$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Différentielles

Différentielle dans $\mathbb R^n$
Enoncé
Justifier que les fonctions suivantes sont différentiables, et calculer leur différentielle
  1. $f(x,y)=e^{xy}(x+y)$.
  2. $f(x,y,z)=xy+yz+zx$.
  3. $f(x,y)=(y\sin x,\cos x)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Justifier que les fonctions suivantes sont différentiables, et calculer leur matrice jacobienne.
  1. $\dis f(x,y,z)=\left(\frac{1}{2}(x^2-z^2),\sin x\sin y\right).$
  2. $\dis f(x,y)=\left(xy,\frac{1}{2}x^2+y,\ln(1+x^2)\right).$
Indication
Corrigé
Enoncé
On définit sur $\mtr^2$ l'application suivante : $$f(x,y)=\left\{ \begin{array}{cc} \dis\frac{xy}{x^2+y^2}&\textrm{ si }(x,y)\neq (0,0)\\ \dis0&\textrm{ si }(x,y)=(0,0). \end{array}\right.$$
  1. $f$ est-elle continue en $(0,0)$?
  2. $f$ admet-elle des dérivées partielles en $(0,0)$?
  3. $f$ est-elle différentiable en $(0,0)$?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:\mtr^2\to\mtr$ définie par : $$\begin{array}{rcl} (x,y)&\mapsto&xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\textrm{ si $(x,y)\neq (0,0)$}\\ (0,0)&\mapsto&0. \end{array}$$
  1. $f$ est-elle continue sur $\mtr^2$?
  2. $f$ est-elle de classe $C^1$ sur $\mtr^2$?
  3. $f$ est-elle différentiable sur $\mtr^2$?
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Différentiabilité à paramètres [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Démontrer que, pour tous $(x,y)$ réels, alors $|xy|\leq x^2-xy+y^2$.
  2. Soit $f$ la fonction de $\mtr^2$ dans $\mtr$ définie par $f(0,0)=0$ et $f(x,y)=(x^py^q)/(x^2-xy+y^2)$ si $(x,y)\neq (0,0)$, où $p$ et $q$ sont des entiers naturels non nuls. Pour quelles valeurs de $p$ et $q$ cette fonction est-elle continue?
  3. Montrer que si $p+q=2$, alors $f$ n'est pas différentiable.
  4. On suppose que $p+q=3$, et que $f$ est différentiable en $(0,0)$. Justifier qu'alors il existe deux constantes $a$ et $b$ telles que $f(x,y)=ax+by+o(\|(x,y)\|)$. En étudiant les applications partielles $x\mapsto f(x,0)$ et $y\mapsto f(0,y)$, justifier que $a=b=0$. Conclure, à l'aide de $x\mapsto f(x,x)$, que $f$ n'est pas différentiable en $(0,0)$.
Indication
Corrigé
Différentielle ailleurs...
Exercice 6 - Différentielle de la fonction carré d'une matrice [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathcal M_n(\mathbb R)\to\mathcal M_n(\mathbb R)$ définie par $f(M)=M^2$. Justifer que $f$ est de classe $\mathcal C^1$ et déterminer la différentielle de $f$ en tout $M\in\mathcal M_n(\mathbb R)$.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Différentielle de la fonction inverse d'une matrice [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\phi:GL_n(\mathbb R)\to GL_n(\mathbb R), M\mapsto M^{-1}$.
  1. Démontrer que $\phi$ est différentiable en $I_n$ et calculer sa différentielle en ce point.
  2. Même question en $M\in GL_n(\mathbb R)$ quelconque.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Différentielle du déterminant [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 2$.
  1. Démontrer que l'application déterminant est de classe $C^\infty$ sur $\mathcal M_n(\mathbb R)$.
  2. Soit $1\leq i,j\leq n$ et $f(t)=\det(I_n+tE_{i,j})$. Que vaut $f$?
  3. En déduire la valeur de $\frac{\partial \det}{\partial E_{i,j}}(I_n)$.
  4. En déduire l'expression de la différentielle de $\det$ en $I_n$.
  5. Démontrer que si $A$ est inversible, alors $d_A\det(H)=\textrm{Tr}({}^t\textrm{comat}(A)H)$.
  6. Démontrer que la formule précédente reste valide pour toute matrice $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$.
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Différentielle sur un espace de polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On munit $E=\mathbb R_n[X]$ de la norme $\|P\|=\sup_{t\in [0,1]}|P(t)|$. Soit $\phi:E\to \mathbb R$, $P\mapsto \int_0^1 (P(t))^3$. Démontrer que $\phi$ est différentiable sur $E$ et calculer sa différentielle.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E=\mathbb R^n$, et soit $\phi:\mathcal L(E)\to\mathcal L(E)$ définie par $\phi(u)=u\circ u$. Démontrer que $\phi$ est de classe $C^1$.
Indication
Corrigé
Exercices théoriques sur la différentielle
Enoncé
Soit $f:\mathbb R^2\to \mathbb R$ telle que, pour tout $(x,y)\in(\mathbb R^2)^2$, on a $$|f(x)-f(y)|\leq \|x-y\|^2.$$ Démontrer que $f$ est constante.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Une question de dimension [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:U\to V$ une fonction définie sur un ouvert $U$ de $\mathbb R^p$ à valeurs dans un ouvert $V$ de $\mathbb R^q$. On suppose que $f$ est différentiable en $a$ et que $f$ admet une fonction réciproque $g$, différentiable au point $b=f(a)$. Démontrer que $p=q$.
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Différentielle et fonction linéaire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$ différentiable. On suppose que, pour tout $\lambda\in\mathbb R$ et tout $x\in\mathbb R^n$, $f(\lambda x)=\lambda f(x)$.
  1. Démontrer que $f(0)=0$.
  2. Démontrer que $f$ est linéaire.
Indication
Corrigé
Formules de Taylor
Enoncé
Soit $f:\mathcal U\to\mathbb R^p$ une application différentiable où $U$ est un ouvert de $\mathbb R^n$. On suppose que $x\mapsto df_x$ est continue en $a$. Démontrer que, pour tout $\veps>0$, il existe $\eta>0$ tel que $$\|x-a\|<\eta\textrm{ et }\|y-a\|<\eta\implies \|f(y)-f(x)-df_a(y-x)\|\leq \veps \|y-x\|.$$
Corrigé