$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Dimension finie : exercices pratiques

Bases
Enoncé
Les systèmes suivants forment-ils des bases de $\mathbb R^3$?
$S_1=\{ (1,-1,0), (2,-1,2)\};$
$S_2=\{ (1,-1,0), (2,-1,2),(1,0,a)\}$ avec $a$ réel (on discutera suivant la valeur de $a$);
$S_3=\{(1,0,0), (a,b,0), (c,d,e)\}$ avec $a,b,c,d,e$ réels (on discutera suivant leur valeur);
$S_4=\{(1,1,3), (3,4,5), (-2,5,7), (8,-1,9)\}.$
Indication
Corrigé
Enoncé
Montrer que les vecteurs $u_1=(0,1,1)$, $u_2=(1,0,1)$ et $u_3=(1,1,0)$ forment une base de $\mathbb R^3$. Trouver dans cette base les coordonnées du vecteur $u=(1,1,1)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Pour $E=\mathbb R^4$, dire si les familles de vecteurs suivantes peuvent être complétées en une base de $E$. Si oui, le faire.
  1. $(u,v,w)$ avec $u=(1,2,-1,0)$, $v=(0,1,-4,1)$ et $w=(2,5,-6,1)$;
  2. $(u,v,w)$ avec $u=(1,0,2,3)$, $v=(0,1,2,3)$ et $w=(1,2,0,3)$;
  3. $(u,v)$ avec $u=(1,-1,1,-1)$ et $v=(1,1,1,1)$.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Base d'un espace vectoriel [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ l'ensemble des fonctions continues sur $[-1,1]$ qui sont affines sur $[-1,0]$ et sur $[0,1]$. Démontrer que $E$ est un espace vectoriel et en donner une base.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E=\mathbb C_{n-1}[X]$ et soit $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ des nombres complexes deux à deux distincts. On pose, pour $k=1,\dots,n$, $$L_k=\frac{\prod_{\substack{i=1\\i\neq k}}^n (X-\alpha_i)}{\prod_{\substack{i=1\\i\neq k}}^n (\alpha_k-\alpha_i)}.$$ Démontrer que $(L_k)_{k=1,\dots,n}$ est une base de $E$. Déterminer les coordonnées d'un élément $P\in E$ dans cette base.
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Polynômes de Bernstein [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $0\leq k\leq n$, on note $P_k(X)=X^k(1-X)^{n-k}$. Démontrer que la famille $(P_0,\dots,P_n)$ forme une base de $\mathbb R_n[X]$.
Indication
Corrigé
Bases et sous-espaces vectoriels
Exercice 7 - Bases de sous-espaces vectoriels - 1 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $F$ et $G$ les sous-espaces vectoriels de $\mathbb R^3$ définis par : \begin{eqnarray*} F&=&\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ x-2y+z=0\}\\ G&=&\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ 2x-y+2z=0\}. \end{eqnarray*}
  1. Donner une base de $F$, une base de $G$, en déduire leur dimension respective.
  2. Donner une base de $F\cap G$, et donner sa dimension.
  3. Montrer que la famille constituée des vecteurs de la base de $F$ trouvée en 1 et des vecteurs de la base de $G$ trouvée en 2. est une famille génératrice de $\mathbb R^3$. Est-elle libre?
  4. Les espaces $F$ et $G$ sont-ils supplémentaires?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $F$ et $G$ les sous-espaces vectoriels de $\mathbb R^4$ définis par \begin{eqnarray*} F&=&\{(a,b,c,d)\in\mathbb R^4;\ b-2c+d=0\}\\ G&=&\{(a,b,c,d)\in\mathbb R^4;\ a=d\textrm{ et }b=2c\}. \end{eqnarray*} Donner une base de $F$, de $G$ et de $F\cap G$. En déduire que $F+G=\mathbb R^4$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $F$ et $G$ les sous-espaces vectoriels suivants de $\mathbb R^3$ : \begin{eqnarray*} F&=&\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ x-y-2z=0\}\\ G&=&\{(x,y,z)\in\mathbb R^3;\ x=2y=x+z\}. \end{eqnarray*}
