$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Dimension finie : exercices théoriques

Dimension finie et sous-espaces
Enoncé
Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels de $\mathbb R^5$ de dimension 3. Montrer que $F\cap G\neq\{0\}$.
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Autour du théorème des quatre dimensions [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie, $F$ et $G$ deux sevs de $E$. Montrer que deux quelconques des trois propriétés suivantes entraînent la troisième :
  1. $F\cap G=\{0\}$;
  2. $F+G=E$;
  3. $\dim(F)+\dim(G)=\dim(E)$.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Une caractérisation de la dimension [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension $n\geq 1$ et soit $\mathcal S$ l'ensemble des sous-espaces vectoriels de $E$. Soit $d:\mathcal S\to\mathbb N$ vérifiant les propriétés suivantes :
  • Si $F,F'\in\mathcal S$ sont tels que $F\cap F'=\{0\}$, alors $d(F+F')=d(F)+d(F')$;
  • $d(E)=n$.
  1. Soient $F,G\in\mathcal S$ avec $\dim(F)=\dim(G)=1$. Démontrer que $d(F)=d(G)$.
  2. En déduire que, pour tout $F\in\mathcal S$, $d(F)=\dim(F)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient E un espace vectoriel de dimension finie $n$, et $F$, $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$ de même dimension $p<n$. Montrer que $F$ et $G$ ont un supplémentaire commun, c'est-à-dire qu'il existe un sous-espace $H$ de $E$ tel que $F\oplus H=G\oplus H=E$.
Indication
Corrigé
Dimension finie et applications linéaires
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $f\in\mathcal L(E)$. On suppose que, pour tout $x\in E$, il existe un entier $n_x\in\mathbb N$ tel que $f^{n_x}(x)=0.$ Montrer qu'il existe un entier $n$ tel que $f^n=0$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel et $f\in\mathcal L(E)$.
  1. Montrer que $$\ker(f)=\ker(f^2)\iff \textrm{Im}f\cap\ker(f)=\{0\}.$$
  2. On suppose que $E$ est de dimension finie. Montrer que $$\ker(f)=\ker(f^2)\iff \textrm{Im}f\oplus \ker(f)=E\iff \textrm{Im}(f)=\textrm{Im}(f^2).$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie. Montrer qu'il existe $f\in\mathcal L(E)$ tel que $\ker(f)=\textrm{Im}(f)$ si et seulement si $E$ est de dimension paire.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$, $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension $p$, $G$ un sous-espace vectoriel de $E$ de dimension $q$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe un endormorphisme $f$ de $E$ avec $\ker(f)=F$ et $\textrm{Im}(f)=G$.
Indication
Corrigé
Exercice 9 - D'un sous-espace sur un autre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$ et soient $F$, $G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$.
  1. A quelle condition sur $F$ et $G$ existe-t-il un endomorphisme $f$ de $E$ tel que $f(F)=G$.
  2. Quelle(s) condition(s) supplémentaire(s) faut-il imposer pour qu'on peut trouver un tel endomorphisme $f$ qui soit de plus bijectif.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes d'un espace vectoriel $E$ de dimension finie $n$.
  1. Montrer que $$|\textrm{rg}(u)-\textrm{rg}(v)|\leq \textrm{rg}(u+v)\leq \textrm{rg}(u)+\textrm{rg}(v).$$
  2. On suppose que $u\circ v=0$ et que $u+v$ est inversible. Prouver que $\textrm{rg}(u)+\textrm{rg}(v)=n$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $E_0,\dots,E_n$ des espaces vectoriels de dimensions finies respectivement égales à $a_0,\dots,a_n$. On suppose qu'il existe $n$ applications linéaires $f_0,\dots,f_{n-1}$ telles que, pour chaque $k\in\{0,\dots,n-1\}$, $f_k$ est une application linéaire et
  1. $f_0$ est injective;
  2. $\ker(f_k)=\textrm{Im}(f_{k-1})$ pour tout $k=1,\dots,n-1$;
  3. $f_{n-1}$ est surjective.
Prouver que $\sum_{k=0}^n (-1)^k a_k=0$.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Base donnée par un endomorphisme nilpotent [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n$, $f\in\mathcal L(E)$ un opérateur tel que $f^n=0$ et $f^{n-1}\neq 0$.
  1. Soit $x\in E$ tel que $f^{n-1}(x)\neq 0$. Montrer que la famille $(x,f(x),\dots,f^{n-1}(x))$ est une base de $E$.
  2. Soit $g\in\mathcal L(E)$. Montrer que $g$ commute avec $f$ (ie $fg=gf$) si et seulement si $g\in\textrm{vect}(Id,f,\dots,f^{n-1})$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie $n$ et soit $f\in\mathcal L(E)$.
  1. Soit $k\geq 1$. Démontrer que $\ker(f^{k})\subset \ker(f^{k+1})$ et $\textrm{Im}(f^{k+1})\subset \textrm{Im}(f^k).$
    1. Démontrer que si $\ker(f^k)=\ker(f^{k+1})$, alors $\ker(f^{k+1})= \ker(f^{k+2})$.
    2. Démontrer qu'il existe $p\in\mathbb N$ tel que
      • si $k<p$, alors $\ker(f^k)\neq \ker(f^{k+1})$;
      • si $k\geq p$, alors $\ker(f^k)= \ker(f^{k+1})$.
    3. Démontrer que $p\leq n$;
  2. Démontrer que si $k<p$, alors $\textrm{Im}(f^k)\neq \textrm{Im}(f^{k+1})$ et si $k\geq p$, alors $\textrm{Im}(f^k)=\textrm{Im}(f^{k+1})$.
  3. Démontrer que $\ker(f^p)$ et $\textrm{Im}(f^p)$ sont supplémentaire.
  4. Démontrer qu'il existe deux supplémentaires $F$ et $G$ de $E$ tels que $f_{|F}$ est nilpotent et $f_{|G}$ est un automorphisme.
  5. Soit $d_k=\dim\big(\textrm{Im}(f^k)\big)$. Montrer que la suite $(d_k-d_{k+1})$ est décroissante.
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Quand le rang est additif [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $E$ un espace vectoriel de dimension finie et $f,g\in\mathcal L(E)$. Montrer que $$\textrm{rg}(f+g)=\textrm{rg}(f)+\textrm{rg}(g)\iff\left\{ \begin{array}{l} \textrm{Im}(f)\cap\textrm{Im}(g)=\{0\}\\ \ker(f)+\ker(g)=E \end{array}\right.$$
Indication
Corrigé