$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Réduction pratique des endomorphismes

Enoncé
  1. En dimension finie, un endomorphisme admet un nombre fini de vecteurs propres.
  2. Si $A$ est diagonalisable, alors $A^2$ est diagonalisable.
  3. Si $A^2$ est diagonalisable, alors $A$ est diagonalisable.
  4. Tout endomorphisme d'un espace vectoriel réel de dimension impaire admet au moins une valeur propre.
  5. La somme de deux matrices diagonalisables est diagonalisable.
Corrigé
Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces stables
Enoncé
Soit $E=\mathcal C^{\infty}(\mathbb R)$ et $D$ l'endomorphisme de $E$ qui à $f$ associe $f'$. Déterminer les valeurs propres de $D$ et les sous-espaces propres associés.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E=\mathbb C^\mathbb N$ l'espace des suites à coefficients complexes, et $\phi$ l'endomorphisme de $E$ qui à une suite $(u_n)$ associe la suite $(v_n)$ définie par $v_0=u_0$ et pour tout $n\geq 1$, $$v_n=\frac{u_n+u_{n-1}}2.$$ Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de $\phi$.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Valeurs propres des matrices stochastiques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Une matrice $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ est dite stochastique si ses coefficients sont des réels positifs ou nuls et si la somme des coefficients de chacune de ses lignes est égale à $1$.
  1. Démontrer que si $\lambda\in\mathbb C$ est une valeur propre de $A$, alors $|\lambda|\leq 1$.
  2. Démontrer que $1$ est valeur propre et donner un vecteur propre associé.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Nombre de sous-espaces stables [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un $\mathbb R$-espace vectoriel de $E$ de dimension $n\geq 1$, et $u$ un endomorphisme de $E$ diagonalisable.
  1. Soit $F$ un sous-espace de $E$ stable par $u$. Démontrer que $u_{|F}$ est diagonalisable.
  2. On suppose que le spectre de $u$ est constitué de $n$ valeurs propres distinctes $\lambda_1,\dots,\lambda_n$. On note $E_i=\ker(u-\lambda_i Id_E)$. Démontrer qu'un sous espace vectoriel $F$ de $E$ est stable par $u$ si et seulement s'il existe $I\subset\{1,\dots,n\}$ tel que $E=\oplus_{i\in I}E_i$. Combien y-a-t-il de sous-espaces de $E$ stables par $u$?
  3. On suppose que le spectre de $u$ contient strictement moins de $n$ valeurs propres. Démontrer qu'il y a une infinité de sous-espaces de $E$ stables par $u$.
Indication
Corrigé
Diagonalisation de matrices
Enoncé
Diagonaliser les matrices suivantes : $$A=\left(\begin{array}{ccc} 0&2&-1\\ 3&-2&0\\ -2&2&1 \end{array}\right),\textrm{ } B=\left(\begin{array}{ccc} 0&3&2\\ -2&5&2\\ 2&-3&0 \end{array}\right), C=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 1&-1&2 \end{array}\right).$$ On donnera aussi la matrice de passage de la base canonique à la base de vecteurs propres.
Indication
Corrigé
Enoncé
Expliquer sans calculs pourquoi la matrice suivante n'est pas diagonalisable : $$A=\left(\begin{array}{ccc} \pi&1&2\\ 0&\pi&3\\ 0&0&\pi \end{array}\right).$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $m$ un nombre réel et $f$ l'endomorphisme de $\mathbb R^3$ dont la matrice dans la base canonique est $$A=\left(\begin{array}{rcl} 1&0&1\\ -1&2&1\\ 2-m&m-2&m \end{array}\right).$$
  1. Quelles sont les valeurs propres de $f$?
  2. Pour quelles valeurs de $m$ l'endomorphisme est-il diagonalisable?
  3. On suppose $m=2$. Calculer $A^k$ pour tout $k\in\mathbb N$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $a,b,c\in\mathbb R^3$. La matrice $A=\left(\begin{array}{ccc} 0&-b&c\\ a&0&-c\\ -a&b&0 \end{array}\right)$ est-elle diagonalisable?
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Matrices élémentaires [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Parmi les matrices élémentaires $E_{i,j}$, lesquelles sont diagonalisables???