  1. Déterminer la dimension de $F$, puis la dimension de $G$.
  2. Calculer $F\cap G$. En déduire que $F$ et $G$ sont supplémentaires.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Sont-ils supplémentaires? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $F,G$ les sous-espaces vectoriels de $\mathbb R^3$ suivants : $$F=\{(a,a,a)\in\mathbb R^3,\ a\in\mathbb R\}\textrm{ et }G=\{(b+c,b,c)\in\mathbb R^3,\ b,c\in\mathbb R\}.$$ Sont-ils supplémentaires?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $F, G$ les sous-espaces vectoriels de $\mathbb R^4$ suivants :
$ F=\{ (x,y,z,t)\in \mathbb R^4 \ \vert \ x+y+z=0 \text{ et } 2x+y+z-t=0 \} $,
$ G = \textrm{vect}\{ (1,-2,1,1),(1,2,-3,1),(5,-3,-2,5)\}\subset \mathbb R^4 $.
  1. Calculer la dimension de $F$.
  2. Montrer que $G\subset F$ et conclure que $G=F$.
  3. Déterminer un supplémentaire de $F$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère dans $\mathbb R^4$ : $$\begin{array}{llll} v_1=(1,2,0,1)&v_2=(1,0,2,1)&v_3=(2,0,4,2)\\ w_1=(1,2,1,0)&w_2=(-1,1,1,1)&w_3=(2,-1,0,1)&w_4=(2,2,2,2). \end{array}$$
  1. Montrer que $(v_1,v_2)$ est libre et que $(v_1,v_2,v_3)$ est liée.
  2. Montrer que $(w_1,w_2,w_3)$ est libre et que $(w_1,w_2,w_3,w_4)$ est liée.
  3. Montrer que $(v_1,v_2,w_1,w_2)$ est libre.
  4. Soit $F$ le sous-espace vectoriel de $\mathbb R^4$ engendré par $(v_1,v_2,v_3)$.
    1. Déterminer une base de $F$.
    2. Donner un supplémentaire de $F$.
  5. Soit $G$ le sous-espace vectoriel engendré par $(w_1,w_2,w_3,w_4)$. Déterminer une base de $G$.
    1. A l'aide des bases trouvées en 4. et 5. construire un système générateur de $F+G$.
    2. En déduire que $F+G=\mathbb R^4$.
    1. Montrer que $v_1+v_2$ est dans $F\cap G$.
    2. Calculer la dimension de $F\cap G$.
    3. Donner une base de $F\cap G$.
  6. $F$ et $G$ sont-ils supplémentaires?
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère dans $\mathbb R^4$ : $$\begin{array}{llll} v_1=(1,3,-2,2)&v_2=(2,7,-5,6)&v_3=(1,2,-1,0)\\ w_1=(1,3,0,2)&w_2=(2,7,-3,6)&w_3=(1,1,6,-2). \end{array}$$ Soit $F$ le sous-espace vectoriel de $\mathbb R^4$ engendré par $(v_1,v_2,v_3)$ et $G$ celui engendré par $(w_1,w_2,w_3)$.
  1. Montrer que $v_3$ est une combinaison linéaire de $v_1$ et $v_2$. En déduire une base de $F$.
  2. Montrer que $w_3$ est une combinaison linéaire de $w_1$ et $w_2$. En déduire une base de $G$.
  3. Montrer que $(v_1,v_2,w_1,w_2)$ est liée. En déduire une base de $F+G$.
  4. Soit $E=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb R^4;\ 4x_1-2x_2+x_4=0\}$. Donner une base de $E$.
  5. Montrer que $F+G=E$. La somme est-elle directe? Quelle est la dimension de $F\cap G$?
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère la partie $F$ de $\mathbb R^4$ définie par $$F=\{(x,y,z,t)\in\mathbb R^4;\ x+y=0\textrm{ et }x+z=0\}.$$
