$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Formes linéaires, hyperplans, dualité

Formes linéaires
Exercice 1 - Quelques remarques sur les formes linéaires [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie.
  1. Soient $f,g\in E^*$ non-nulles. Démontrer qu'il existe $u\in E$ tel que $f(u)\neq 0$ et $g(u)\neq 0$.
  2. On suppose qu'il existe $p$ formes linéaires $f_1,\dots,f_p\in E^*$ telles que : $$\forall x\in E,\ (f_1(x)=\dots=f_p(x)=0)\implies x=0.$$ Démontrer que $\dim(E)\leq p$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer la forme linéaire $f$ définie sur $\mathbb R^3$ telle que $$f(1,1,1)=0,\ f(2,0,1)=1\textrm{ et }f(1,2,3)=4.$$ Donner une base du noyau de $\ker(f)$.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Une base en dimension 2 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $f_1,f_2$ les deux éléments de $\mathcal L(\mathbb R^2,\mathbb R)$ définis par $$f_1(x,y)=x+y\textrm{ et }f_2(x,y)=x-y.$$
  1. Montrer que $(f_1,f_2)$ forme une base de $(\mathbb R^2)^*$.
  2. Exprimer les formes linéaires suivantes dans la base $(f_1,f_2)$ : $$g(x,y)=x,\ h(x,y)=2x-6y.$$
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Formes linéaires proportionnelles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathbb K_n[X]$ et soit $\varphi\in E^*$ telle que, pour tout $P\in\mathbb K_{n-1}[X]$, on a $\varphi\big((X-a)P\big)=0.$ Démontrer qu'il existe $\lambda\in\mathbb K$ tel que, pour tout $P\in E$, $\varphi(P)=\lambda P(a)$.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Formes linéaires sur un espace de polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathbb R_n[X]$, et $x_0,\dots,x_{n}$ des nombres réels distincts. On pose, pour tout $P\in E$, $\phi(P)=\int_{-1}^1\frac{P(t)}{1+\cos^2(t)}dt.$ Montrer qu'il existe $\lambda_0,\dots,\lambda_n\in \mathbb R$ tels que, pour tout $P\in E$, $\phi(P)=\lambda_0 P(x_0)+\dots+\lambda_n P(x_n)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel et $x,y\in E$. Démontrer que $x=y$ si et seulement si, pour tout $\phi\in E^*$, $\phi(x)=\phi(y)$.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Formes linéaires multiplicatives sur les matrices [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\phi$ une forme linéaire sur $M_n(\mathbb R)$ vérifiant $\phi(AB)=\phi(BA)$ pour toutes matrices $A,B\in M_n(\mathbb R)$. Montrer qu'il existe $\lambda\in\mathbb R$ tel que $\phi(M)=\lambda\textrm{Tr}(M)$.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Dualité dans $\mathbb R_3[X]$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $t\in\mathbb R$, on considère la forme linéaire $f_t$ sur $E=\mathbb R_3[X]$ définie par $f_t(P)=P(t)$.
  1. Démontrer que, si $a,b,c,d$ sont des réels distincts, alors $(f_a,f_b,f_c,f_d)$ est une famille libre.
  2. On considère $a,b$ des réels distincts, et on pose $\phi(P)=\int_a^b P(x)dx$, qui est une forme linéaire sur $E$. Démontrer que $$\phi=\frac{(b-a)}6\left(f_a+4f_{\frac{a+b}2}+f_b\right).$$
  3. Soit $c$ un réel différent de $a,b$ et $(a+b)/2$. Déduire des questions précédentes que la famille $f_a,f_b,f_c,\phi$ est libre.
