$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Exercices corrigés - Matrices

Produit de matrices
Enoncé
On considère les matrices suivantes: $ A=\left(\begin{array}{*9c} 1&2&3 \end{array}\right),$ $$ B=\left(\begin{array}{*9c} 1\\ \!-2 \end{array}\right) ,\ C=\left(\begin{array}{*9c} 2&1\\ \!-3&0\\ 1&2 \end{array}\right),\ D=\left(\begin{array}{*9c} \!-2&5\\ 5&0 \end{array}\right) ,\ E=\left(\begin{array}{*9c} \!-1&1&3\\ \!-1&-4&0\\ 0&2&5 \end{array}\right) . $$ Quels sont les produits matriciels possibles? Quelles sont les matrices carrées et les matrices symétriques?
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Des calculs de produits [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer lorsqu'ils sont définis les produits $AB$ et $BA$ dans chacun des cas suivants :
  1. $\displaystyle A= \left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array}\right),\quad B=\left(\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array}\right) $
  2. $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ -1&-2 &-1\\ \end{array}\right),\quad B=\left(\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 1\\ -1& 1 & 2\\ \end{array}\right) $
  3. $\displaystyle A=\left(\begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 1 & 1 \\ 0 & 3 \\ \end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{cccc} -1 & 1 & 0& 1 \\ 2 & 1 & 0& 0 \\ \end{array}\right) $
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $a$ et $b$ des réels non nuls, et $A=\left( \begin{array}{cc} a & b\\ 0 &a \end{array} \right).$ Trouver toutes les matrices $B\in\mathcal M_2(\mathbb R)$ qui commutent avec $A$, c'est-à-dire telles que $AB=BA$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère les matrices $A=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 0&1&1\\ 3&1&1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{ccc} 1&1&1\\ 0&1&0\\ 1&0&0\end{array}\right)$ et $C=\left(\begin{array}{ccc} 1&1&1\\ 1&2&1\\ 0&-1&-1\end{array}\right)$. Calculer $AB$, $AC$. Que constate-t-on? La matrice $A$ peut-elle être inversible? Trouver toutes les matrices $F\in\mathcal M_3(\mathbb R)$ telles que $AF=0$ (où $0$ désigne la matrice nulle).
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer deux éléments $A$ et $B$ de $\mathcal M_2({\mathbb R})$ tels que : $AB=0$ et $BA\not = 0$.
Corrigé
Exercice 6 - Matrices stochastiques en petite taille [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On dit qu'une matrice $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ est une matrice stochastique si la somme des coefficients sur chaque colonne de $A$ est égale à 1. Démontrer que le produit de deux matrices stochastiques est une matrice stochastique si $n=2$. Reprendre la question si $n=3$.
Corrigé
Exercice 7 - Puissance $n$-ième, par récurrence [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer la puissance $n$-ième des matrices suivantes : $$A=\left(\begin{array}{cc} 1&-1\\ -1&1\\ \end{array}\right),\ B=\left(\begin{array}{cc} 1&1\\ 0&2\\ \end{array}\right).$$
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Puissance $n$-ième - avec la formule du binôme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $$A=\left( \begin{array}{ccc} 1&1&0\\ 0&1&1\\ 0&0&1 \end{array}\right),\quad I=\left( \begin{array}{ccc} 1&0&0\\ 0&1&0\\ 0&0&1 \end{array}\right)\textrm{ et } B=A-I.$$ Calculer $B^n$ pour tout $n\in\mathbb N$. En déduire $A^n$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ deux matrices telles que la somme des coefficients sur chaque colonne de $A$ et sur chaque colonne de $B$ vaut $1$ (on dit qu'une telle matrice est une matrice stochastique). Montrer que la somme des coefficients sur chaque colonne de $AB$ vaut $1$.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Puissance $k$-ième sans division euclidienne [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $U$ la matrice $$U=\left(\begin{array}{cccc} 0&1&1&1\\ 1&0&1&1\\ 1&1&0&1\\ 1&1&1&0 \end{array}\right).$$
