$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Réduction des endomorphismes : exercices théoriques

Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces stables
Exercice 1 - Sous-espaces stables et endomorphismes qui commutent [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel et $u,v$ deux endomorphismes de $E$.
  1. Démontrer que si $u\circ v=v\circ u$, alors $\textrm{Im}(u)$ et $\ker(u)$ sont stables par $v$. La réciproque est-elle vraie?
  2. On suppose désormais que $u$ est un projecteur. Démontrer que $u\circ v=v\circ u$ si et seulement si $\ker(u)$ et $\textrm{Im}(u)$ sont stables par $v$.
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Une CNS pour que deux endomorphismes commutent [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $f,g$ deux endomorphismes du $\mathbb K$-espace vectoriel $E$ de dimension finie tels que $f$ est diagonalisable. Démontrer que $f$ et $g$ commutent si et seulement si les sous-espaces propres de $f$ sont stables par $g$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes d'un $\mathbb C$-espace vectoriel $E$ de dimension finie. On suppose que $u$ et $v$ commutent. Démontrer que $u$ et $v$ ont un vecteur propre commun.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Nombre de sous-espaces stables [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un $\mathbb R$-espace vectoriel de $E$ de dimension $n\geq 1$, et $u$ un endomorphisme de $E$ diagonalisable.
  1. Soit $F$ un sous-espace de $E$ stable par $u$. Démontrer que $u_{|F}$ est diagonalisable.
  2. On suppose que le spectre de $u$ est constitué de $n$ valeurs propres distinctes $\lambda_1,\dots,\lambda_n$. On note $E_i=\ker(u-\lambda_i Id_E)$. Démontrer qu'un sous espace vectoriel $F$ de $E$ est stable par $u$ si et seulement s'il existe $I\subset\{1,\dots,n\}$ tel que $F=\oplus_{i\in I}E_i$. Combien y-a-t-il de sous-espaces de $E$ stables par $u$?
  3. On suppose que le spectre de $u$ contient strictement moins de $n$ valeurs propres. Démontrer qu'il y a une infinité de sous-espaces de $E$ stables par $u$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie, avec $\mathbb K=\mathbb R$ ou $\mathbb K=\mathbb C$. Soit $G$ un sous-groupe fini de $GL(E)$, de cardinal $m$, et $F$ un sous-espace stable commun à tous les éléments de $G$. On désigne par $p$ un projecteur sur $F$ et on note $$p_0=\frac 1m\sum_{u\in G}u\circ p\circ u^{-1}.$$
  1. Démontrer que $p_0$ est un projecteur sur $F$.
  2. Démontrer que, pour tout $v\in G$, $v\circ p_0=p_0\circ v$.
  3. On note $S=\ker(p_0)$. Démontrer que $S$ est stable par tout élément de $G$.
  4. Énoncer le théorème que l'on vient de démontrer.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie et $U$ une partie irréductible de $\mathcal L(E)$, c'est-à-dire que les seuls sous-espaces stables communs à tous les éléments de $U$ sont $\{0\}$ et $E$. Soit $\phi\in L(E)$ qui commute avec tous les éléments de $E$.
  1. Démontrer que ou bien $\phi$ est nulle ou bien $\phi$ est un automorphisme.
  2. On suppose que $\mathbb K=\mathbb C$. En déduire qu'il existe $\lambda\in\mathbb C$ tel que $\phi=\lambda Id_E$.
Indication
Corrigé
Diagonalisation - en théorie
Exercice 7 - Diagonalisation des endomorphismes de rang 1 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un $\mathbb R$-espace vectoriel de dimension $n\geq 2$, et soit $f\in\mathcal L(E)$ de rang 1.
  1. On suppose que $f$ est diagonalisable. Démontrer que $f\circ f$ n'est pas l'endomorphisme nul.
  2. Réciproquement, on suppose que $f\circ f$ n'est pas l'endomorphisme nul, et on note $u\in E$ tel que $\textrm{Im}(f)=\textrm{vect}(u)$.
    1. Démontrer que $u$ est un vecteur propre associé à une valeur propre non nulle.
    2. En déduire que $f$ est diagonalisable.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - $f\circ g$ et $g\circ f$ diagonalisables? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un $\mathbb C$-espace vectoriel de dimension finie, et soient $f,g\in\mathcal L(E)$. On souhaite étudier si le fait que $f\circ g$ est diagonalisable entraîne que $g\circ f$ est diagonalisable. On fixe $\mathcal B$ une base de $E$ et on désigne par $A$ (resp. $B$) la matrice de $f$ (resp. $g$) dans cette base.
