles de $f$ en $a$ sont nulles. Un tel point (où les dérivées partielles s'annulent) est appelé point critique de $f$.
  2. Soit $f$ la fonction définie sur $\mtr^2$ par $f(x,y)=x^2+y^2-2x-4y$. Montrer que $f$ admet $(1,2)$ pour seul point critique. En effectuant le changement d'origine $x=1+X$ et $y=2+Y$ et en calculant $f(1+X,2+Y)$, prouver que $f$ admet un minimum local en $(1,2)$.
  3. Soit $f$ la fonction définie sur $\mtr^2$ par $f(x,y)=x^3+y^3-6(x^2-y^2).$
    1. Montrer que $f$ possède 4 points critiques.
    2. En calculant $f(t,0)$ et $f(0,t)$, prouver que $f$ n'admet pas d'extrémum en $(0,0)$, bien que ce point soit un point critique.
    3. Ecrire la formule de Taylor à l'ordre 2 en $(4,0)$. En déduire que $f$ admet un minimum local en $(4,0)$.
    4. En s'aidant des questions précédentes, faire l'étude locale aux autres points critiques.
Indication
Corrigé