$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Calcul de valeurs approchées de réels

Exercice 1 - Une réflexion sur l'utilisation de la calculatrice [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère la série $\sum_{k\geq 1}\frac{\sin k}{k^2}$.
  1. Justifier que cette série est convergente.
    On note $S$ sa somme et on cherche à déterminer une valeur approchée de $S$ à $10^{-2}$ près. On note $S_n=\sum_{k=1}^n \frac{\sin k}{k^2}$.
  2. Démontrer que, pour tout $n>1$, $$\frac{|\sin n|}{n^2}\leq\frac{1}{n-1}-\frac 1n.$$ En déduire que, pour $N\geq 1$, $$|S-S_N|\leq \frac{1}N.$$
  3. Déterminer $N$ de sorte que $S_N$ soit une valeur approchée de $S$ à $10^{-2}$ près. Peut-on calculer numériquement la valeur exacte de $S_N$? Une valeur approchée de $S_N$ à $10^{-2}$ près est-elle une valeur approchée de $S$ à $10^{-2}$ près?
  4. Déterminer une valeur approchée de $S$ à $10^{-2}$ près.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction de classe $C^2$ sur $[a,b]$ vérifant $f(a)<0$, $f(b)>0$, $f'>0$ et $f''>0$.
  1. Démontrer qu'il existe un unique $\gamma\in]a,b[$ tel que $f(\gamma)=0$.
  2. On pose $x_0=b$. Déterminer l'abscisse $x_1$ du point d'intersection de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $x_0$ avec l'axe des abscisses. Justifier que $x_1\in[\gamma,b]$.
  3. On réitère le procédé et on construit ainsi une suite $(x_n)$ vérifiant la relation de récurrence $x_{n+1}=\varphi(x_n)$ avec $\varphi(x)=x-\frac{f(x)}{f'(x)}$. Démontrer que la suite $(x_n)$ converge vers $\gamma$.
  4. On souhaite estimer la vitesse de convergence de $(x_n)$ vers $\gamma$.
    1. Justifier que, pour tout $x\in[a,b]$, on a $$\left|f(\gamma)-f(x)-f'(x)(\gamma-x)\right|\leq\frac{\max_{[a,b]}|f''|}{2}|x-\gamma|^2.$$
    2. En déduire que $$|x_{n+1}-\gamma|\leq k|x_n-\gamma|^2\textrm{ avec }k=\frac12\frac{\max_{[a,b]} |f''|}{\min_{[a,b]}|f'|}.$$
  5. Démontrer que, pour tout $n\geq 0$, on a : $k|x_n-\gamma|\leq \left(k|x_0-\gamma|\right)^{2^n}$.
  6. Application numérique : montrer que la fonction $f$ définie par $f(x)=x^2-3$ vérifie les conditions d'application des résultats précédents avec $a=1,7$ et $b=1,8$. En déduire une méthode pour calculer une valeur approchée de $\sqrt 3$ à $10^{-20}$ près. Qu'en pensez-vous?
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Valeur approchée de pi [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $n\geq 0$ et $x\in]-1,1[$, on note $R_n(x)=\sum_{k=n}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{2k+1}x^{2k+1}$. On rappelle que, pour tout $x\in ]-1,1[$, on a $$\arctan(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}.$$
  1. Première méthode :
    1. Démontrer que la formule précédente reste valide pour $x=1$ (on pourra démontrer que les membres de droite et de gauche définissent des fonctions continues en 1).
    2. Démontrer que $|R_n(1)|\leq\frac{1}{2n+1}$.
    3. En déduire une méthode pour donner une valeur approchée de $\pi/4$ à $10^{-10}$ près. Est-elle réaliste?
  2. Deuxième méthode :
    1. Démontrer que $\arctan(1/2)+\arctan(1/3)=\pi/4$ (on rappelle que l'on a $\tan(a+b)=\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$).
    2. Démontrer que $|R_n(1/2)|\leq\frac{1}{2^{2n+2}} $, et $|R_n(1/3)|\leq \frac{1}{3^{2n+2}}$.
    3. Donner une autre méthode pour obtenir une valeur approchée de $\pi/4$ à $10^{-10}$ près. Qu'en pensez-vous?
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Valeur approchée par comparaison à une intégrale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On cherche à donner une valeur approchée de $S=\sum_{k=1}^{+\infty}\frac1{k^2}$. Pour tout entier $n\geq 0$, on pose $$S_n=\sum_{k=0}^n\frac1{k^2}\textrm{ et }R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac1{k^2}.$$
  1. Démontrer que, pour tout $n\geq 0$, on a $$\frac1{n+1}\leq R_n\leq \frac1{n}.$$
  2. Jusqu'à quel terme faut-il calculer $S_n$ pour approcher $S$ à $10^{-4}$ près?
  3. On pose $v_n=S_n+\frac{1}{n+1}$. Majorer $|S-v_n|$. Reprendre alors le résultat de la question précédente.
Indication
Corrigé