  1. Dans cette question, on suppose $f$ et $g$ inversibles.
    1. En utilisant $\det(BAB-\lambda B)$, démontrer que $AB$ et $BA$ ont le même polynôme caractéristique.
    2. Soit $\lambda$ une valeur propre de $f\circ g$, et soit $E_\lambda$ (resp. $F_\lambda$) l'espace propre de $f\circ g$ (resp. de $g\circ f$) associé à $\lambda$. Démontrer les inclusions $$g(E_\lambda)\subset F_\lambda\textrm{ et }f(F_\lambda)\subset E_\lambda.$$
    3. Que peut-on en déduire sur les dimensions des espaces $E_\lambda$ et $F_\lambda$?
    4. Montrer que si $f\circ g$ est diagonalisable, alors $g\circ f$ est diagonalisable.
  2. Dans cette question, on suppose maintenant $f$ et $g$ quelconques.
    1. Montrer que si $f\circ g$ a une valeur propre nulle, il en est de même de $g\circ f$.
    2. Soit $\alpha\in\mathbb C\backslash\{0\}$ tel que $AB-\alpha I$ est inversible. On note $C$ son inverse. Vérifier que $$(BA-\alpha I)(BCA-I)=\alpha I.$$ Que peut-on en déduire pour $\det(BA-\alpha I)$?
    3. Déduire de ce qui précède que $f\circ g$ et $g\circ f$ ont les mêmes valeurs propres.
    4. Donner un exemple simple de matrices $A$ et $B$ tel que $AB$ est diagonalisable, et $BA$ n'est pas diagonalisable.
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Base de matrices diagonalisables... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Existe-t-il une base de $\mathcal M_n(\mathbb R)$ constituée de matrices diagonalisables dans $\mathbb R$?
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Diagonalisation simultanée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie.
  1. Soient $u,v\in\mathcal L(E)$ diagonalisables tels que $u\circ v=v\circ u$. Démontrer qu'il existe une base de $E$ dans laquelle les matrices de $u$ et $v$ sont simultanément diagonalisables.
  2. Plus généralement, soit $u_1,\dots,u_m$ une famille d'endomorphismes diagonalisables de $E$ commutant deux à deux, $m\geq 1$. Montrer qu'il existe une base de $E$ diagonalisant tous les $u_i$.
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Diagonalisation et sous-espaces stables [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie sur $\mathbb K=\mathbb R$ ou $\mathbb C$ et soit $u\in\mathcal L(E)$. Démontrer que $u$ est diagonalisable si et seulement si tout sous-espace de $E$ possède un supplémentaire stable par $u$.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Dimension du commutant [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ un endomorphisme diagonalisable d'un $\mathbb K$-espace vectoriel $E$ de dimension finie. On note $\mathcal C_f$ le sous-espace vectoriel des endomorphismes de $E$ commutant avec $f$.
  1. Démontrer que $g\in\mathcal C_f$ si et seulement si les sous-espaces propres de $f$ sont stables par $g$.
  2. En déduire que $\dim(\mathcal C_f)=\sum_{\lambda\in\textrm{sp}(f)}\textrm{mult}(\lambda)^2$, où $\textrm{mult}(\lambda)$ désigne la multiplicité de la valeur propre $\lambda$.
  3. On suppose en outre que les valeurs propres de $f$ sont simples. Démontrer que $(Id,f,\dots,f^{n-1})$ est une base de $\mathcal C_f$.
Indication
Corrigé
Autres réductions - Matrices semblables
Exercice 13 - Endomorphisme cyclique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $u$ un endomorphisme d'un $\mathbb K$-espace vectoriel $E$ de dimension finie. On suppose que $E$ et $\{0\}$ sont les seuls sous-espaces vectoriels de $E$ stables par $u$.
  1. $u$ possède-t-il des valeurs propres?
  2. Démontrer que pour tout $x\in E\backslash\{0_E\}$, la famille $(x,u(x),\dots,u^{n-1}(x))$ est une base de $E$.
  3. Montrer que la matrice de $u$ dans la base $(x,u(x),\dots,u^{n-1}(x))$ est indépendante du choix de $x$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ non nulle tel que $A^2=0$ et soit $r$ le rang de $A$. Démontrer que $A$ est semblable à $\left(\begin{array}{cc}0&I_r\\0&0\end{array}\right)$.
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Réduction des endomorphismes anti-involutifs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie, et $f$ un endomorphisme de $E$ vérifiant $f^2=-Id$.
  1. Donner un exemple de tel endomorphisme sur $\mtr^2$.
  2. Montrer que $f$ n'a pas de valeurs propres réelles. En déduire que la dimension de $E$ est paire.
  3. Montrer que, pour tout $x$ de $E$, $\vect(x,f(x))$ est stable par $f$.
  4. En déduire que si $\dim E=2n$, il existe des vecteurs $(e_1,\dots,e_n)$ tels que $(e_1,f(e_1),\dots,e_n,f(e_n))$ forme une base de $E$. Quelle est la matrice de $f$ dans cette base?