  1. Calculer $U^2$ et en déduire une relation simple liant $U^2$, $U$ et $I_4$.
  2. Soit $(\alpha_k)$ et $(\beta_k)$ les suites définies par $\alpha_0=1$, $\beta_0=0$, $\alpha_{k+1}=3\alpha_k$, $\beta_{k+1}=\alpha_k+2\beta_k$. Démontrer que, pour tout $k\in\mathbb N$, on a $$U^k=\left( \begin{array}{cccc} \alpha_k&\beta_k&\beta_k&\beta_k\\ \beta_k&\alpha_k&\beta_k&\beta_k\\ \beta_k&\beta_k&\alpha_k&\beta_k\\ \beta_k&\beta_k&\beta_k&\alpha_k \end{array}\right).$$
  3. Démontrer que, pour tout $k\in\mathbb N$, on a $\beta_{k+2}=2\beta_{k+1}+3\beta_k$.
  4. En déduire que, pour tout $k\in\mathbb N$, $\beta_k=\frac{3^k-(-1)^k}{4}$ et $\alpha_k=\frac{3^k+3(-1)^k}{4}$.
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Puissance $n$-ième - avec un polynôme annulateur [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Pour $n\geq 2$, déterminer le reste de la division euclidienne de $X^n$ par $X^2-3X+2$.
  2. Soit $A=\begin{pmatrix} 0&1&-1\\ -1&2&-1\\ 1&-1&2 \end{pmatrix}$. Déduire de la question précédente la valeur de $A^n$, pour $n\geq 2$.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Puissance $k$-ième, avec polynôme annulateur [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $U$ la matrice $$U=\left(\begin{array}{cccc} 0&1&1&1\\ 1&0&1&1\\ 1&1&0&1\\ 1&1&1&0 \end{array}\right).$$
  1. Déterminer une relation simple liant $I_4,U$ et $U^2$.
  2. En déduire, pour $k\geq 0$, la valeur de $U^k$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb R)$.
  1. On suppose que $\textrm{tr}(AA^T)=0$. Que dire de la matrice $A$?
  2. On suppose que, pour tout $X\in\mathcal M_n(\mathbb R)$, on a $\textrm{tr}(AX)=\textrm{tr}(BX)$. Démontrer que $A=B$.
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Centre de $\mathcal M_n(\mathbb R)$. [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer le centre de $\mathcal M_n(\mathbb R)$, c'est-à-dire l'ensemble des matrices $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ telle que, pour tout $M\in\mathcal M_n(\mathbb R)$, on a $AM=MA$.
Indication
Corrigé
Inverse de matrices
Exercice 15 - Inverser une matrice sans calculs! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soit $\dis A=\left( \begin{array}{ccc} -1&1&1\\ 1&-1&1\\ 1&1&-1 \end{array}\right)$. Montrer que $A^2=2I-A$, en déduire que $A$ est inversible et calculer $A^{-1}$.
  2. Soit $ A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \cr 0 & -1 & 1 \cr 1 & -2 & 0 \cr \end{pmatrix} .$ Calculer $ A^3-A .$ En déduire que $ A $ est inversible puis déterminer $ A^{-1} .$
  3. Soit $A=\begin{pmatrix} 0&1&-1\\ -1&2&-1\\ 1&-1&2 \end{pmatrix}$. Calculer $A^2-3A+2I_3$. En déduire que $A$ est inversible, et calculer $A^{-1}$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Dire si les matrices suivantes sont inversibles et, le cas échéant, calculer leur inverse : $$A=\left( \begin{array}{rcl} 1&1&2\\ 1&2&1\\ 2&1&1 \end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{rcl} 0&1&2\\ 1&1&2\\ 0&2&3 \end{array} \right),\quad C=\left( \begin{array}{rcl} 1&4&7\\ 2&5&8\\ 3&6&9 \end{array}\right),\quad I=\left( \begin{array}{rcl} i&-1&2i\\ 2&0&2\\ -1&0&1 \end{array}\right).$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Démontrer que la matrice suivante est inversible, et calculer son inverse. $$A=\left( \begin{array}{cccc} 1&1&\dots&1\\ 0&1&1&\dots\\ \vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&\dots&\dots&1 \end{array} \right).$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ une matrice nilpotente, c'est-à-dire qu'il existe $p\geq 1$ tel que $A^p=0$. Démontrer que la matrice $I_n-A$ est inversible, et déterminer son inverse.
