$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Exercices corrigés - Matrices orthogonales, endomorphismes orthogonaux

Généralités sur les matrices orthogonales
Exercice 1 - Matrices orthogonales triangulaires supérieures [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Quelles sont les matrices orthogonales triangulaires supérieures?
Indication
Corrigé
Exercice 2 - CNS pour que la matrice soit orthogonale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $(a,b,c)\in\mathbb R^3$, on pose $S=a+b+c$ et $\sigma=ab+bc+ca$, et $$M=\left(\begin{array}{ccc} a&b&c\\ c&a&b\\ b&c&a \end{array}\right).$$
  1. Démontrer que $M\in O_3(\mathbb R)$ si et seulement $\sigma=0$ et $S=\pm 1$.
  2. Démontrer que $M\in SO_3(\mathbb R)$ si et seulement si $\sigma=0$ et $S=1$.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Une symétrie orthogonale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathbb R_3[X]$ muni du produit scalaire $\langle P,Q\rangle =\int_{-1}^1 P(t)Q(t)dt$. On considère l'endorphisme de $E$ défini par $\phi(P)(X)=P(-X)$. Démontrer que $\phi$ est une symétrie orthogonale.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Une symétrie orthogonale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien, et $a\in E\backslash\{0\}$. On pose $$s_a(x)=x-2\frac{(a,x)}{(a,a)}a,$$ Montrer $s_a$ est un endomorphisme orthogonal. Calculer $\ker(s_a-id)$, $\ker(s_a+id)$. Décrire alors géométriquement $s_a$.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Sur les coefficients d'une matrice orthogonale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $M=(m_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\mathcal O_n(\mathbb R)$. On note $(C_1,\dots,C_n)$ les vecteurs colonnes de $M$, $v=\sum_{j=1}^n C_j$, et $u=\sum_{j=1}^n e_j$, où $(e_1,\dots,e_n)$ est la base canonique de $\mtr^n$ muni de son produit scalaire canonique.
  1. Montrer que $\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n m_{i,j}=(u|v).$
  2. En déduire que $\left|\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n m_{i,j}\right|\leq n$. Cette inégalité est-elle optimale?
  3. Démontrer que $\sum_{1\leq i,j\leq n}|m_{i,j}|\leq n^{3/2}.$
  4. Démontrer que $\sum_{1\leq i,j\leq n}|m_{i,j}|\geq n.$
Indication
Corrigé
Enoncé
  1. Soit $\mathcal B$ une base d'un espace euclidien $E$ et soit $\mathcal C$ l'orthonormalisée de Schmidt de $\mathcal B$. Que dire de la matrice de passage de $\mathcal C$ à $\mathcal B$?
  2. Montrer que, pour toute matrice $A\in GL_n(\mathbb R)$, il existe une matrice orthogonale $Q$ et une matrice triangulaire supérieure $R$ dont tous les coefficients diagonaux sont strictement positifs telles que $A=QR$.
  3. Démontrer que le couple $(Q,R)$ est unique.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Endomorphismes orthogonaux et orthogonal d'un sous-espace vectoriel [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien, soit $u\in\mathcal O(E)$ et soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$.
  1. Démontrer que $u(F^\perp)=\big[ u(F)\big]^\perp$.
  2. On dit que $F$ est stable par $u$ si $u(F)\subset F$. Démontrer que $F$ est stable par $u$ si et seulement si $F^\perp$ est stable par $u$.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Si on enlève la linéarité.... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien et soit $f:E\to E$ une application telle que $$\forall x,y\in E,\ \langle f(x),f(y)\rangle=\langle x,y\rangle.$$
  1. Démontrer que l'image d'une base orthonormale de $E$ par $f$ est une base orthonormale.
  2. En déduire que $f$ est linéaire.
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Somme et projection orthogonale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien et soit $u\in O(E)$. On pose $v=u-Id$.
  1. Démontrer que $\ker(v)=(\textrm{Im}v)^\perp$. En déduire que $\ker(v)^\perp=\textrm{Im}(v)$.
  2. Soit $$u_n=\frac 1n\sum_{k=0}^{n-1}u^k.$$ Démontrer que pour tout $x\in E$, $(u_n(x))$ converge vers le projeté orthogonal de $x$ sur $\ker v$.
Indication
Corrigé
En dimension 2
Exercice 10 - Echange de deux vecteurs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un plan vectoriel euclidien orienté, et soient $u$ et $v$ deux vecteurs unitaires de $E$. Déterminer les automorphismes orthogonaux qui envoient $u$ sur $v$.
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Rotations et symétries qui commutent [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $E$ un plan euclidien orienté, $r$ une rotation de $E$ et $s$ une symétrie de $E$.
