$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Exercices corrigés - Dérivées partielles

Dérivées partielles, Dérivées suivant un vecteur
Exercice 1 - Calcul de dérivées partielles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Justifier l'existence des dérivées partielles des fonctions suivantes, et les calculer.
  1. $f(x,y)=e^x\cos y.$
  2. $f(x,y)=(x^2+y^2)\cos(xy).$
  3. $f(x,y)=\sqrt{1+x^2y^2}.$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:\mathbb R^2\to \mathbb R$ une fonction de classe $C^1$.
  1. On définit $g:\mathbb R\to\mathbb R$ par $g(t)=f(2+2t,t^2)$. Démontrer que $g$ est $C^1$ et calculer $g'(t)$ en fonction des dérivées partielles de $f$.
  2. On définit $h:\mathbb R^2\to\mathbb R$ par $h(u,v)=f(uv,u^2+v^2)$. Démontrer que $h$ est $C^1$ et exprimer les dérivées partielles $\frac{\partial h}{\partial u}$ et $\frac{\partial h}{\partial v}$ en fonction des dérivées partielles $\frac{\partial f}{\partial x}$ et $\frac{\partial f}{\partial y}$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f$ une application de classe $C^1$ sur $\mtr^2$. Calculer les dérivées (éventuellement partielles) des fonctions suivantes :
  1. $g(x,y)=f(y,x)$.
  2. $g(x)=f(x,x)$.
  3. $g(x,y)=f(y,f(x,x))$.
  4. $g(x)=f(x,f(x,x))$.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Continue et pas de dérivées partielles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On définit $f:\mathbb R^2\backslash\{(0,0)\}\to\mathbb R$ par $$f(x,y)=\frac{x^2}{(x^2+y^2)^{3/4}}.$$ Justifier que l'on peut prolonger $f$ en une fonction continue sur $\mathbb R^2$. Étudier l'existence de dérivées partielles en $(0,0)$ pour ce prolongement.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Dérivée suivant tout vecteur, et pas continue [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour les fonctions suivantes, démontrer qu'elles admettent une dérivée suivant tout vecteur en $(0,0)$ sans pour autant y être continue.
  1. $\displaystyle f(x,y)=\left\{ \begin{array}{ll} y^2\ln |x|&\textrm{ si }x\neq 0\\ 0&\textrm{ sinon.} \end{array} \right. $
  2. $\displaystyle g(x,y)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{x^2y}{x^4+y^2}&\textrm{ si }(x,y)\neq (0,0)\\ 0&\textrm{ sinon.} \end{array} \right. $
Indication
Corrigé
Fonction de classe $C^1$
Enoncé
Démontrer que les applications $f:\mtr^2\to\mtr$ suivantes sont de classe $C^1$ sur $\mathbb R^2$.
  1. $\displaystyle f(x,y)=\frac{x^2y^3}{x^2+y^2}\textrm{ si }(x,y)\neq (0,0)\textrm{ et }f(0,0)=0$;
  2. $\displaystyle f(x,y)=x^2y^2\ln(x^2+y^2)\textrm{ si }(x,y)\neq (0,0)\textrm{ et }f(0,0)=0$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Les fonctions suivantes, définies sur $\mathbb R^2$, sont-elles de classe $C^1$?
  1. $\displaystyle f(x,y)=x\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\textrm{ si }(x,y)\neq (0,0)\textrm{ et }f(0,0)=0$;
  2. $\displaystyle f(x,y)=\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}\textrm{ si }(x,y)\neq (0,0)\textrm{ et }f(0,0)=0$;
  3. $\displaystyle f(x,y)=e^{-\frac 1{x^2+y^2}}\textrm{ si }(x,y)\neq (0,0)\textrm{ et }f(0,0)=0$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:\mtr^2\to\mtr$ une application de classe $C^1$.
  1. On définit, pour $(x,y)\in\mtr^2$ fixé, $g:\mtr\to\mtr,$ $t\mapsto g(t)=f(tx,ty).$ Montrer que $g$ est dérivable sur $\mtr$, et calculer sa dérivée.
  2. On suppose désormais que $f(tx,ty)=tf(x,y)$ pour tous $x,y,t\in\mtr$.
    1. Montrer que pour tous $x,y,t\in\mtr$, on a $$f(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}(tx,ty)x+\frac{\partial f}{\partial y}(tx,ty)y.$$
    2. En déduire qu'il existe des réels $\alpha$ et $\beta$ que l'on déterminera tels que, pour tous $(x,y)\in\mtr^2$, on a $$f(x,y)=\alpha x+\beta y.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer toutes les fonctions $f:\mathbb R^2\to\mathbb R$ de classe $C^1$ solutions des systèmes suivants : $$ \mathbf 1.\left\{ \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}&=&xy^2\\[3mm] \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}&=&yx^2. \end{array}\right. \quad\quad \mathbf 2.\left\{ \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}&=&e^xy\\[3mm] \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}&=&e^x+2y. \end{array}\right. \quad\quad \mathbf 3.\left\{ \begin{array}{rcl} \displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}&=&x^2y\\[3mm] \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}&=&xy^2. \end{array}\right. $$
Indication
Corrigé
Dérivées partielles d'ordre supérieur
Enoncé
Calculer les dérivées partielles à l'ordre 2 des fonctions suivantes :
  1. $f(x,y)=x^2(x+y)$.