Corrigé
Enoncé
Soit $A=\left(\begin{array}{cccc} 1&1&1&1\\ 2&2&2&2\\ 3&3&3&3\\ 4&4&4&4 \end{array}\right)$.
  1. Déterminer, sans calculer le polynôme caractéristique, les valeurs propres de $A$. $A$ est-elle diagonalisable?
  2. Plus généralement, donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'une matrice de rang 1 soit diagonalisable.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Diagonalisation par polynôme minimal [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $U$ la matrice $$U=\left(\begin{array}{cccc} 0&1&1&1\\ 1&0&1&1\\ 1&1&0&1\\ 1&1&1&0 \end{array}\right).$$
  1. Calculer $U^2$ et en déduire une relation simple liant $U^2$, $U$ et $I_4$.
  2. En déduire que $U$ est diagonalisable et donner ses valeurs propres.
  3. Diagonaliser $U$.
Indication
Corrigé
Enoncé
  1. Soit $A=\left(\begin{array}{cc}0&a\\b&0\end{array}\right)$ dans $\mathcal M_2(\mathbb R)$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $A$ soit diagonalisable.
  2. Soient $p\geq 1$ et $\alpha_1,\dots,\alpha_{2p}$ des réels. Soit $A=(a_{i,j})\in\mathcal M_{2p}(\mathbb R)$ tel que $a_{i,2p+1-i}=\alpha_i$ si $1\leq i\leq 2p$ et $a_{i,j}=0$ sinon. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $A$ soit diagonalisable sur $\mathbb R$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $a,b\in\mathbb R$ tels que $|a|\neq |b|$. On considère la matrice carrée de taille $2n$ $$A=\left(\begin{array}{ccccc} a&b&a&b&\dots\\ b&a&b&a&\dots\\ a&b&a&b&\dots\\ b&a&b&a&\dots\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots \end{array}\right).$$
  1. Calculer le rang de $A$. En déduire que $0$ est valeur propre de $A$ et déterminer la dimension du sous-espace propre associé.
  2. Déterminer deux vecteurs propres associées à deux autres valeurs propres, et en déduire que $A$ est diagonalisable.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit, pour $n\in\mathbb N$, la matrice $M_n$ de $\mathcal M_n(\mathbb R)$ dont les coefficients diagonaux sont égaux à $1,2,\dots,n$ et les autres coefficients sont tous égaux à 1. Soit $P_n$ le polynôme caractéristique de $M_n$.
  1. Démontrer que $P_{n+1}(X)=(n-X)P_n(X)+(-1)^{n} X(X-1)\dots(X-(n-1))$.
  2. Démontrer que, pour tout $n\geq 1$ et tout $k\in\{0,\dots,n-1\}$, $(-1)^k P_n(k)>0$.
  3. En déduire que $M_n$ est diagonalisable et que chaque intervalle $]0,1[$, $]1,2[,\dots,]n-1,+\infty[$ contient exactement une valeur propre de $M_n$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Pour $n\geq 1$, soit $$A_n=\left(\begin{array}{ccccc} 0&1&0&\dots&0\\ 1&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&1\\ 0&\dots&0&1&0 \end{array}\right)$$ et $P_n(x)=\det(xI_n-A_n)$ son polynôme caractéristique.
  1. Démontrer que pour tout $n\geq 2$, on a $$P_n(x)=xP_{n-1}(x)-P_{n-2}(x).$$ Calculer $P_1$ et $P_2$.
  2. Pour tout $x\in ]-2,2[$, on pose $x=2\cos \alpha$ avec $\alpha\in ]0,\pi[$. Démontrer que $$P_n(x)=\frac{\sin((n+1)\alpha)}{\sin\alpha}.$$
  3. En déduire que $A_n$ est diagonalisable.
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère, pour $n\geq 4$, la matrice $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ telle que $a_{i,j}=1$ si $i=1$ ou $i=n$ ou $j=1$ ou $j=n$, et $a_{i,j}=0$ sinon. Démontrer que $A$ est diagonalisable.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb C)$ une matrice diagonalisable et $B=\left(\begin{array}{c|c}0&A \\\hline I_n&0\end{array}\right)\in\mathcal M_{2n}(\mathbb C)$. Donner les valeurs propres de $B$ et la dimension des sous-espaces propres correspondants. \`A quelle condition $B$ est-elle diagonalisable?
