$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Exercices corrigés - Espaces préhilbertiens, espaces euclidiens

Produit scalaire, orthogonalité
Exercice 1 - Produit scalaire et matrices [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb R)$, on définit $$\langle A,B\rangle=\textrm{tr}(A^T B).$$
  1. Démontrer que cette formule définit un produit scalaire sur $\mathcal M_n(\mathbb R)$.
  2. En déduire que, pour tous $A,B\in\mathcal S_n(\mathbb R)$, on a $$\big(\textrm{tr}(AB))^2\leq \textrm{tr}(A^2)\textrm{tr}(B^2).$$
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Des exemples de produit scalaire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que les formules suivantes définissent des produits scalaires sur l'espace vectoriel associé :
  1. $\langle f,g\rangle=f(0)g(0)+\int_0^1 f'(t)g'(t)dt$ sur $E=\mathcal C^1([0,1],\mathbb R)$;
  2. $\langle f,g\rangle=\int_a^b f(t)g(t)w(t)dt$ sur $E=\mathcal C([a,b],\mathbb R)$ où $w\in E$ satisfait $w>0$ sur $]a,b[$.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - CNS pour avoir un produit scalaire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $E$ un espace préhilbertien réel, $a\in E$ un vecteur unitaire et $k\in\mathbb R$. On définit $\phi:E\times E\to\mathbb R$ par $$\phi(x,y)=\langle x,y\rangle+k\langle x,a\rangle\langle y,a\rangle.$$ Déterminer une condition nécessaire et suffisante sur $k$ pour que $\phi$ soit un produit scalaire.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - CNS pour avoir un produit scalaire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $a,b,c,d\in\mathbb R$. Pour $u=(x,y)$ et $v=(x',y')$, on pose $$\phi(u,v)=axx'+bxy'+cx'y+dyy'.$$ Déterminer une condition nécessaire sur $a,b,c,d$ pour que $\phi$ définisse un produit scalaire sur $\mathbb R^2$.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Un produit scalaire sur les fonctions continues [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathcal C([0,1])$ l'ensemble des fonctions continues de $[0,1]$ dans $\mathbb R$, et soit $a=(a_n)$ une suite de $[0,1]$. On pose, pour $f,g\in E$, $$\phi(f,g)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac1{2^n}f(a_n)g(a_n).$$ Donner une condition nécessaire et suffisante sur $a$ pour que $\phi$ définisse un produit scalaire sur $E$.
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Une condition nécessaire et suffisante d'orthogonalité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien et $x,y$ deux éléments de $E$. Montrer que $x$ et $y$ sont orthogonaux si et seulement si $\|x+\lambda y\|\geq \|x\|$ pour tout $\lambda\in\mathbb R$.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Quand une inégalité en implique une autre... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $x,y,z$ trois réels tels que $2x^2+y^2+5z^2\leq 1$. Démontrer que $(x+y+z)^2\leq\frac {17}{10}.$
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Applications de l'inégalité de Cauchy-Schwarz [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $x_1,\dots,x_n\in\mathbb R^n$.
  1. Démontrer que $$\left(\sum_{k=1}^n x_k\right)^2\leq n\sum_{k=1}^n x_k^2$$ et étudier les cas d'égalité.
  2. On suppose en outre que $x_k>0$ pour chaque $k\in\{1,\dots,n\}$ et que $x_1+\dots+x_n=1$. Démontrer que $$\sum_{k=1}^n \frac 1{x_k}\geq n^2$$ et étudier les cas d'égalité.
Indication
Corrigé
Enoncé
Étudier la nature de la série de terme général $u_n=\frac{1}{n^2(\sqrt 2)^n}\sum_{k=0}^n \sqrt{\binom nk}$.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Un calcul de borne inférieure [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathcal C([a,b],\mathbb R^*)$. Déterminer $\inf_{f\in E}\left(\int_a^b f\times \int_a^b \frac 1f\right)$. Cette borne inférieure est-elle atteinte?