  1. Déterminer l'automorphisme orthogonal $s\circ r\circ s$.
  2. Déterminer l'automorphisme orthogonal $r\circ s\circ r$.
  3. A quelle condition a-t-on $s\circ r=r\circ s$?
Indication
Corrigé
En dimension 3
Exercice 12 - Orthogonale et symétrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère la matrice $M=\frac{1}9\begin{pmatrix}1&8&-4\\8&1&4\\-4&4&7\end{pmatrix}$. Vérifier que $M$ est une matrice orthogonale et symétrique. Sans calculer son polynôme caractéristique, justifier que $M$ est diagonalisable, déterminer ses valeurs propres avec multiplicité, et calculer son polynôme minimal.
Indication
Corrigé
Enoncé
Caractériser géométriquement l'endomorphisme de $\mathbb R^3$ canoniquement associé à $$A=\frac 19 \left( \begin{array}{ccc} -8&4&1\\ 4&7&4\\ 1&4&-8 \end{array}\right).$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Caractériser l'endomorphisme $f$ de $\mathbb R^3$ dont la matrice dans la base canonique est $$A=\frac 13\left( \begin{array}{ccc} 2&-1&2\\ 2&2&-1\\ -1&2&2 \end{array}\right).$$
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Déterminer la matrice d'une rotation [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
L'espace $\mathbb R^3$ est muni de sa structure canonique usuelle d'espace euclidien orienté. La base canonique est noté $(\vec i,\vec j,\vec k)$. Le vecteur $(1,1,1)=\vec i+\vec j+\vec k$ est noté $\vec v$. Dans cet exercice, on souhaite calculer la matrice $M$ dans la base canonique de la rotation $r$ d'axe $\mathbb R\vec v$ et d'angle $2\pi/3$.
  1. Méthode 1 : en étudiant la restriction de $r$ au plan affine $P$ d'équation $x+y+z=1$, déterminer la matrice $M$.
  2. Méthode 2 : En utilisant la matrice de $r$ dans une base orthonormée directe donc le premier vecteur est le vecteur $\frac 1{\sqrt 3}\vec v$, déterminer $M$.
Indication
Corrigé
Exercice 16 - CNS pour avoir une matrice de rotation [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer les réels $a,b,c,d,e$ tels que la matrice $$A=\left(\begin{array}{ccc} \frac{1}{\sqrt 2}&\frac{1}{\sqrt 3}&c\\ a&\frac{1}{\sqrt 3}&d\\ \frac{1}{\sqrt 2}&b&e \end{array}\right)$$ représente une rotation de $\mathbb R^3$.
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Endomorphisme orthogonal négatif [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel de dimension 3, et soit $f\in O^-(E)$. Démontrer que $f$ est la composée d'une rotation d'axe une droite $D$ et de la réflexion par rapport à $D^\perp$.
Indication
Corrigé
Exercice 18 - Sous-groupe de $S0_3(\mathbb R)$ agissant transitivement [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien de dimension 3, $\mathcal S$ sa sphère unité. Si $D$ est une droite vectorielle de $E$, on note $\sigma_D$ la rotation d’angle $\pi$ autour de $D$ (appelée aussi demi-tour). Par conséquent, $\sigma_D$ appartient au groupe spécial orthogonal $SO(E)$, dont on rappelle qu'il est engendré par les demi-tours.
  1. Soit $D$ une droite vectorielle, $g$ dans $SO(E)$. Reconnaître l’endomorphisme $g \circ \sigma_D \circ g^{-1}$.
  2. Soit $g\in SO(E)$. Montrer que $g$ est un demi-tour si et seulement s'il existe $x\in \mathcal S$ tel que $g(x)=-x$.
    Dans les deux questions suivantes, on se donne un sous-groupe $G$ de $SO(E)$ agissant transitivement sur $\mathcal S$ c’est-à-dire : $$\forall (x, y) ∈ \mathcal S^2, \exists g \in G, g(x) = y.$$
  3. Montrer que $G$ contient un demi-tour.
  4. En déduire que $G = SO(E)$.
Indication
Corrigé
Avec la réduction
Exercice 19 - Endomorphisme orthogonal diagonalisable [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien et soit $u\in\mathcal O(E)$ diagonalisable. Démontrer que $u$ est une symétrie.
Indication
Corrigé
Exercice 20 - Convergence de suites de matrices orthogonales [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A\in O_n(\mathbb R)$ dont $1$ n'est pas valeur propre.
  1. Étudier la convergence de la suite $\frac 1{p+1}(I_p+A+\dots+A^p)$.
  2. La suite $(A^p)$ est-elle convergente?
Indication
Corrigé
Exercice 21 - Produit de réflexions [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soit $u$ une rotation du plan euclidien orienté. Démontrer que $u$ est le produit de deux réflexions.
  2. Soit $u$ un endomorphisme orthogonal d'un espace vectoriel euclidien orienté. Démontrer que $u$ est le produit de réflexions.
On rappelle qu'une réflexion est une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan.
Indication
Corrigé