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Matrices stochastiques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $n\geq 1$, on note $\mathcal D$ l'ensemble des matrices $A$ de $\mathcal M_n(\mathbb R)$ telles que $a_{i,j}\geq 0$ pour tout $i,j$ et $$\sum_{j=1}^n a_{i,j}=1$$ pour tout $i=1,\dots,n$.
  1. Démontrer que $\mathcal D$ est stable par produit.
  2. Déterminer les matrices $A$ de $\mathcal D$ qui sont inversibles et telles que $A^{-1}\in\mathcal D$.
Indication
Corrigé
Rang de matrices
Enoncé
Calculer le rang des matrices suivantes : $$\begin{array}{lcl} \displaystyle \mathbf{1.}\ A=\left( \begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 2&3&4\\ 3&4&5 \end{array}\right)&\quad\quad& \displaystyle \mathbf{2.}\ B=\left( \begin{array}{ccc} 1&1&1\\ 1&2&4\\ 1&3&9 \end{array}\right) \\ \displaystyle \mathbf{3.}\ C=\left(\begin{array}{cccc} 1&2&3&2\\ 2&3&4&2\\ 3&4&5&2\\ \end{array} \right) &&\displaystyle \mathbf 4.\ D=\left(\begin{array}{cccc} 1&2&1&2\\ -2&-3&0&-5\\ 4&9&6&7\\ 1&-1&-5&5 \end{array} \right) \end{array}.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer, suivant la valeur du réel $a$, le rang de la matrice suivante : $$A=\left( \begin{array}{cccc} 1&a&a^2&a^3\\ a&a^2&a^3&1\\ a^2&a^3&1&a\\ a^3&1&a&a^2 \end{array}\right).$$
Indication
Corrigé
Exercice 22 - Décomposition de matrices de rang donné [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $M\in\mathcal M_n(\mathbb C)$.
  1. Montrer que si $\textrm{rg}(M)=1$, il existe deux vecteurs colonnes $X,Y\in\mathbb C^n$ tels que $M=XY^t$.
  2. Montrer que si $\textrm{rg}(M)=2$, il existe deux couples de vecteurs indépendants $(X,Z)$ et $(Y,T)$ tels que $M=XY^t+ZT^t$.
  3. Généraliser aux matrices de rang $k$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $A\in\mathcal M_{n,m}(\mathbb R)$ de rang $r$. Déterminer le rang de la matrice $B\in\mathcal M_{np,mp}(\mathbb R)$ définie par $$B=\left( \begin{array}{cccc} A&0&\dots&0\\ 0&A&\ddots&\vdots\\ \vdots&\dots&\ddots&\vdots\\ 0&\dots&0&A \end{array} \right).$$
Indication
Corrigé
Ensemble de matrices
Exercice 24 - Un sous-espace vectoriel de matrices [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $ E $ le sous ensemble de $ M_3({\mathbb R}) $ défini par $$ E = \Bigl \{ M(a,b,c)=\left( \begin{array}{ccc} a & 0 & c \\ 0 & b & 0 \\ c & 0 & a \\ \end{array}\right):\;\; a , b , c \in {\mathbb R} \Bigr \} .$$ Montrer que $ E $ est un sous-espace vectoriel de $ M_3(\mathbb R) $ stable pour la multiplication des matrices. Calculer $ \hbox{dim} (E) .$
Indication
Corrigé
Exercice 25 - Matrices symétriques et anti-symétriques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Montrer que l'ensemble des matrices symétriques ($A=\ ^t\!A$) et l'ensemble des matrices anti-symétriques ($A=-\ ^t\!A$) sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de $\mcmnk$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $n\geq 3$. On dit qu'une matrice $M\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ est \emph{magique} si, pour tout $j\in\{1,\dots,n\}$, on a $$\sum_{i=1}^n m_{i,j}=\sum_{i=1}^n m_{j,i}=\sum_{i=1}^n m_{i,i}=\sum_{i=1}^n m_{i,n+1-i}.$$ On note $MG(n)$ l'ensemble des matrices magiques d'ordre $n$.