Indication
Corrigé
Application de la diagonalisation
Exercice 19 - Calcul d'une puissance $n$-ième [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A$ la matrice suivante : $$A=\left(\begin{array}{ccc} 3&0&-1\\ 2&4&2\\ -1&0&3 \end{array} \right).$$ Démontrer que $A$ est diagonalisable et donner une matrice $P$ inversible et une matrice $D$ diagonale telles que $A=PDP^{-1}$. En déduire la valeur de $A^n$ pour tout $n\in\mathbb N$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $A=\left(\begin{array}{cc} -5&3\\ 6&-2 \end{array}\right).$ Montrer que $A$ est diagonalisable et calculer ses valeurs propres. En déduire qu'il existe une matrice $B$ telle que $B^3=A$.
Indication
Corrigé
Exercice 21 - Application à des suites récurrentes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A$ la matrice $\left(\begin{array}{ccc} -4&-6&0\\ 3&5&0\\ 3&6&5\end{array}\right)$.
  1. Diagonaliser $A$.
  2. Calculer $A^n$ en fonction de $n$.
  3. On considère les suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ définies par leur premier terme $u_0$, $v_0$ et $w_0$ et les relations suivantes : $$\left\{ \begin{array}{rcl} u_{n+1}&=&-4u_n-6v_n\\ v_{n+1}&=&3u_n+5v_n\\ w_{n+1}&=&3u_n+6v_n+5w_n \end{array} \right.$$ pour $n\geq 0$. On pose $X_n=\left( \begin{array}{c}u_n\\v_n\\w_n\end{array}\right)$. Exprimer $X_{n+1}$ en fonction de $A$ et $X_n$. En déduire $u_n$, $v_n$ et $w_n$ en fonction de $n$.
Indication
Corrigé
Exercice 22 - Commutant d'une matrice [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A$ la matrice $$A=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&-1\\ 1&2&1\\ 2&2&3 \end{array}\right).$$
  1. Diagonaliser $A$.
  2. En déduire toutes les matrices $M$ qui commutent avec $A$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Les matrices $$A=\left(\begin{array}{ccc} 0&0&4\\ 1&0&-8\\ 0&1&5 \end{array}\right)\textrm{ et } B=\left(\begin{array}{ccc} 2&1&1\\ 0&0&-2\\ 0&1&3 \end{array}\right)$$ sont-elles semblables?
Indication
Corrigé
Exercice 24 - Application au calcul d'un déterminant circulant [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $a_0,\dots,a_{n-1}$ des nombres complexes, et soient $A,J$ les matrices de $\mathcal M_n(\mathbb C)$ définies par $$A=\left( \begin{array}{cccc} a_0&a_1&\dots&a_{n-1}\\ a_{n-1}&\ddots&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&a_1\\ a_1&\dots&a_{n-1}&a_0 \end{array}\right),\ J=\left( \begin{array}{cccc} 0&1&0&\dots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&\ddots&\ddots&1\\ 1&0&\dots&0 \end{array}\right).$$
  1. Démontrer que $J$ est diagonalisable et calculer ses valeurs propres.
  2. Déterminer un polynôme $Q$ tel que $A=Q(J)$.
  3. En déduire le déterminant de $A$.
Indication
Corrigé
Trigonalisation de matrices
Exercice 25 - Trigonalisation - avec indication [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f$ l'endomorphisme de $\mathbb R^3$ dont la matrice dans la base canonique est donnée par $$A=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&1\\ -1&2&1\\ 1&-1&1\\ \end{array}\right).$$
  1. Montrer que $f$ est trigonalisable.
  2. Montrer que l'espace propre associé à la valeur propre 1 est de dimension 1. Montrer que $u=(1,1,0)$ est un vecteur non-nul de cet espace propre.
