Exercices corrigés - Extrema des fonctions de plusieurs variables
Extrema libres - points critiques
Enoncé
On pose $f(x,y)=x^2+y^2+xy+1$ et $g(x,y)=x^2+y^2+4xy-2$.
- Déterminer les points critiques de $f$, de $g$.
- En reconnaissant le début du développement d'un carré, étudier les extrema locaux de $f$.
- En étudiant les valeurs de $g$ sur deux droites vectorielles bien choisies, étudier les extrema locaux de $g$.
Enoncé
Déterminer les extrema locaux des fonctions $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ suivantes :
- $f(x,y) = x^2 + xy + y^2 - 3x - 6y$
- $f(x,y) = x^2 + 2y^2 - 2xy - 2y + 1$
- $f(x,y) = x^3 + y^3 $
- $f(x,y) = (x - y)^2 + (x + y)^3 $
Enoncé
Soit $A,B,C$ trois points non alignés d'un espace euclidien. On pose, pour tout point $M$, $f(M)=AM+BM+CM$.
- Étudier la différentiabilité de $g(M)=AM$ et calculer sa différentielle.
- Démontrer que $f$ atteint son minimum en au moins un point, et que tout point où $f$ atteint son minimum est situé dans le plan affine $(ABC)$.
- Démontrer que $f$ est strictement convexe, et en déduire que $f$ atteint un unique minimum.
- Soit $F$ le point où $f$ atteint son minimum. On suppose que $F$ est distinct de $A,B$ et $C$. Démontrer que $$\frac{1}{AF}\overrightarrow{AF}+\frac 1{BF}\overrightarrow{BF}+\frac 1{CF}\overrightarrow{CF}=\vec 0.$$
Extrema libres - avec dérivées du second ordre
Enoncé
Déterminer les extrema locaux des fonctions suivantes :
- $f(x,y)=y^2-x^2+\frac{x^4}2$;
- $f(x,y)=x^3+y^3-3xy$;
- $f(x,y)=x^4+y^4-4(x-y)^2$.
Enoncé
Déterminer les extrema locaux et globaux des fonctions suivantes :
- $f(x,y)=2x^3+6xy-3y^2+2$;
- $f(x,y)=y\big(x^2+(\ln y)^2\big)$ sur $\mathbb R\times ]0,+\infty[$;
- $f(x,y)=x^4+y^4-4xy$;
Enoncé
Déterminer les extrema locaux des fonctions suivantes. Est-ce que ce sont des extrema globaux?
- $f(x,y)=x^2+y^3$;
- $f(x,y)=x^4+y^3-3y-2$;
- $f(x,y)=x^3+xy^2-x^2y-y^3$.
Enoncé
Étudier les extrema locaux et globaux dans $\mathbb R^2$ de la fonction $f(x,y)=x^2y^2(1+x+2y)$.
Extrema sous contraintes
Enoncé
Soit $f(x,y)=y^2-x^2y+x^2$ et $D=\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ x^2-1\leq y\leq 1-x^2\}$.
- Représenter $D$ et trouver une paramétrisation de $\Gamma$, le bord de $D$.
- Justifier que $f$ admet un maximum et un minimum sur $D$.
- Déterminer les points critiques de $f$.
- Déterminer le minimum et le maximum de $f$ sur $\Gamma$.
- En déduire le minimum et le maximum de $f$ sur $D$.
Enoncé
Pour chacun des exemples suivants, démontrer que $f$ admet un maximum sur $K$, et déterminer ce maximum.
- $f(x,y)=xy(1-x-y)$ et $K=\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ x,y\geq 0,\ x+y\leq 1\};$
- $f(x,y)=x-y+x^3+y^3$ et $K=[0,1]\times [0,1]$;
- $f(x,y)=\sin x\sin y\sin(x+y)$ et $K=[0,\pi/2]^2$.
Exercice 10 - Polygone convexe de périmètre maximal inscrit dans le cercle unité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère un polygone convexe à $n$ côtés inscrit dans le cercle unité du plan euclidien. On note $P$ son périmètre, et $e^{ia_1}$, $e^{ia_2},\dots,e^{ia_n}$ les affixes de ses sommets, avec $0\leq a_1<a_2<\dots<a_n<2\pi$.
- On pose, pour $k\in\{1,\dots,n-1\}$, $t_k=\frac 12\left(a_{k+1}-a_k\right)$ et $t_n=\frac12\left(a_1+2\pi-a_n\right)$. Montrer que $P=2\sum_{k=1}^n \sin(t_k)$.