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Stricte convexité de la boule [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace préhilbertien et soit $B=\{x\in E;\ \|x\|\leq 1\}$. Démontrer que $B$ est strictement convexe, c'est-à-dire que, pour tous $x,y\in B$, $x\neq y$ et tout $t\in ]0,1[$, $\|tx+(1-t)y\|<1$.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Sur l'identité du parallélogramme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Il est bien connu que si $E$ est un espace préhilbertien muni de la norme $\|.\|$, alors l'identité de la médiane (ou du parallélogramme) est vérifiée, à savoir : pour tous $x,y$ de $E$, on a : $$\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2\|x\|^2+2\|y\|^2.$$ L'objectif de cet exercice est de montrer une sorte de réciproque à cette propriété, à savoir le résultat suivant : si $E$ est un espace vectoriel normé réel dont la norme vérifie l'identité de la médiane, alors $E$ est nécessairement un espace préhilbertien, c'est-à-dire qu'il existe un produit scalaire $(.,.)$ sur $E$ tel que pour tout $x$ de $E$, on a $(x,x)=\|x\|^2$. Il s'agit donc de construire un produit scalaire, et compte tenu des formules de polarisation, on pose : $$(x,y)=\frac{1}{4}\left(\|x+y\|^2-\|x-y\|^2\right).$$ Il reste à vérifier que l'on a bien défini ainsi un produit scalaire.
  1. Montrer que pour tout $x,y$ de $E$, on a $(x,y)=(y,x)$ et $(x,x)=\|x\|^2$.
  2. Montrer que pour $x_1,\ x_2,\ y\in E$, on a $(x_1+x_2,y)-(x_1,y)-(x_2,y)=0$ (on utilisera l'identité de la médiane avec les paires $(x_1+y,x_2+y)$ et $(x_1-y,x_2-y)$).
  3. Montrer, en utilisant la question précédente,que si $x,y\in E$ et $r\in\mtq$, on a $(rx,y)=r(x,y)$. En utilisant un argument de continuité, montrer que c'est encore vrai pour $r\in\mtr$.
  4. Conclure!
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $(E,\langle.\rangle)$ un espace préhilbertien réel, $\|.\|$ la norme associée au produit scalaire, $u_1,\dots,u_n$ des éléments de $E$ et $C>0$. On suppose que : $$\forall (\veps_1,\dots,\veps_n)\in\{-1,1\}^n,\ \left\|\sum_{i=1}^n \veps_iu_i\right\|\leq C.$$ Montrer que $\sum_{i=1}^n \|u_i\|^2\leq C^2.$
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Relations usuelles sur les orthogonaux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace préhilbertien, et $A$ et $B$ deux parties de $E$. Démontrer les relations suivantes :
  1. $A\subset B\implies B^\perp\subset A^\perp$.
  2. $(A\cup B)^\perp=A^\perp\cap B^\perp$.
  3. $A^\perp=\textrm{vect}(A)^\perp$;
  4. $\textrm{vect}(A)\subset A^{\perp\perp}$.
  5. On suppose de plus que $E$ est de dimension finie. Démontrer que $\textrm{vect}(A)= A^{\perp\perp}$.
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Orthogonal, somme et intersection [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces vectoriels d'un espace préhilbertien $E$. Montrer que : $$(F+G)^\perp=F^\perp\cap G^\perp.$$ $$F^\perp+G^\perp\subset (F\cap G)^\perp.$$ Que se passe-t-il en dimension finie?
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Hyperplan des espaces euclidiens [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$. On rappelle qu'un hyperplan de $E$ est un sous-espace vectoriel de dimension $n-1$. On note $G$ l'espace vectoriel des applications linéaires de $E$ dans $\mathbb R$ (c'est-à-dire des formes linéaires).
  1. Soit $a\neq 0_E$. Démontrer que $H_a=\{x\in E;\ \langle a,x\rangle=0\}$ est un hyperplan de $E$.
  2. Soit $H$ un hyperplan de $E$. Démontrer qu'il existe $a\in E,\ a\neq 0$, tel que $H=H_a$.
  3. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $a,b\neq 0_E$ pour que $H_a=H_b$.
  4. Pour $a\in E$, on note $\varphi_a(x)=\langle a,x\rangle$, de sorte que $\varphi_a\in G$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $\varphi_a=\varphi_b$.
  5. En déduire que l'application de $E$ dans $G$ définie par $a\mapsto \varphi_a$ est un isomorphisme d'espaces vectoriels.
  6. Application : démontrer qu'il existe un unique polynôme $H_n\in\mathbb R_n[X]$ tel que, pour tout $P\in\mathbb R_n[X]$, on a $\int_0^1 H_n(t)P(t)dt=5P''(7)-3P'(2)+2P(\pi)$.
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Pas de supplémentaire orthogonal! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère $E=C([0,1],\mtr)$ muni du produit scalaire $(f,g)=\int_0^1 f(t)g(t)dt.$ Soit $F=\{f\in E,\ f(0)=0\}$. Montrer que $F^\perp=\{0\}$. En déduire que $F$ n'admet pas de supplémentaire orthogonal.
