$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Exercices corrigés - Matrices et applications linéaires

Exercices pratiques
Enoncé
Soit $u$ l'application de $\mathbb R^3$ dans $\mathbb R^4$ définie par \[ u(x,y,z)=(-x+y,x-y,-x+z,-y+z). \]
  1. Montrer que $u$ est linéaire
  2. Soient $\{\mathcal E_1,\mathcal E_2,\mathcal E_3\}$ la base canonique de $\mathbb R^3$ et $\{\mathcal F_1,\mathcal F_2,\mathcal F_3,\mathcal F_4\}$ la base canonique de $\mathbb R^4$. Calculer $u(\mathcal E_1)$, $u(\mathcal E_2)$ et $u(\mathcal E_3)$ en fonction de $\mathcal F_1$, $\mathcal F_2$, $\mathcal F_3$ et $\mathcal F_4$.
  3. Écrire la matrice de $u$ dans les bases canoniques.
  4. Montrer que $\{\mathcal F_1,\mathcal F_2,u(\mathcal E_1),u(\mathcal E_2)\}$ est une base de $\mathbb R^4$.
  5. Écrire la matrice de $u$ dans les bases $\{\mathcal E_1,\mathcal E_2,\mathcal E_3\}$ et $\{\mathcal F_1,\mathcal F_2,u(\mathcal E_1),u(\mathcal E_2)\}$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $\{ \mathcal{E}_1,\mathcal{E}_2,\mathcal{E}_3 \}$ la base canonique de $\mathbb R^3$, $w_1=(1,-2,0)$, $w_2=(-1,2,0)$, $w_3=(0,0,2)$ et $u$ l'endomorphisme de $\mathbb R^3$ défini par la donnéee des images des vecteurs de la base : $$u(\mathcal{E}_1) = w_1\; , u(\mathcal{E}_2)=w_2 \; , u(\mathcal{E}_3)=w_3.$$
    1. Exprimer $w_1$, $w_2$, $w_3$ en fonction de $\mathcal{E}_1$, $\mathcal{E}_2$ et $\mathcal{E}_3$. En d\'eduire la matrice de $u$ dans la base canonique.
    2. Soit $W=(x,y,z) \in \mathbb R^3$. Calculer $u(W)$.
    1. Trouver une base de $\ker(u)$ et une base de $\textrm{Im}(u)$.
    2. Montrer que $\mathbb R^3 = \ker(u) \oplus \textrm{Im}(u)$.
  1. Déterminer $\ker(u-Id)$ et $\textrm{Im}(u-Id)$ où $Id$ désigne l'identité de $\mathbb R^3$. En déduire que $u-Id$ est un automorphisme de $\mathbb R^3$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E=\mathbb R^3$. On note ${\cal B}=\{\mathcal{E}_1,\mathcal{E}_2,\mathcal{E}_3\}$ la base canonique de $E$ et $u$ l'endomorphisme de $\mathbb R^3$ défini par la donnée des images des vecteurs de la base : $$u(\mathcal{E}_1) = -2\mathcal{E}_1 +2\mathcal{E}_3 \; , u(\mathcal{E}_2)=3\mathcal{E}_2 \; , u(\mathcal{E}_3)=-4\mathcal{E}_1 + 4 \mathcal{E}_3.$$
  1. Écrire la matrice de $u$ dans la base canonique.
  2. Déterminer une base de $\ker~u$. $u$ est-il injectif? peut-il être surjectif? Pourquoi?
  3. Déterminer une base de $\textrm{Im}~u$. Quel est le rang de u ?
  4. Montrer que $E=\ker~u\bigoplus \textrm{Im}~u$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f$ l'application linéaire de $\mathbb R^4$ dans lui-même défini par $f(x,y,z,t)=(x-y+z,y+z+t,0,x+y+3z+2t)$.
  1. Déterminer les images par $f$ des vecteurs de la base canonique $(e_1,e_2,e_3,e_4)$ de $\mathbb R^4$.
  2. Écrire la matrice $A$ représentant l'endomorphisme $f$ dans cette base.
