$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Déterminants

Enoncé
  1. Calculer le déterminant suivant : $$\left|\begin{array}{cccc} 1&1&1&1\\ 1&-1&1&1\\ 1&1&-1&1\\ 1&1&1&-1 \end{array}\right|.$$
  2. Soit $E$ un $\mathbb R$-espace vectoriel et $f\in\mathcal L(E)$ tel que $f^2=-Id_E$. Que dire de la dimension de $E$?
Indication
Corrigé
Petits calculs
Exercice 2 - Divisible sans calculs! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Montrer, sans le calculer, que le déterminant suivant est divisible par 13 : $$\left| \begin{array}{ccc} 5&2&1\\ 4&7&6\\ 6&3&9\\ \end{array} \right|.$$
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Calcul sans développer [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Montrer que $D=\left| \begin{array}{ccc} 1+a & a & a \\ b & 1+b & b \\ c & c & 1+c \end{array} \right| =1+a+b+c$ sans le développer.
Indication
Corrigé
Enoncé
Calculer en mettant en évidence la factorisation le déterminant suivant : $$D=\left|\begin{array}{ccc} 1&\cos a&\cos 2a\\ 1&\cos b&\cos 2b\\ 1&\cos c&\cos 2c \end{array} \right|.$$
Indication
Corrigé
Grands calculs
Enoncé
Soit $\Delta_n$ le déterminant de taille $n$ suivant : $$\Delta_n=\left| \begin{array}{ccccc} 3&1&0&\dots&0\\ 2&3&1&\ddots&\vdots\\ 0&2&3&\ddots&0\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&1\\ 0&\dots&0&2&3 \end{array}\right|.$$
  1. Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, on a $\Delta_{n+2}=3\Delta_{n+1}-2\Delta_n$.
  2. En déduire la valeur de $\Delta_n$ pour tout $n\geq 1$.
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Déterminant de Vandermonde [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 2$ et $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ $n$ nombres complexes distincts. On se propose de calculer le déterminant suivant : $$ V(\alpha_1,\dots,\alpha_n)=\left| \begin{array}{ccccc} 1&1&\dots&\dots&1\\ \alpha_1&\alpha_2&\dots&\dots&\alpha_n\\ \alpha_1^2&\alpha_2^2&\dots&\dots&\alpha_n^2\\ \vdots&\vdots&&&\vdots\\ \alpha_1^{n-1}&\alpha_2^{n-1}&\dots&\dots&\alpha_n^{n-1} \end{array}\right|.$$
  1. Calculer $V(\alpha_1,\alpha_2)$ et $V(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$. On les donnera sous forme factorisée.
  2. Démontrer que $V(\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1},x)$ est une fonction polynômiale de $x$ dont on précisera le degré.
  3. En déduire que $V(\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1},x)=V(\alpha_1,\dots,\alpha_{n-1})\prod_{i=1}^{n-1}(x-\alpha_i)$.
  4. En déduire l'expression générale de $V(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Calcul à l'aide d'une fonction affine [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A=(a_{i,j})\in M_n(\mathbb R)$. On note $A(x)$ la matrice dont le terme général est $a_{i,j}+x$.
  1. Montrer que la fonction $x\mapsto \det(A(x))$ est une fonction polynômiale de degré inférieur ou égal à 1.
  2. Pour $a$ et $b$ deux réels distincts et $\alpha_1,\dots,\alpha_n\in\mathbb R$, en déduire la valeur du déterminant suivant $$\left| \begin{array}{cccc} \alpha_1&a&\dots&a\\ b&\alpha_2&\ddots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&a\\ b&\dots&b&\alpha_n \end{array}\right|.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $s_1,\dots,s_n\in\mathbb R$. Calculer le déterminant suivant : $$ \left| \begin{array}{cccc} s_1&\dots&\dots&s_1\\ \vdots&s_2&\dots&s_2\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ s_1&s_2&\dots&s_n \end{array}\right|.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $a,b,c$ des réels et $\Delta_n$ le déterminant de la matrice $n\times n$ suivant : $$\Delta_n=\left|\begin{array}{ccccc} a&b&0&\dots&0\\ c&a&b&\ddots&\vdots\\ 0&\ddots&\ddots&\ddots&0\\ \vdots&\ddots&\ddots&\ddots&b\\ 0&\dots&0&c&a \end{array}\right|.$$
  1. Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, on a $\Delta_{n+2}=a\Delta_{n+1}-bc\Delta_n.$
  2. On suppose que $a^2=4bc$. Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, on a $\Delta_n=\frac{(n+1)a^n}{2^n}$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ et soit $B=(b_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ définie par $b_{i,j}=(-1)^{i+j}a_{i,j}$. Calculer $\det(B)$ en fonction de $\det(A)$.
