$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Exercices corrigés - Espaces vectoriels : applications linéaires

Exemples d'applications linéaires
Exercice 1 - Applications linéaires ou non? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dire si les applications suivantes sont des applications linéaires :
  1. $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^3,\ (x,y)\mapsto (x+y,x-2y,0)$;
  2. $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^3,\ (x,y)\mapsto (x+y,x-2y,1)$;
  3. $f:\mathbb R^2\to\mathbb R,\ (x,y)\mapsto x^2-y^2$;
  4. $f:\mathbb R[X]\to \mathbb R,\ P\mapsto \big(P(0),P'(1)\big)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $f:\mathbb R^2\to\mathbb R^3$ l'application linéaire définie par $$f(x,y)=(x+y,x-y,x+y).$$ Déterminer le noyau de $f$, son image. $f$ est-elle injective? surjective?
Corrigé
Enoncé
Soit $E=\mathcal C^{\infty}(\mathbb R)$ et $\phi\in\mathcal L(E)$ définie par $\phi(f)=f'$. Quel est le noyau de $\phi$? Quelle est son image? $\phi$ est-elle injective? surjective?
Corrigé
Enoncé
Montrer que $f:\mathbb R[X]\to\mathbb R[X],\ P\mapsto P-XP'$ est une application linéaire. Déterminer son noyau et son image.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Application linéaire définie sur un espace de polynôme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathbb C[X]$, $p$ un entiel naturel et $f$ l'application de $E$ dans $E$ définie par $f(P)=(1-pX)P+X^2P'$. $f$ est-elle injective? surjective?
Indication
Corrigé
Projecteurs et symétries
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel et $p,q$ deux projecteurs de $E$ tels que $p\neq 0$, $q\neq 0$ et $p\neq q$. Démontrer que $(p,q)$ est une famille libre de $\mathcal L(E)$.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Projections et sommes directes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $E_1,\dots,E_p$ des sous-espaces vectoriels de $E$. On suppose que $E_1\oplus\dots\oplus E_p=E$. On note $p_i$ le projecteur sur $E_i$ parallèlement à $\oplus_{j\neq i}E_j$. Montrer que $p_i\circ p_j=0$ si $i\neq j$ et $p_1+\dots+p_n=Id_E$.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Sous-espace stable et projecteur [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel, et soit $u\in\mathcal L(E)$. On dit qu'un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ est stable par $u$ si $u(x)\in F$ pour tout $x\in F$. Soit $p$ un projecteur de $E$. Démontrer que $u$ commute avec $p$ si et seulement si $\textrm{Im}(p)$ et $\ker(p)$ sont stables par $u$.
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Endomorphismes annulant un polynôme de degré 2 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f\in\mathcal L(E)$ et soient $\alpha,\beta$ deux réels distincts.
  1. Démontrer que $E=\textrm{Im}(f-\alpha Id_E)+\textrm{Im}(f-\beta Id_E)$.
    On suppose de plus que $$(f-\alpha Id_E)\circ (f-\beta Id_E)=0.$$
  2. Démontrer que $f$ est inversible, et calculer $f^{-1}$.
  3. Démontrer que $E=\ker(f-\alpha Id_E)\oplus \ker(f-\beta Id_E)$.
  4. Exprimer en fonction de $f$ le projecteur $p$ sur $\ker(f-\alpha Id_E)$ parallèlement à $\ker(f-\beta Id_E)$.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Somme de deux projecteurs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un $\mathbb R$-espace vectoriel. Soient $p$ et $q$ deux projecteurs de $E$.
  1. Montrer que $p+q$ est un projecteur si et seulement si $p\circ q=q\circ p=0$.
  2. Montrer que, dans ce cas, on a $\textrm{Im}(p+q)=\textrm{Im}(p)\oplus \textrm{Im}(q)$ et $\ker(p+q)=\ker p\cap \ker q$.