  1. Donner une base de $F$.
  2. Compléter la base trouvée en une base de $\mathbb R^4$.
  3. On pose $u_1=(1,1,1,1)$, $u_2=(1,2,3,4)$ et $u_3=(-1,0,-1,0)$. La famille $(u_1,u_2,u_3)$ est-elle libre?
  4. On pose $G$ l'espace vectoriel engendré par les vecteurs $u_1$, $u_2$ et $u_3$. Quelle est la dimension de $G$?
  5. Donner une base de $F\cap G$.
  6. En déduire que $F+G=\mathbb R^4$.
  7. Est-ce qu'un vecteur de $\mathbb R^4$ s'écrit de façon unique comme somme d'un vecteur de $F$ et d'un vecteur de $G$?
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Base d'un sous-espace de polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $F=\{P\in\mathbb R_n[X];\ P(\alpha)=0\}$. Démontrer que $\mathcal B=\{(X-\alpha)X^k;\ 0\leq k\leq n-1\}$ est une base de $F$. Quelle est la dimension de $F$? Donner les coordonnées de $(X-\alpha)^n$ dans cette base.
Indication
Corrigé
Enoncé
Démontrer que l'ensemble des suites arithmétiques complexes est un espace vectoriel. Quelle est sa dimension?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E=\mathbb R_4[X]$ et $a$, $b$ deux réels distincts. On désigne par $F$ l'ensemble des polynômes de $E$ dont $a$ et $b$ sont racines. Montrer que $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$. En donner une base.
Indication
Corrigé
Applications linéaires sur $\mathbb R^n$
Enoncé
On considère l'application linéaire $f$ de $\mathbb R^3$ dans $\mathbb R^4$ définie par $$f(x,y,z)=(x+z,y-x,z+y,x+y+2z).$$
  1. Déterminer une base de $\textrm{Im}(f)$.
  2. Déterminer une base de $\ker(f)$.
  3. L'application $f$ est-elle injective? surjective?
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Application linéaire donnée par l'image d'une base [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathbb R^3$. On note ${\cal B}=\{e_1,e_2,e_3\}$ la base canonique de $E$ et $u$ l'endomorphisme de $\mathbb R^3$ défini par la donnée des images des vecteurs de la base : $$u(e_1) = -2e_1 +2e_3 \; , u(e_2)=3e_2 \; , u(e_3)=-4e_1 + 4e_3.$$
  1. Déterminer une base de $\ker~u$. $u$ est-il injectif? peut-il être surjectif? Pourquoi?
  2. Déterminer une base de $\textrm{Im}~u$. Quel est le rang de u ?
  3. Montrer que $E=\ker~u\bigoplus \textrm{Im}~u$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère dans $\mathbb R^2$ les trois vecteurs $u=(1,1)$, $v=(2,-1)$ et $w=(1,4)$.
  1. Démontrer que $(u,v)$ est une base de $\mathbb R^2$.
  2. Pour quelle(s) valeur(s) du réel $a$ existe-t-il une application linéaire $f:\mathbb R^2\to \mathbb R^2$ telle que $f(u)=(2,1)$, $f(v)=(1,-1)$ et $f(w)=(5,a)$?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E=\mathbb R^4$ et $F=\mathbb R^2$. On considère $H=\{(x,y,z,t)\in\mathbb R^4;\ x=y=z=t\}$. Existe-t-il des applications linéaires de $E$ dans $F$ dont le noyau est $H$?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E$ le sous-espace vectoriel de $\mathbb R^3$ engendré par les vecteurs $u=(1,0,0)$ et $v=(1,1,1)$. Trouver un endomorphisme $f$ de $\mathbb R^3$ dont le noyau est $E$.
Indication
Corrigé
Exercice 23 - Application linéaire à contraintes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Montrer qu'il existe un unique endomorphisme $f$ de $\mathbb R^4$ tel que, si $(e_1,e_2,e_3,e_4)$ désigne la base canonique, alors on a
  1. $f(e_1)=e_1-e_2+e_3$ et $f(2e_1+3e_4)=e_2$.