Indication
Corrigé
Bases duales
Enoncé
Soit $E=\mathbb R_n[X]$ muni de la base $\mathcal B=\{1,X,\dots,X^n\}$. Pour tout $i$ de $\{0,\dots,n\}$, on définit une forme linéaire $f_i$ sur $E$ par $$\forall j\in\{0,\dots,n\},\ f_i(X^j)= \begin{cases} 1&\textrm{ si }i=j\\ 0&\textrm{ si }i\neq j. \end{cases} $$
  1. Démontrer que $(f_0,\dots,f_n)$ est une base de $E^*$.
  2. On considère les deux éléments $\phi$ et $\psi$ de $E^*$ définis par, pour tout $P\in E$, $\phi(P)=P(1)$ et $\psi(P)=P'(0)$. Déterminer les coordonnées de chacune des formes $\phi$ et $\psi$ dans la base $(f_0,\dots,f_n)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E$ un $\mathbb R$-espace vectoriel de dimension 3, $(e_1,e_2,e_3)$ une base de $E$. Soient $f_1^*$, $f_2^*$ et $f_3^*$ les formes linéaires sur $E$ définies par $$f_1^*=2e_1^*+e_2^*+e_3^*,\ f_2^*=-e_1^*+2e_3^*,\ f_3^*=e_1^*+3e_2^*.$$ Montrer que $(f_1^*,f_2^*,f_3^*)$ est une base de $E^*$ et déterminer la base $(f_1,f_2,f_3)$ de $E$ dont elle est la base duale.
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Bases duales et polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathbb R_3[X]$. On considère la famille $\mathcal F=\{f_0,f_1,f_2,f_3\}$ d'éléments de $E^*$ définis, pour $j=0,\dots,3$, par $$\forall P\in E,\ f_j(P)=P(j).$$
  1. Montrer que la famille $\mathcal F$ est une base de $E^*$.
  2. Déterminer la base $\mathcal B$ de $E$ dont $\mathcal F$ est la base duale.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Transformations et base duale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n$ et soit $\mathcal B=(e_1,\dots,e_n)$ une base de $E$. On note $\mathcal B'=(f_1,\dots,f_n)$ une base déduite de $\mathcal B$ par une transformation élémentaire (échange de deux vecteurs, multiplication d'un vecteur par un scalaire non-nul, ajout à un vecteur d'un multiple d'un autre vecteur). Exprimer la base duale $(f_1^*,\dots,f_n^*)$ en fonction de la base duale $(e_1^*,\dots,e_n^*)$.
Corrigé
Hyperplans
Exercice 13 - Intersection d'hyperplans et forme linéaire engendrée [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie.
  1. Soit $(f_1,\dots,f_p)$ des formes linéaires indépendantes sur $E$, et $f$ une forme linéaire sur $E$. Démontrer que $$\bigcap_{i=1}^p\ker(f_i)\subset \ker (f)\iff f\in\textrm{vect}(f_1,\dots,f_p).$$
  2. Le résultat subsiste-t-il si les formes linéaires ne sont plus supposées indépendantes?
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Intersection d'hyperplans [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $q$ et $(f_i)_{1\leq i\leq p}$ une famille de $p$ formes linéaires. On rappelle que $f\in\textrm{vect}(f_1,\dots,f_p)$ si et seulement si $$\bigcap_{i=1}^p \ker(f_i)\subset \ker(f).$$
  1. On note $F=\bigcap_{i=1}^p \ker(f_i)$. Montrer que $F$ est de dimension supérieure ou égale à $q-p$, avec égalité si et seulement si les formes linéaires sont indépendantes.
  2. En déduire la dimension de $F$, l'espace vectoriel des matrices carrées de taille $n$ dont la somme de chaque ligne est nulle.
  3. En appliquant le résultat de la première question à $F$ et aux formes linéaires $g_j(M)=\sum_{i=1}^n m_{i,j}$, pour $j=1,\dots,n-1$, en déduire la dimension de l'espace vectoriel des matrices carrées de taille $n$ dont la somme de chaque ligne et la somme de chaque colonne est nulle. Pourquoi ne considère-t-on pas $(g_j)$ pour $j=1,\dots,n$?
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Hyperplans de $\mathcal M_n(\mathbb K)$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soit $\varphi$ une forme linéaire sur $\mathcal M_n(\mathbb K)$. Montrer qu'il existe une matrice $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ tel que, pour tout $M$ de $\mathcal M_n(\mathbb K)$, $\varphi(M)=\textrm{Tr}(AM)$.
  2. En déduire que tout hyperplan de $\mathcal M_n(\mathbb K)$ contient une matrice inversible.
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Espace quotient et hyperplan [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel et $H$ un sous-espace de $E$. Démontrer que si $\dim(E/H)=1$, alors $H$ est un hyperplan de $E$.
Indication
Corrigé