  3. Montrer que $v=(0,0,1)$ est tel que $(f-\textrm{id}_{\mathbb R^3})(v)=u$.
  4. Chercher un vecteur propre $w$ associé à la valeur propre 2. Montrer que $(u,v,w)$ est une base de $\mathbb R^3$. Calculer la matrice $T$ de $f$ dans la base $(u,v,w)$.
  5. Calculer $f^k(v)$ pour tout $k\in\mathbb N$. En déduire $T^k$.
  6. Calculer $A^k$ pour tout $k\in\mathbb N$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère la matrice $$A=\left( \begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 0&0&-1\\ 0&1&2 \end{array}\right).$$ A est-elle diagonalisable? Montrer que $A$ est semblable à la matrice $$B=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 0&1&1\\ 0&0&1 \end{array}\right).$$
Indication
Corrigé
Exercice 27 - Trigonalisation - sans indications [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Trigonaliser les matrices suivantes : $$A=\left(\begin{array}{ccc} 1&4&-2\\ 0&6&-3\\ -1&4&0 \end{array}\right),\ B=\left(\begin{array}{ccc} 2&-1&-1\\ 2&1&-2\\ 3&-1&-2 \end{array}\right).$$
Corrigé
Réduction d'autres endomorphismes
Exercice 28 - Un endomorphisme sur les polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathbb R_n[X]$ et soit $\phi$ l'endomorphisme de $E$ défini par $\phi( P)= P-(X+1)P'$. Justifier que $\phi$ est diagonalisable et donner les valeurs propres de $\phi$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $\phi:M\in\mathcal M_n(\mathbb R)\to\mathcal M_n(\mathbb R),\ M\mapsto {}^tM$. Déterminer les valeurs propres de $\phi$. $\phi$ est-elle diagonalisable?
Indication
Corrigé
Exercice 30 - Endomorphisme de polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $L$ l'endomorphisme de $\mathbb R_n[X]$ défini par $L(P)=X^n P\left(\frac 1X\right)$. Démontrer que $L$ est un endomorphisme diagonalisable de $\mathbb R_n[X]$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $n\geq 1$ et $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ tels que $AB-BA=A$. Le but de l'exercice est de démontrer que $A$ est nilpotente, c'est-à-dire qu'il existe $k\geq 1$ tel que $A^k=0$.
  1. Montrer que, pour tout $k\geq 0$, on a $A^k B-BA^k=kA^k$.
  2. On considère \begin{eqnarray*} \phi_B:\mathcal M_n(\mathbb R)&\to&\mathcal M_n(\mathbb R)\\ M&\mapsto&MB-BM. \end{eqnarray*} Vérifier que $\phi_B$ est un endomorphisme de $\mathcal M_n(\mathbb R)$.
  3. Justifier que si $A^k\neq 0$, alors $k$ est une valeur propre de $\phi_B$.
  4. En déduire l'existence d'un entier $k>0$ tel que $A^k=0$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie et soit $f\in\mathcal L(E)$. On considère l'endomorphisme $\phi$ de $\mathcal L(E)$ défini par $\phi(g)=f\circ g$.
  1. Démontrer que toute valeur propre de $f$ est une valeur propre de $\phi$ puis, si $\lambda$ est une valeur propre de $f$, déterminer $E_{\lambda}(\phi)$.
  2. En déduire que si $f$ est diagonalisable, alors $\phi$ est diagonalisable.
Indication
Corrigé
Exercice 33 - Reste de la division euclidienne [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathbb R_n[X]$ et soient $A,B$ deux éléments de $E$ premiers entre eux tels qu'en outre $B$ est scindé à racines simples. On notera $x_1,\dots,x_p$ ses racines. On note $\phi$ l'application de $E$ dans lui-même qui à un polynôme $P$ associe le reste de $AP$ dans la division euclidienne par $B$.
  1. Démontrer que $\phi$ est un endomorphisme de $E$. Est-ce un isomorphisme?
  2. Démontrer que $0$ est une valeur propre de $\phi$ et déterminer le sous-espace propre associé.
  3. Démontrer que, pour chaque $k=1,\dots,p$, $P_k(X)=\prod_{j\neq k}(X-x_j)$ est un vecteur propre de $\phi$.
  4. En déduire que $\phi$ est diagonalisable.
Indication
Corrigé