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Semblable sur $\mathbb R$ ou sur $\mathbb C$? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb R)$. On suppose qu'il existe $P\in GL_n(\mathbb C)$ tel que $PAP^{-1}=B$. Démontrer qu'il existe $Q\in GL_n(\mathbb R)$ tel que $QAQ^{-1}=B$.
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Classes de similitude des endomorphismes involutifs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un $\mathbb R$-espace vectoriel de dimension $n$. On dit que $u\in\mathcal L(E)$ est involutif si $u^2=Id_E$.
  1. Démontrer que si $u$ est involutif, il existe des espaces vectoriels $F$ et $G$ de $E$ tels que $E=F\oplus G$, $u(x)=x$ pour tout $x\in F$ et $u(x)=-x$ pour tout $x\in G$. Que vaut la trace de $u$ en fonction de $\dim(F)$ et de $\dim(G)$?
  2. Soit $u$ et $v$ deux endomorphismes involutifs de $E$. Démontrer que $u$ et $v$ sont semblables si et seulement si ils ont même trace.
  3. Combien y-a-t-il de classes de similitudes dans l'ensemble des endomorphismes involutifs de $E$?
Indication
Corrigé
Exercice 18 - Endomorphisme de trace nulle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ une matrice de trace nulle. Montrer que $A$ est semblable à une matrice dont tous les éléments diagonaux sont nuls.
Indication
Corrigé
Endomorphismes nilpotents - Matrices nilpotentes
Exercice 19 - Une matrice sans racine carrée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 2$ et $A$ la matrice définie par $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ où $a_{i,i+1}=1$ pour $i=1,\dots,n-1$, les autres coefficients étant tous nuls.
  1. La matrice $A$ est-elle diagonalisable?
  2. Existe-t-il $B\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ tel que $B^2=A$?
Indication
Corrigé
Exercice 20 - Espace vectoriel engendré par les matrices nilpotentes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 1$, $\mathcal N$ l'ensemble des matrices nilpotentes de $\mathcal M_n(\mathbb R)$, $V$ le sous-espace vectoriel engendré par $\mathcal N$, et $T_0$ le sous-espace de $\mathcal M_n(\mathbb R)$ des matrices de trace nulle.
  1. Quelle est la dimension de $T_0$?
  2. Démontrer que $V\subset T_0$.
  3. Pour $j\in\{2,\dots,n\}$, on note $F_j=E_{1,1}+E_{1,j}-E_{j,1}-E_{j,j}$ et $G_j=F_j-E_{1,j}+E_{j,1}$. Calculer $F_j^2$. En déduire que $G_j\in V$.
  4. Soit $\mathcal F$ la famille d'éléments de $V$ constituée par les matrices $E_{i,j}$, $1\leq i,j\leq n$ avec $i\neq j$ et par les matrices $G_k$, $k=2,\dots,n$. Démontrer que $\mathcal F$ est une famille libre.
  5. En déduire que $V=T_0$.
Indication
Corrigé
Exercice 21 - Déterminant et matrices nilpotentes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A\in GL_n(\mathbb C)$ et $N\in\mathcal M_n(\mathbb C)$ nilpotente. On suppose que $AN=NA$. Démontrer que $\det(A+N)=\det(A)$.
Indication
Corrigé
Exercice 22 - Tout hyperplan de $\mathcal M_n(\mathbb K)$ contient une matrice inversible [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $H$ un hyperplan de $\mathcal M_n(\mathbb K)$, $n\geq 2$. Le but de l'exercice est de démontrer que $H$ contient une matrice inversible. On raisonne par l'absurde et on suppose que $H$ ne contient pas de matrices inversibles.
  1. Démontrer que $H$ contient toutes les matrices nilpotentes.
  2. Conclure.
Indication
Corrigé
Exercice 23 - Produit de matrices nilpotentes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soient $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ telles que $AB=BA$ et $B$ est nilpotente. Prouver que si $A\neq 0$, alors $\textrm{rg}(BA)<\textrm{rg}(A)$.
  2. Soient $A_1,\dots,A_n\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ des matrices nilpotentes qui commutent. Prouver que $A_1\cdots A_n=0$. Le résultat subsiste-t-il si on ne suppose plus que les matrices commutent?
Indication
Corrigé
Exercice 24 - Matrices nilpotentes et trace des puissances [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb C)$. Démontrer que $A$ est nilpotente si et seulement si, pour tout $p\geq 1$, on a $\textrm{Tr}(A^p)=0$.
Indication
Corrigé