  2. $f(x,y)=e^{xy}.$
Corrigé
Enoncé
Pour $(x,y)\neq (0,0)$, on pose $$f(x,y)=xy\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}.$$
  1. $f$ admet-elle un prolongement continu à $\mathbb R^2$?
  2. $f$ admet-elle un prolongement $C^1$ à $\mathbb R^2$?
  3. $f$ admet-elle un prolongement $C^2$ à $\mathbb R^2$?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f$ une application de classe $C^1$ de $\mtr^2$ dans $\mtr$ et $r\in\mtr$. On dit que $f$ est homogène de degré $r$ si $$\forall (x,y)\in\mtr^2,\ \forall t>0,\ f(tx,ty)=t^rf(x,y).$$
  1. Montrer que si $f$ est homogène de degré $r$, alors ses dérivées partielles sont homogènes de degré $r-1$.
  2. Montrer que si $f$ est homogène de degré $r$ si et seulement si : $$\forall (x,y)\in\mtr^2,\ x\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)+y\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=rf(x,y).$$
  3. On suppose que $f$ est de classe $C^2$. Montrer que : $$x^2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)+2xy\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}+y^2\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=r(r-1)f(x,y).$$
Indication
Corrigé
Équations aux dérivées partielles
Enoncé
Etant données deux fonctions $g_0$ et $g_1$ d'une variable réelle, de classe $C^2$ sur $\mtr$, on définit la fonction $f$ sur $\mtr^*_+\times\mtr$ par $$f(x,y)=g_0\left(\frac{y}{x}\right)+xg_1\left(\frac{y}{x}\right).$$ Justifier que $f$ est de classe $C^2$, puis prouver que $$x^2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x,y)+2xy\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x,y)+y^2\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x,y)=0.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
On cherche toutes les fonctions $g:\mtr^2\to \mtr$ vérifiant : $$\frac{\partial g}{\partial x}-\frac{\partial g}{\partial y}=a,$$ où $a$ est un réel.
  1. On pose $f$ la fonction de $\mtr^2$ dans $\mtr$ définie par : $$f(u,v)=g\left(\frac{u+v}{2},\frac{v-u}{2}\right).$$ En utilisant le théorème de composition, montrer que $\dis\frac{\partial f}{\partial u}=\frac{a}{2}.$
  2. Intégrer cette équation pour en déduire l'expression de $f$.
  3. En déduire les solutions de l'équation initiale.
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Fonctions invariantes par translation [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On souhaite déterminer les fonctions $f:\mathbb R^2\to\mathbb R$, de classe $C^1$, et vérifiant : $$\forall (x,y,t)\in\mathbb R^3,\ f(x+t,y+t)=f(x,y).$$
  1. Démontrer que, pour tout $(x,y)\in\mathbb R^2$, $$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)+\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=0.$$
  2. On pose $u=x+y$, $v=x-y$ et $F(u,v)=f(x,y)$. Démontrer que $\frac{\partial F}{\partial u}=0$.
  3. Conclure.
Indication
Corrigé
Enoncé
Chercher toutes les fonctions $f$ de classe $C^1$ sur $\mtr$ vérifiant $$\frac{\partial f}{\partial x}-3\frac{\partial f}{\partial y}=0.$$
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Équation des cordes vibrantes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $c\neq 0$. Chercher les solutions de classe $C^2$ de l'équation aux dérivées partielles suivantes $$c^2\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\frac{\partial^2 f}{\partial t^2},$$ à l'aide d'un changement de variables de la forme $u=x+at$, $v=x+bt$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Une fonction $f:\mathbb R^2\to\mathbb R$ de classe $C^2$ est dite harmonique si son laplacien est nul, ie si $$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=0.$$ Dans toute la suite, on fixe $f$ une fonction harmonique.
  1. On suppose que $f$ est de classe $C^3$.Démontrer que $\frac{\partial f}{\partial x}$, $\frac{\partial f}{\partial y}$ et $x\frac{\partial f}{\partial x}+y\frac{\partial f}{\partial y}$ sont harmoniques.
  2. On suppose désormais que $f$ est radiale, c'est-à-dire qu'il existe $\varphi:\mathbb R\to\mathbb R$ de classe $C^1$ telle que $f(x,y)=\varphi(x^2+y^2)$. Démontrer que $\varphi'$ est solution d'une équation différentielle linéaire du premier ordre.
  3. En déduire toutes les fonctions harmoniques radiales.
Indication
Corrigé