  2. $\ker(f)=\{(x,y,z,t)\in\mathbb R^4,\ x+2y+z=0\textrm{ et }x+3y-t=0\}.$
Indication
Corrigé
Applications linéaires sur d'autres espaces de dimension finie
Exercice 24 - Applications linéaires dans un espace de polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathbb R_3[X]$ l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à 3. On définit $u$ l'application de $E$ dans lui-même par $$u(P)=P+(1-X)P'.$$
  1. Montrer que $u$ est un endomorphisme de $E$.
  2. Déterminer une base de $\textrm{Im}(u)$.
  3. Déterminer une base de $\ker(u)$.
  4. Montrer que $\ker(u)$ et $\textrm{Im}(u)$ sont deux sous-espaces vectoriels supplémentaires de $E$.
Indication
Corrigé
Exercice 25 - Différence de polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 1$, $E=\mathbb R_n[X]$ et $\phi\in\mathcal L(E)$ défini par $\phi(P)=P(X+1)-P(X)$. Déterminer le noyau et l'image de $\phi$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E=\mathbb R_n[X]$ et soit $f$ l'application définie sur $E$ par $f(P)=P(X+1)+P(X-1)-2P(X)$.
  1. Vérifier que $f$ est un endomorphisme de $E$.
  2. Quel est le degré de $f(X^p)$? En déduire $\ker(f)$ et $\textrm{Im}(f)$.
  3. Soit $Q$ un polynôme de $\textrm{Im} f$. Démontrer qu'il existe un unique polynôme $P$ tel que $f(P)=Q$ et $P(0)=P'(0)=0$.
Indication
Corrigé
Exercice 27 - Polynôme somme de polynômes dérivés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que, pour tout $n\geq 0$, pour tout $P\in\mathbb R_n[X]$, il existe un unique $Q\in\mathbb R_n[X]$ tel que $P=\sum_{k=0}^n Q^{(k)}$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E=\mathbb R_n[X]$ et soient $A,B$ deux polynômes de degré $n+1$. On définit l'application $\phi:E\to E$ qui à un polynôme $P$ associe le reste de $AP$ dans la division euclidienne par $B$.
  1. Démontrer que $\phi$ est linéaire;
  2. Démontrer que $\phi$ est bijective si et seulement si $A$ et $B$ sont premiers entre eux.
Indication
Corrigé
Exercice 29 - Application aux polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le but de cet exercice est l'étude de l'application $\Delta$ définie sur $\mtr[X]$ par $(\Delta P)(X)=P(X+1)-P(X)$.
  1. Question préliminaire : Soit $(P_n)$ une famille de $\mtr[X]$ telle que pour chaque $n$, $\deg(P_n)=n$. Prouver que $(P_n)$ est une base de $\mtr[X]$.
  2. Montrer que $\Delta$ est une application linéaire. Calculer son noyau et son image.
  3. Montrer qu'il existe une unique famille $(H_n)_{n\in\mtn}$ de $\mtr[X]$ telle que $H_0=1$, $\Delta(H_n)=H_{n-1}$, et $H_n(0)=0$. Montrer que $(H_n)$ est une base de $\mtr[X]$.
  4. Soit $P\in\mtr_p[X]$. Montrer que $P$ peut s'écrire $$P=\sum_{n=0}^p (\Delta^nP)(0)H_n.$$
  5. Montrer que l'on a $(\Delta^n P)(0)=\sum_{k=0}^n (-1)^{n-k}\binom nk P(k)$.
  6. Montrer que pour tout $n$, $H_n=\frac{X(X-1)\dots (X-n+1)}{n!}$.
  7. En déduire que, pour tout polynôme $P$ de degré $p$, les assertions suivantes sont équivalentes :
    1. $P$ prend des valeurs entières sur $\mtz$.
    2. $P$ prend des valeurs entières sur $\{0,\dots,p\}$.
    3. Les coordonnées de $P$ dans la base $(H_n)$ sont des entiers.
    4. $P$ prend des valeurs entières sur $p+1$ entiers consécutifs.
Indication
Corrigé