- Montrer que $P$ est maximal lorsque le polygone est régulier.
Enoncé
On désire fabriquer une boite ayant la forme d'un parallélépipède rectangle, sans couvercle sur le dessus.
Le volume de cette boite doit être égal à $0,5m^3$ et pour optimiser la quantité de mâtière utilisée, on désire
que la somme des aires des faces soit aussi petite que possible. Quelles dimensions doit-on choisir pour fabriquer la boite?
Enoncé
Étudier les extrema de la fonction $f:\mathbb R^2\to\mathbb R,\ (x,y)\mapsto \exp(axy)$, $a>0$
sous la contrainte $x^3+y^3+x+y-4=0$.
Enoncé
Soit $n\geq 2$ et $f:\mathbb R^n\to\mathbb R$, $(x_1,\dots,x_n)\mapsto x_1\cdots x_n$. On note
$\Gamma=\{(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb R_+^n;\ x_1+\dots+x_n=1\}$.
- Démontrer que $f$ admet un maximum global sur $\Gamma$ et le déterminer.
- En déduire l'inégalité arithmético-géométrique : pour tout $(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb R_+^n$, on a $$\prod_{i=1}^n x_i^{1/n}\leq \frac{\sum_{i=1}^n x_i}n.$$
Exercices théoriques sur les extrema
Enoncé
Soit $f$ une fonction convexe différentiable de $\mathbb R^n$ dans $\mathbb R$.
Montrer que tout point critique de $f$ est un minimum global.
Exercice 15 - Le théorème de Rolle en plusieurs variables [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R^n\to\mathbb R$ différentiable. On note $S$ la sphère unité de $\mathbb R^n$ et
$B$ la boule unité ouverte. On suppose que $f$ est constante sur $S$. Démontrer l'existence de $x_0\in B$ tel que
$df_{x_0}=0$.
Exercice 16 - Polynôme de degré 2, en plusieurs variables [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 1$, $E=\mathbb R^n$ muni de sa structure euclidienne canonique, $u$ un vecteur fixé de $E$, $A$ une matrice symétrique réelle
et $\phi$ l'endomorphisme de $E$ de matrice $A$ dans la base canonique. On suppose de plus que $\langle x,\phi (x)\rangle>0$ pour tout $x\in E$ non nul
et on pose
$$f(x)=\langle x,\phi(x)\rangle-2\langle x,u\rangle.$$
- Démontrer que les valeurs propres de $\phi$ sont strictement positives.
- Soit $(V_1,\dots,V_n)$ une base orthonormale de vecteurs propres de $\phi$, associés aux valeurs propres $\lambda_1,\dots,\lambda_n$. Exprimer $f(x)$ en fonction des coordonnées $(x_1,\dots,x_n)$ de $x$ dans $(V_1,\dots,V_n)$. En déduire que $f$ admet un unique point critique en un certain $y\in E$ que l'on déterminera.
- Quelle est la nature de $y$?
Exercice 17 - Principe du maximum pour les fonctions sous-harmoniques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R^2\to\mathbb R$ une fonction de classe $\mathcal C^2$. On notera $\Delta f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$. On fixe $D$ un disque ouvert de $\mathbb R^2$ et on suppose que $\Delta f\geq 0$. Le but est de démontrer qu'il existe $m_0\in\partial D$ tel que
$$\sup_{m\in \overline{D}} f(m)\leq f(m_0).$$
Pour $p\in\mathbb N^*$, on pose
$$g_p(m)=f(m)+\frac{\|m\|^2}p.$$
- Démontrer qu'il existe un point $m_p\in\overline D$ tel que $$\sup_{m\in \overline D}g(m)=g(m_p).$$
- On suppose que $m_p\in D$. Démontrer que $\frac{\partial^2 g_p}{\partial x^2}(m_p)\leq 0$ et $\frac{\partial^2 g_p}{\partial y^2}(m_p)\leq 0$.
- En déduire que $m_p\in\partial D$.
- Démontrer que $$\sup_{m\in\overline D}f(m)\leq \sup_{m'\in\partial D}f(m').$$
- Conclure.