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Déterminant tridiagonal [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $x\in\mathbb R$. Calculer $$\left| \begin{array}{ccccc} 1+x^2&-x&0&\dots&0\\ -x&1+x^2&-x&\ddots&\vdots\\ 0&\ddots&\ddots&\ddots&0\\ \vdots&\ddots&-x&1+x^2&-x\\ 0&\dots&0&-x&1+x^2 \end{array} \right|. $$
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Avec des coefficients binomiaux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $n\geq 1$, $p\geq 0$. Calculer le déterminant suivant : $$\left| \begin{array}{cccc} \binom{n}0&\binom n1&\dots&\binom np\\ \binom{n+1}0&\binom{n+1}1&\dots&\binom{n+1}p\\ \vdots&\vdots&&\vdots\\ \binom{n+p}0&\binom{n+p}1&\dots&\binom{n+p}p \end{array} \right|. $$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n$ des complexes. Déterminer la valeur du déterminant suivant : $$\left|\begin{array}{cccc} 1+x_1y_1&x_1y_2&\dots&x_1y_n\\ x_2y_1&1+x_2y_2&\dots&x_2y_n\\ \vdots&\dots&\ddots&\vdots\\ x_ny_1&\dots&\dots&1+x_ny_n \end{array}\right|.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Calculer le déterminant de la matrice $(i^j)_{1\leq i\leq n,1\leq j\leq n}$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $a_0,\dots,a_{n-1}$ $n$ nombres complexes et soit $$A=\left( \begin{array}{ccccc} 0&\dots&\dots&0&a_0\\ 1&\ddots&&\vdots&a_1\\ 0&\ddots&\ddots&\vdots&\vdots\\ \vdots&\ddots&\ddots&0&\vdots\\ 0&\dots&0&1&a_{n-1} \end{array}\right).$$ Calculer $\det(A-xI_n)$.
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Déterminant circulant [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $a_1,\dots,a_n$ des nombres complexes, $\omega=e^{2i\pi/n}$, et $A$ et $M$ les matrices suivantes : $$A=\left( \begin{array}{ccccc} a_1&a_2&a_3&\dots&a_n\\ a_2&a_3&a_4&\dots&a_1\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ a_n&a_1&\dots&\dots&a_{n-1} \end{array}\right),$$ $$M=\left( \begin{array}{ccccc} 1&1&\dots&\dots&1\\ 1&\omega&\omega^2&\dots&\omega^{n-1}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ 1&\omega^{n-1}&\omega^{2(n-1)}&\dots&\omega^{(n-1)(n-1)} \end{array} \right).$$ Calculer $\det(AM)$ et en déduire $\det(A)$.
Indication
Corrigé
Déterminants d'applications linéaires
Enoncé
Soit $u\in\mathcal L(\mathbb R_n[X])$. Calculer $\det(u)$ dans chacun des cas suivants :
  1. $u(P)=P+P'$;
  2. $u(P)=P(X+1)-P(X)$;
  3. $u(P)=XP'+P(1)$.
Indication
Corrigé
Exercice 18 - Produit de deux matrices [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $n$ et $p$ des entiers avec $p<n$. Soit $A\in\mcm_{n,p}(\mtr)$ et $B\in\mcm_{p,n}(\mtr)$. Calculer le déterminant de $AB$.
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Déterminant de la transposition [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\phi$ l'endomorphisme de $\mnr$ défini par $\phi(A)=\!\ ^tA$. Calculer le déterminant de $\phi$.
Indication
Corrigé
Formule de Cramer et comatrice
Exercice 20 - Inversibilité dans $\mathcal M_n(\mathbb Z)$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $M\in \mathcal M_n(\mathbb Z)$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $M$ soit inversible et que $M^{-1}$ soit dans $\mathcal M_n(\mathbb Z)$.