  3. Montrer que $f(e_3)$ et $f(e_4)$ sont combinaisons linéaires de $f(e_1)$ et $f(e_2)$.
  4. En déduire la dimension de $\textrm{Im}(f)$ et une base de $\textrm{Im}(f)$.
  5. Quelle est la dimension du noyau de $f$? Montrer que la famille de vecteurs $(u,v)$ avec $u=(-2,-1,1,0)$ et $v=(-1,-1,0,1)$ forme une base de $\ker(f)$.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Donnée par une matrice [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère l'endomorphisme $f$ de $\mathbb R^3$ dont la matrice dans la base canonique est : $$A=\left( \begin{array}{ccc} 1&1&1\\ -1&2&-2\\ 0&3&-1 \end{array}\right).$$ Donner une base de $\ker(f)$ et de $\textrm{Im}(f)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère l'endomorphisme $f$ de $\mathbb R^3$ dont la matrice dans la base canonique est : $$M=\left( \begin{array}{ccc} 1&1&-1\\ -3&-3&3\\ -2&-2&2 \end{array}\right).$$ Donner une base de $\ker(f)$ et de $\textrm{Im}(f)$. En déduire que $M^n=0$ pour tout $n\geq 2$.
Corrigé
Enoncé
Soit $u$ l'application linéaire de $\mathbb R^3$ dans $\mathbb R^2$ dont la matrice dans leur base canonique respective est $$A=\left( \begin{array}{ccc} 2&-1&1\\ 3&2&-3 \end{array}\right).$$ On appelle $(e_1,e_2,e_3)$ la base canonique de $\mathbb R^3$ et $(f_1,f_2)$ celle de $\mathbb R^2$. On pose $$e_1'=e_2+e_3,\ e_2'=e_3+e_1,\ e_3'=e_1+e_2\textrm{ et }f_1'=\frac{1}{2}(f_1+f_2),\ f_2'=\frac{1}{2}(f_1-f_2).$$
  1. Montrer que $(e_1',e_2',e_3')$ est une base de $\mathbb R^3$ puis que $(f_1',f_2')$ est une base de $\mathbb R^2$.
  2. Qelle est la matrice de $u$ dans ces nouvelles bases?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $u:\mathbb R^2\rightarrow \mathbb R^3$ et $v:\mathbb R^3\rightarrow\mathbb R^2$ définies par $u(x,y)=(x+2y,2x-y,2x+3y)$ et $v(x,y,z)=(x-2y+z,2x+y-3z)$.
  1. Montrer que $u$ et $v$ sont linéaires et donner les matrices de $u,v,u\circ v$ et $v\circ u$ dans les bases canoniques de leurs espaces de définition respectifs. En déduire les expressions de $u\circ v(x,y,z)$ et $v\circ u(x,y)$.
  2. Soit $\mathcal{B}_2=\{\mathcal{E}_1,\mathcal{E}_2\}$ et $\mathcal{B}_3=\{\mathcal{F}_1,\mathcal{F}_2,\mathcal{F}_3\}$ les bases canoniques de $\mathbb R^2$ et $\mathbb R^3$. Montrer que $\mathcal{B}^\prime_2:=\{\mathcal{E}^\prime_1,\mathcal{E}^\prime_2\}$ et $\mathcal{B}^\prime_3:=\{\mathcal{F}^\prime_1,\mathcal{F}^\prime_2,\mathcal{F}^\prime_3\}$ sont des bases de $\mathbb R^2$ et $\mathbb R^3$ resp., où $\mathcal{E}^\prime_1:=\mathcal{E}_1$, $\mathcal{E}^\prime_2:=\mathcal{E}_1-\mathcal{E}_2$, $\mathcal{F}^\prime_1:=\mathcal{F}_1$, $\mathcal{F}^\prime_2:=\mathcal{F}_1+\mathcal{F}_2$ et $\mathcal{F}^\prime_3:=\mathcal{F}_1+\mathcal{F}_2 + \mathcal{F}_3$.
  3. Donner la matrice $P$ de passage de la base $\mathcal{B}_2$ à la base $\mathcal{B}^\prime_2$ puis la matrice $Q$ de passage de la base $\mathcal{B}_3$ à la base $\mathcal{B}^\prime_3$.