Enoncé
Étant donné un nuage de points $(x_i,y_i)_{i=1}^n$, la droite des moindres carrés (ou droite de régression
linéaire) est la droite d'équation $y=mx+p$ qui minimise la quantité
$$F(m,p)=\sum_{k=1}^n (y_k-mx_k-p)^2.$$
- Démontrer que si $(m,p)$ est un couple où ce minimum est atteint, alors $(m,p)$ est solution du système $$\left\{ \begin{array}{rcl} \sum_{k=1}^n (y_k-mx-p)&=&0\\ \sum_{k=1}^n x_k(y_k-mx_k-p)&=&0. \end{array}\right.$$
- On note $\bar x$ et $\bar y$ les valeurs moyennes respectives de $(x_i)_{i=1,\dots,n}$ et $(y_i)_{i=1,\dots,n}$. Démontrer que si $\sum_{k=1}^n (x_k-\bar x)^2\neq 0$, alors il existe au plus une droite des moindres carrés, avec $$m=\frac{\sum_{k=1}^n (x_k-\bar x)(y_k-\bar y)}{\sum_{k=1}^n (x_k-\bar x)^2}.$$
- On veut désormais prouver l'existence d'une droite des moindres carrés, toujours sous la condition
$\sum_{k=1}^n (x_k-\bar x)^2\neq 0$.
- Pourquoi suffit-il de prouver que $\lim_{\|(m,p)\|\to+\infty}F(m,p)=+\infty$?
- Démontrer que $$F(m,p)=\sum_{i=1}^n u_i^2(m,p)+v(m,p)+c,$$ où $u_1,\dots,u_n,v$ sont des formes linéaires sur $\mathbb R^2$ et $c\in\mathbb R$.
- Démontrer que le rang de $(u_1,\dots,u_n)$ est 2.
- On suppose que $(u_1,u_2)$ sont indépendantes. Justifier que l'on peut écrire $$F(m,p)=u_1^2(m,p)+au_1(m,p)+u_2^2(m,p)+bu_2(m,p)+c+R(m,p),$$ où $a,b,c\in\mathbb R$ et $R(m,p)\geq 0$.
- Justifier que $\|(m,p)\|\to+\infty\implies |u_1(m,p)|+|u_2(m,p)|\to+\infty$.
- Conclure.
- Application numérique : Une réaction lente conduit à une concentration $y$ de produit, donnée en fonction du temps par la relation théorique $$y=0,01-\frac{1}{\alpha t+\beta}.$$ L'expérience conduit au tableau de valeurs suivant : $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline t\quad (sec)&0&180&360&480&600&900&1200\\ \hline y\quad (10^{-3} mole/l)&0&2,6&4,11&4,81&5,36&6,37&6,99\\ \hline \end{array}.$$ Déterminer par la méthode des moindres carrés des valeurs possibles pour $\alpha$ et $\beta$.
Enoncé
Soit $f$ une fonction définie sur une partie $A$ de $\mtr^2$, et $a\in\mtr^2$. On dit qu'une fonction $f$ présente en $a$
- un maximum local s'il existe un réel $r>0$ tel que $$\forall u\in A,\ \|u-a\|\leq r\implies f(u)\leq f(a).$$
- un minimum local s'il existe un réel $r>0$ tel que : $$\forall u\in A,\ \|u-a\|\leq r\implies f(u)\geq f(a).$$
- un extrémum local si elle présente en $a$ un maximum local ou un minimum local.
- Montrer que si $f$ présente un extremum en a, alors les dérivées partielles de $f$ en $a$ sont nulles. Un tel point (où les dérivées partielles s'annulent) est appelé point critique de $f$.
- Soit $f$ la fonction définie sur $\mtr^2$ par $f(x,y)=x^2+y^2-2x-4y$. Montrer que $f$ admet $(1,2)$ pour seul point critique. En effectuant le changement d'origine $x=1+X$ et $y=2+Y$ et en calculant $f(1+X,2+Y)$, prouver que $f$ admet un minimum local en $(1,2)$.
- Soit $f$ la fonction définie sur $\mtr^2$ par $f(x,y)=x^3+y^3-6(x^2-y^2).$
- Montrer que $f$ possède 4 points critiques.
- En calculant $f(t,0)$ et $f(0,t)$, prouver que $f$ n'admet pas d'extrémum en $(0,0)$, bien que ce point soit un point critique.
- Ecrire la formule de Taylor à l'ordre 2 en $(4,0)$. En déduire que $f$ admet un minimum local en $(4,0)$.
- En s'aidant des questions précédentes, faire l'étude locale aux autres points critiques.