  1. Que signifie être une matrice magique?
  2. Montrer que $MG(n)$ est un espace vectoriel.
  3. Montrer que l'application $\phi:MG(n)\to\mathcal M_{n-2,n-1}(\mathbb R)\times\mathbb R^{n-2}$, qui envoie la matrice $M$ qui s'écrit $$M=\left( \begin{array}{ccccc} &&&&m_{1,n}\\ &M_1&&&\vdots\\ &&&&m_{n-2,n}\\ m_{n-1,1}&\dots&\dots&m_{n-1,n-1}&m_{n-1,n}\\ m_{n,1}&\dots&\dots&m_{n,n-1}&m_{n,n} \end{array}\right)$$ sur $(M_1,m_{1,n},m_{n-1,1},m_{n-1,3},m_{n-1,4},\dots,m_{n-1,n-2})$ est un isomorphisme d'espace vectoriel.
  4. En déduire la dimension de $MG(n)$.
Corrigé
Application des matrices
Enoncé
Soient $(a_n)$, $(b_n)$ et $(c_n)$ trois suites réelles telles que $a_0=1$, $b_0=2$, $c_0=7$, et vérifiant les relations de récurrence : $$ \left\{ \begin{array}{rcccc} a_{n+1}&=&3a_n+&b_n&\\ b_{n+1}&=&&3b_n+&c_n\\ c_{n+1}&=&&&3c_n \end{array} \right.$$ On souhaite exprimer $a_n$, $b_n$, et $c_n$ uniquement en fonction de $n$.
  1. On considère le vecteur colonne $X_n=\left(\begin{array}{c}a_n\\b_n\\c_n\end{array}\right)$. Trouver une matrice $A$ telle que $X_{n+1}=AX_n$. En déduire que $X_n=A^n X_0$.
  2. Soit $N=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\ 0&0&1\\ 0&0&0\end{array}\right)$. Calculer $N^2$, $N^3$, puis $N^p$ pour $p\geq 3$.
  3. Montrer que : $$A^n=3^{n}I+3^{n-1}nN+3^{n-2}\frac{n(n-1)}{2}N^2.$$
  4. En déduire $a_n$, $b_n$ et $c_n$ en fonction de $n$.
Indication
Corrigé
Exercice 28 - Matrice et systèmes linéaires [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $I=[a,b]$ un intervalle, $\theta_1,\ \theta_2,\ \theta_3$ trois fonctions continues sur $I$, à valeurs réelles, et pour lesquelles on peut trouver des coefficients réels $a_1,\ a_2,\ a_3$ non tous nuls tels que la fonction $$\theta=a_1\theta_1+a_2\theta_2+a_3\theta_3$$ admette au moins trois racines distinctes $x_1,\ x_2,\ x_3$. Prouver qu'il existe des réels $\lambda_1,\ \lambda_2,\ \lambda_3$ non tous nuls tels que : $$\lambda_1\theta_k(x_1)+\lambda_2\theta_k(x_2)+\lambda_3\theta_k(x_3)=0,$$ pour $k=1,2$ ou 3.
Indication
Corrigé