$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Exercices corrigés - Formes quadratiques

Exemples et propriétés générales
Exercice 1 - Décomposition en somme de carrés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Décomposer les formes quadratiques suivantes en sommes de carrés. En déduire si elles sont positives.
  1. $q(x,y,z)=x^2+y^2+2z(x\cos\alpha+y\sin\alpha)$;
  2. $q(x,y,z,t)=x^2+3y^2+4z^2+t^2+2xy+xt+yt$;
Corrigé
Exercice 2 - Matrice d'une forme bilinéaire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\varphi:\mathcal{M}_2(\mtr)\times\mathcal{M}_2(\mtr)\to \mtr,\ (A,B)\mapsto \textrm{Tr}(\ ^t\!AB)$. Vérifier que $\varphi$ est une application bilinéaire. Quelle est sa matrice dans la "base canonique" de $\mathcal{M}_2(\mtr)$?
Indication
Corrigé
Enoncé
Discuter, suivant la valeur du nombre réel a, le rang et la signature de la forme quadratique $q_a$ définie par : $$q_a(x)=x_1^2+(1+a)x_2^2+(1+a+a^2)x_3^2+2x_1x_2-2ax_2x_3.$$
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Formes quadratiques définies par la trace [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\phi_1$ et $\phi_2$ définies sur $\mcm_n(\mtr)$ par $\phi_1(A)=(Tr(A))^2$ et $\phi_2(A)=Tr(^t\!AA)$. Montrer que $\phi_1$ et $\phi_2$ sont des formes quadratiques. Sont-elles positives? définies positives?
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Formes quadratiques définies [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\phi$ une forme quadratique sur $E$, que l'on suppose définie. Montrer que $\phi$ est soit définie négative, soit définie positive.
Indication
Corrigé
Enoncé
On définit $\phi$ sur $\mtc_n[X]\times\mtc_n[X]$ par $\phi(P,Q)=\int_{-1}^1 \overline{P(x)}Q(-x)dx$. Vérifier que $\phi$ est une forme hermitienne. Est-elle positive? négative? définie?
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Formes quadratiques de trace nulle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien de dimension $n$. Si $q$ est une forme quadratique sur $E$, on appelle \emph{trace} de $q$ la trace de toute matrice de $q$ dans une base orthonormée.
  1. Montrer que cette définition a bien un sens.
    On souhaite démontrer que la trace de $q$ est nulle si et seulement s'il existe une base orthonormée $(e_1,\dots,e_n)$ de $E$ telle que $q(e_i)=0$ pour tout $i$ de $\{1,\dots,n\}$.
  2. Montrer l'implication réciproque.
  3. On suppose que la trace de $q$ est nulle.
    1. Trouver un vecteur $e_1$ de norme 1 de l'espace tel que $q(e_1)=0$.
    2. En déduire la propriété voulue.
Indication
Corrigé
Applications
Enoncé
Soit $q(x,y)=x^2+xy+y^2$ et $N=\sqrt{q}$. Montrer que $N$ définit une norme sur $\mathbb R^2$. Calculer le plus petit nombre $C>0$ et le plus grand nombre $c>0$ tels que $c\|.\|_2\leq N\leq C\|.\|_2$. Dessiner la boule unité pour cette norme.
Indication
Corrigé