Indication
Corrigé
Exercice 21 - Rang de la comatrice et applications [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A\in\mcmnr$.
  1. Discuter le rang de $\comat A$ en fonction du rang de $A$.
  2. Résoudre, pour $n\geq 3$, l'équation $\comat A=A$.
Indication
Corrigé
Applications
Enoncé
Pour $\alpha\in\mathbb R$, on considère $$M_\alpha=\left(\begin{array}{ccc} 1&3&\alpha\\ 2&-1&1\\ -1&1&0 \end{array} \right).$$ Déterminer les valeurs de $\alpha$ pour lesquelles l'application linéaire associée à $M_\alpha$ est bijective.
Indication
Corrigé
Exercice 23 - Inversibilité d'une matrice à paramètres [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Étudier, suivant la valeur du paramètre $a\in\mathbb R$ ou $m\in\mathbb R$, l'inversibilité des matrices suivantes : $$A=\left(\begin{array}{cccc} a&-1&0&-1\\ -1&a&-1&0\\ 0&-1&a&-1\\ -1&0&-1&a \end{array}\right)\textrm{ et }B=\left(\begin{array}{cccc} 0&m&m&m^2-m\\ 1&m-1&2m-1&m^2-m\\ 0&m&m&0\\ 1&m&3m-1&0 \end{array}\right).$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit dans $\mathbb R^3$ la famille de vecteurs $(e_1,e_2,e_3)$, avec $e_1=(1,1,t)$, $e_2=(1,t,1)$ et $e_3=(t,1,1)$. Dire pour quelles valeurs de $t$ la famille $(e_1,e_2,e_3)$ est libre.
Indication
Corrigé
Exercice 25 - A quelle condition la famille est-elle libre? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel, $(u_i)_{1\leq i\leq n}$ une famille libre de $E$ et $(\alpha_i)_{1\leq i\leq n}$ une famille de scalaires. On note $s=\sum_{i=1}^n \alpha_i u_i$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $(\alpha_i)_{1\leq i\leq n}$ pour que $(u_i+s)_{1\leq i\leq n}$ soit libre.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $(z_0,\dots,z_{n})$ des nombres complexes deux à deux distincts. Montrer que la famille $$\big( (X-z_0)^n,(X-z_1)^n,\dots,(X-z_n)^n\big)$$ est une base de $\mathbb C_n[X]$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $A,B\in M_n(\mathbb R)$. On suppose que $A$ et $B$ sont semblables sur $\mathbb C$, ie qu'il existe $P\in Gl_n(\mathbb C)$ tel que $A=PBP^{-1}$. Montrer que $A$ et $B$ sont semblables sur $\mathbb R$.
Indication
Corrigé
Exercice 28 - Densité des matrices inversibles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A$ une matrice carrée d'ordre $n$ à coefficients complexes. Montrer : $$\exists \alpha>0,\ \forall\veps\in\mtr,\ 0<|\veps|<\alpha,\ A+\veps I_n \textrm{ est inversible.}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $P$ et $Q$ des polynômes de $\mtc[X]$ non constants.
  1. Montrer que $P$ et $Q$ ont un facteur commun si, et seulement si, il existe $A,B\in\mtc[X]$, $A\neq 0$, $B\neq 0$, tels que $AP=BQ$ et $\deg(A)<\deg(Q)$, $\deg(B)<\deg(P)$.
  2. En déduire une caractérisation de la primalité de $P$ et $Q$ par la non-nullité d'un déterminant.
Indication
Corrigé
Exercice 30 - Indépendance de fonctions [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $X$ un ensemble et soient $f_1,\dots,f_n$ $n$ fonctions de $X$ dans $\mathbb K$, formant un système libre dans l'espace vectoriel $E$ des fonctions de $X$ dans $\mathbb K$. Démontrer qu'il existe $n$ points $x_1,\dots,x_n\in X$ tels que la matrice $(f_i(x_j))_{1\leq i,j\leq n}$ soit inversible.
Indication
Corrigé
Divers
Exercice 31 - Morphismes de groupes de $\glnk$ dans $\mtk^*$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\mtk$ un corps infini, $\phi:\glnk\to\mtk^*$ un morphisme de groupes, $\phi(M)$ s'exprimant comme un polynôme des coefficients de $M$. Montrer que $\phi$ est une puissance du déterminant.
Indication
Corrigé