$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Exercices corrigés - Espaces vectoriels : combinaisons linéaires, familles libres, génératrices

Combinaisons linéaires
Exercice 1 - Combinaisons linéaires? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Les vecteurs $u$ suivants sont-ils combinaison linéaire des vecteurs $u_i$?
  1. $E=\mathbb R^2$, $u=(1,2)$, $u_1=(1,-2)$, $u_2=(2,3)$;
  2. $E=\mathbb R^2$, $u=(1,2)$, $u_1=(1,-2)$, $u_2=(2,3)$, $u_3=(-4,5)$;
  3. $E=\mathbb R^3$, $u=(2,5,3)$, $u_1=(1,3,2)$, $u_2=(1,-1,4)$;
  4. $E=\mathbb R^3$, $u=(3,1,m)$, $u_1=(1,3,2)$, $u_2=(1,-1,4)$ (discuter suivant la valeur de $m$).
Indication
Corrigé
Enoncé
Émile achète pour sa maman une bague contenant 2g d'or, 5g de cuivre et 4g d'argent. Il la paie 6200 euros.
Paulin achète pour sa maman une bague contenant 3g d'or, 5g de cuivre et 1g d'argent. Il la paie 5300 euros.
Frédéric achète pour sa chérie une bague contenant 5g d'or, 12g de cuivre et 9g d'argent. Combien va-t-il la payer?
Indication
Corrigé
Familles libres
Enoncé
Les familles suivantes sont-elles libres dans $\mathbb R^3$ (ou $\mathbb R^4$ pour la dernière famille)?
  1. $(u,v)$ avec $u=(1,2,3)$ et $v=(-1,4,6)$;
  2. $(u,v,w)$ avec $u=(1,2,-1)$, $v=(1,0,1)$ et $w=(0,0,1)$;
  3. $(u,v,w)$ avec $u=(1,2,-1)$, $v=(1,0,1)$ et $w=(-1,2,-3)$;
  4. $(u,v,w,z)$ avec $u=(1,2,3,4)$, $v=(5,6,7,8)$, $w=(9,10,11,12)$ et $z=(13,14,15,16)$.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Deux par deux, et par trois? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère dans $\mathbb R^3$ les vecteurs $v_1=(1,1,0)$, $v_2=(4,1,4)$ et $v_3=(2,-1,4)$.
  1. Montrer que la famille $(v_1,v_2)$ est libre. Faire de même pour $(v_1,v_3)$, puis pour $(v_2,v_3)$.
  2. La famille $(v_1,v_2,v_3)$ est-elle libre?
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Complétion de familles libres [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère dans $\mathbb R^3$ les vecteurs $$v_1=(1,-1,1),\ v_2=(2,-2,2),\ v_3=(2,-1,2).$$
  1. Peut-on trouver un vecteur $w$ tel que $(v_1,v_2,w)$ soit libre? Si oui, construisez-en un.
  2. Même question en remplaçant $v_2$ par $v_3$.
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Polynômes à degrés échelonnés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(P_1,\dots,P_n)$ une famille de polynômes de $\mathbb C[X]$ non nuls, à degrés échelonnés, c'est-à-dire $\deg(P_1)<\deg(P_2)<\dots<\deg(P_n)$. Montrer que $(P_1,\dots,P_n)$ est une famille libre.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E=\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$ l'espace vectoriel des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$. Étudier l'indépendance linéaire des familles suivantes :
  1. $(\sin x,\cos x)$;
  2. $(\sin 2x,\sin x,\cos x)$;
  3. $(\cos 2x,\sin^2 x,\cos^2 x)$;
  4. $(x,e^x,\sin(x))$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Démontrer que les familles suivantes sont libres dans $\mathcal F(\mathbb R,\mathbb R)$:
  1. $(x\mapsto e^{ax})_{a\in\mathbb R}$;
  2. $(x\mapsto |x-a|)_{a\in\mathbb R}$;
  3. $(x\mapsto \cos(ax))_{a>0}$;
  4. $(x\mapsto (\sin x)^n)_{n\geq 1}$.
Indication
Corrigé
Exercice 9 - A partir d'une famille libre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans $\mathbb R^n$, on considère une famille de 4 vecteurs libres $(e_1,e_2,e_3,e_4)$. Les familles suivantes sont-elles libres?
  1. $(e_1,2e_2,e_3)$;
  2. $(e_1,e_3)$;
  3. $(e_1,2e_1+e_4,e_3+e_4)$;
  4. $(2e_1+e_2,e_1-2e_2,e_4,7e_1-4e_2)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(v_1,\dots,v_n)$ une famille libre d'un $\mathbb R$-espace vectoriel $E$. Pour $k=1,\dots,n$, on pose $w_k=v_k+v_{k+1}$ et $w_n=v_n+v_1$. Etudier l'indépendance linéaire de la famille $(w_1,\dots,w_n)$.
Indication
Corrigé