$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Exercices corrigés - Continuité des fonctions de plusieurs variables

Pour commencer
Exercice 1 - Ensembles de définition [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Représenter les ensembles de définition des fonctions suivantes : $$\begin{array}{ll} f_1(x,y)=\ln(2x+y-2)\textrm{ }\ &f_2(x,y)=\sqrt{1-xy}\\ f_3(x,y)=\frac{\ln(y-x)}{x}&f_4(x,y)=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2-1}}+\sqrt{4-x^2-y^2}. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Représenter les lignes de niveau (c'est-à-dire les solutions $(x,y)$ de l'équation $f(x,y)=k$) pour : $$f_1(x,y)=y^2,\textrm{ avec }k=-1\textrm{ et }k=1\quad\quad f_2(x,y)=\frac{x^4+y^4}{8-x^2y^2}\textrm{ avec }k=2.$$
Indication
Corrigé
Calcul de limites
Exercice 3 - Calcul de limites détaillé [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Montrer que si $x$ et $y$ sont des réels, on a : $$2|xy|\leq x^2+y^2$$
  2. Soit $f$ l'application de $A=\mtr^2\backslash\{(0,0)\}$ dans $\mtr$ définie par $$f(x,y)=\frac{3x^2+xy}{\sqrt{x^2+y^2}}.$$ Montrer que, pour tout $(x,y)$ de $A$, on a : $$|f(x,y)|\leq 4\|(x,y)\|_2,$$ où $\|(x,y)\|_2=\sqrt{x^2+y^2}.$ En déduire que $f$ admet une limite en $(0,0)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Les fonctions suivantes ont-elles une limite en $(0,0)$?
  1. $f(x,y)=(x+y)\sin\left(\frac{1}{x^2+y^2}\right)$
  2. $f(x,y)=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$
  3. $f(x,y)=\frac{|x+y|}{x^2+y^2}$
Indication
Corrigé
Enoncé
Les fonctions suivantes ont-elles une limite en l'origine?
  1. $\dis f(x,y,z)=\frac{xy+yz}{x^2+2y^2+3z^2}$;
  2. $\dis f(x,y)=\left(\frac{x^2+y^2-1}{x}\sin x,\frac{\sin(x^2)+\sin(y^2)}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)$.
  3. $\dis f(x,y)=\frac{1-\cos(xy)}{xy^2}$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $\alpha,\beta>0$. Déterminer, suivant les valeurs de $\alpha$ et $\beta$, si la fonction $$f(x,y)=\frac{x^\alpha y^\beta}{x^2+y^2}$$ admet une limite en $(0,0)$.
Indication
Corrigé
Continuité
Enoncé
Soit $f$ la fonction définie sur $\mtr^2$ par $$f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}\textrm{ si }(x,y)\neq (0,0)\textrm{ et }f(0,0)=0.$$ La fonction $f$ est-elle continue en (0,0)?
Indication
Corrigé
Enoncé
Démontrer que la fonction $f:\mathbb R^2\to\mathbb R$ définie par $$f(x,y)=\left\{ \begin{array}{ll} 2x^2+y^2-1&\textrm{ si }x^2+y^2>1\\ x^2&\textrm{ sinon } \end{array} \right. $$ est continue sur $\mathbb R^2$.
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Prolongement par continuité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que la fonction définie par $f(x,y)=\frac{\sin (xy)}{xy}$ se prolonge en une fonction continue sur $\mathbb R^2$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction de classe $C^1$. On définit $F:\mathbb R^2\to\mathbb R$ par $$F(x,y)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{f(x)-f(y)}{x-y}&\textrm{ si }x\neq y\\ f'(x)&\textrm{ sinon.} \end{array} \right. $$ Démontrer que $F$ est continue sur $\mathbb R^2$.
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Application aux fonctions d'une variable [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $C\subset\mathbb R^2$ une partie convexe et $f:C\to\mathbb R$ une fonction continue.
  1. Démontrer que $f(C)$ est un intervalle.
  2. Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$ et $h:I\to\mathbb R$ une fonction continue et injective. Démontrer que $h$ est strictement monotone. On pourra utiliser la fonction $f(x,y)=h(x)-h(y)$.
Indication
Corrigé