  4. Écrire la matrice de $u$ dans les bases $\mathcal{B}^\prime_2$ et $\mathcal{B}_3$ puis dans les bases $\mathcal{B}^\prime_2$ et $\mathcal{B}^\prime_3$ et enfin celle de $v$ dans les bases $\mathcal{B}^\prime_3$ et $\mathcal{B}^\prime_2$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $\alpha,\beta$ deux réels et $$M_{\alpha,\beta}=\left(\begin{array}{cccc} 1&3&\alpha&\beta\\ 2&-1&2&1\\ -1&1&2&0 \end{array}\right).$$ Déterminer les valeurs de $\alpha$ et $\beta$ pour lesquelles l'application linéaire associée à $M_{\alpha,\beta}$ est surjective.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Matrice d'une projection [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient, dans $\mathbb R^3$, $P$ le plan d'équation $z=x-y$ et $D$ la droite d'équation $x=-y=z$. Trouver la matrice dans la base canonique de $\mathbb R^3$ de la projection $p$ de $\mathbb R^3$ sur $P$ parallèlement à $D$.
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Application linéaire définie sur les matrices [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $A=\left(\begin{array}{cc}-1&2\\1&0\end{array}\right)$ et $f$ l'application de $M_2(\mathbb R)$ dans $M_2(\mathbb R)$ définie par $f(M)=AM$.
  1. Montrer que $f$ est linéaire.
  2. Déterminer sa matrice dans la base canonique de $M_2(\mathbb R)$.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Matrice inverse et application linéaire sur les polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A$ la matrice de $\mathcal M_{n+1}(\mathbb C)$ définie par $a_{i,j}=\binom{j-1}{i-1}$ si $i\leq j$, $a_{i,j}=0$ sinon.
  1. Interpréter $A$ comme la matrice d'un endomorphisme de $\mathbb R_{n}[X]$.
  2. En déduire que $A$ est inversible, et calculer son inverse.
Indication
Corrigé
Exercices théoriques
Enoncé
Prouver qu'une matrice $A$ de $M_{n,p}(\mathbb K)$ de rang $r$ s'écrit comme somme de $r$ matrices de rang 1.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$. On souhaite démontrer qu'il existe une base de $\mathcal L(E)$ constituée de projecteurs. On fixe une base $\mathcal B$ de $E$. On note $E_{i,j}$ les matrices élémentaires de $\mathcal M_n(\mathbb R)$.
  1. \`A quelle condition une matrice $M\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ est-elle la matrice dans la base $\mathcal B$ d'un projecteur de $E$.
  2. En déduire que pour tout $i,j\in\{1,\dots n\}$ avec $i\neq j$, les matrices $E_{i,i}$ et $E_{i,i}+E_{i,j}$ sont des matrices de projecteurs.
  3. Démontrer la propriété annoncée.
Indication
Corrigé
Exercice 15 - D'un produit à l'autre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A\in\mathcal M_{3,2}(\mathbb R)$, $B\in\mathcal M_{2,3}(\mathbb R)$ tels que $$AB=\left( \begin{array}{ccc} 0&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array} \right).$$ Démontrer que $BA=I_2$.
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Matrice à diagonale dominante [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A\in M_n(\mathbb C)$ une matrice à diagonale dominante, c'est-à-dire que pour tout $i\in\{1,\dots,n\}$, on a $|a_{i,i}|>\sum_{j\neq i}|a_{i,j}|$. Montrer que la matrice $A$ est inversible.
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Matrices équivalentes et matrices nilpotentes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Montrer qu'une matrice de $\mathcal M_n(\mathbb K)$ qui n'est pas inversible est équivalente à une matrice nilpotente.
Indication
Corrigé
Exercice 18 - Matrices de trace nulle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soit $E$ un espace vectoriel et $f\in\mathcal L(E)$. Montrer que $f$ est une homothétie si et seulement si, pour tout $x\in E$, la famille $(x,f(x))$ est liée.
  2. Soit $A\in M_n(\mathbb K)$ de trace nulle. Montrer que $M$ est semblable à une matrice n'ayant que des zéros sur la diagonale.
Indication
Corrigé