Indication
Corrigé
Exercices théoriques sur les applications linéaires
Exercice 11 - Avez-vous compris ce qu'étaient le noyau et l'image? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $E,F,G$ trois $\mathbb K$-espaces vectoriels, et soient $f\in\mathcal L(E,F)$ et $g\in\mathcal L(F,G)$. Démontrer que $$g\circ f=0\iff \textrm{Im}f\subset\ker g.$$
Corrigé
Exercice 12 - Endomorphismes qui commutent, noyaux et images [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel et $u,v\in\mathcal L(E)$. On suppose que $u\circ v=v\circ u$. Démontrons que $\textrm{ker}(u)$ et $\textrm{Im}u$ sont stables par $v$, c'est-à-dire que $$v(\ker u)\subset \ker u\textrm{ et }v(\textrm{Im}u)\subset \textrm{Im}u.$$
Corrigé
Exercice 13 - Endomorphisme nilpotent et famille libre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f\in\mathcal L(E)$ tel qu'il existe $n\geq 1$ vérifiant $f^n=0$ et $f^{n-1}\neq 0$. Démontrer qu'il existe $x\in E$ tel que la famille $(x,f(x),\dots,f^{n-1}(x))$ soit libre.
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Sommes directes de noyaux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f\in\mathcal L(E)$. Démontrer que $\ker(f)$, $\ker(f-Id)$ et $\ker(f+Id)$ sont en somme directe.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $E,F$ deux espaces vectoriels et $f\in\mathcal L(E,F)$. Soit $G$ un supplémentaire de $\ker(f)$ dans $E$. Montrer que $G$ et $\textrm{Im}(f)$ sont isomorphes.
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Une caractérisation des homothéties [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel et $f\in\mathcal L(E)$ tel que, pour tout $x\in E$, la famille $(x,f(x))$ est liée.
  1. Démontrer que pour tout $x\in E$, $x\neq 0$, il existe un unique scalaire $\lambda_x$ tel que $f(x)=\lambda_x x$.
  2. Comparer $\lambda_x$ et $\lambda_y$ lorsque $(x,y)$ est liée.
  3. Comparer $\lambda_x$ et $\lambda_y$ lorsque $(x,y)$ est libre.
  4. En déduire que $f$ est une homothétie.
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Factorisation d'une application linéaire surjective [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $E$ et $F$ deux $K$-espaces vectoriels et $f$ appartient à $\mathcal L(E,F)$.
  1. On suppose qu'il existe $g$ appartenant à $\mathcal L(F,E)$ telle que $f\circ g=Id_F$. Montrer que $f$ est surjective.
  2. On suppose que $f$ est surjective. On admet l'existence d'un sous-espace vectoriel $G$ de $E$ tel que $G\oplus \ker(f)=E$.
    1. Soit $\hat f:G\to F$, $x\mapsto f(x)$. Montrer que $\hat f$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels.
    2. Soit $g:F\to E$, $y\mapsto \hat f^{-1}(y)$. Calculer $f\circ g$.
  3. Conclure.
Indication
Corrigé
Exercice 18 - Factorisation et inclusion de noyaux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans cet exercice, on admet que dans tout espace vectoriel, un sous-espace admet un supplémentaire.
Soient $E,F$ deux espaces vectoriels et $u,v\in\mathcal L(E,F)$. Montrer que $$\ker(u)\subset\ker(v)\iff \exists f\in\mathcal L(F)\textrm{ tel que }v=f\circ u.$$
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Factorisation et inclusion des images [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans cet exercice, on suppose connue la propriété suivante : si $E_1$ est un espace vectoriel et $F_1$ est un sous-espace vectoriel de $E_1$, alors il possède un supplémentaire. Soient alors $E,F,G$ trois espaces vectoriels, $u\in\mathcal L(F,G)$ et $v\in\mathcal L(E,G)$. Démontrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
  1. $\textrm{Im}(v)\subset\textrm{Im}(u)$;
  2. Il existe $w\in\mathcal L(E,F)$ tel que $v=u\circ w$.
Indication
Corrigé