Indication
Corrigé
Bases orthonormales
Exercice 18 - Orthonormalisation de Schmidt [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans $\mathbb R^3$ muni du produit scalaire canonique, orthonormaliser en suivant le procédé de Schmidt la base suivante : $$u=(1,0,1),\ v=(1,1,1),\ w=(-1,-1,0).$$
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Trouver une base orthonormale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer une base orthonormale de $\mathbb R_2[X]$ muni du produit scalaire $$\langle P,Q\rangle=\int_{-1}^1 P(t)Q(t)dt.$$
Indication
Corrigé
Exercice 20 - Une caractérisation des bases orthonormales [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace préhilbertien, et $(e_1,\dots,e_n)$ une famille de $n$ vecteurs de $E$ de norme 1 tels que, pour tout $x\in E$, on a $$\|x\|^2=\sum_{k=1}^n \langle x,e_k\rangle^2.$$ Démontrer que $E$ est de dimension $n$ et que $(e_1,\dots,e_n)$ est une base orthonormale de $E$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E$ un espace euclidien, $f\in\mathcal L(E)$ et $\lambda>0$. On dit que $f$ est une similitude de rapport $\lambda$ si pour tout $x\in E$, $\|f(x)\|=\lambda \|x\|$.
  1. Question préliminaire : soient $u,v\in E$ tels que $u+v\perp u-v$. Démontrer que $\|u\|=\|v\|$.
  2. Démontrer que $f$ est une similitude de rapport $\lambda$ si et seulement si, pour tous $x,y\in E$, $\langle f(x),f(y)\rangle =\lambda^2 \langle x,y\rangle.$
  3. On souhaite prouver que $f$ est une similitude si et seulement $f$ est non-nulle et conserve l'orthogonalité : pour tout couple $(x,y)\in E$, si $x\perp y$, alors $f(x)\perp f(y)$.
    1. Prouver le sens direct.
    2. Soit $(e_1,\dots,e_n)$ une base orthonormale de $E$. Démontrer que, pour tout couple $(i,j)$, $\|f(e_i)\|=\|f(e_j)\|$.
    3. Démontrer le sens réciproque.
Indication
Corrigé
Projections orthogonales, calcul de distances
Exercice 22 - Projection orthogonale dans $\mathbb R^4$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathbb R^4$ muni de son produit scalaire canonique et de la base canonique $\mathcal B=(e_1,e_2,e_3,e_4)$. On considère $G$ le sous-espace vectoriel défini par les équations $$\left\{ \begin{array}{rcl} x_1+x_2&=&0\\ x_3+x_4&=&0. \end{array} \right. $$
  1. Déterminer une base orthonormale de $G$.
  2. Déterminer la matrice dans $\mathcal B$ de la projection orthogonale $p_G$ sur $G$.
  3. Soit $x=(x_1,x_2,x_3,x_4)$ un élément de $E$. Déterminer la distance de $x$ à $G$.
Indication
Corrigé
Exercice 23 - Projection orthogonale donnée par sa matrice [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mathbb R^3$ muni de sa structure euclidienne canonique. Soit $p\in\mathcal L(E)$ dont la matrice dans la base canonique est $$A=\frac 16\left( \begin{array}{ccc} 5&-2&1\\ -2&2&2\\ 1&2&5 \end{array}\right).$$ Démontrer que $p$ est une projection orthogonale sur un plan dont on précisera l'équation. Déterminer la distance de $(1,1,1)$ à ce plan.
Indication
Corrigé
Exercice 24 - Distance à un hyperplan affine [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans $\mathbb R^3$ muni de sa structure euclidienne canonique, déterminer la distance de $M(3,4,5)$ au plan $\mathcal P$ d'équation $2x+y-z+2=0$.
Indication
Corrigé
Exercice 25 - Base orthonormale, polynômes et projection [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E=\mtr_3[X]$ muni du produit scalaire suivant : $$(a_0+a_1X+a_2X^2+a_3X^3,b_0+b_1X+b_2X^2+b_3X^3)=a_0b_0+a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3.$$ On pose $H$ l'hyperplan $H=\{P\in E;\ P(1)=0\}$.
  1. Déterminer une base de $H$.
  2. Déterminer une base orthonormale de $H$.
  3. En déduire la projection orthogonale de $X$ sur $H$, puis la distance de $X$ à $H$.
Indication
Corrigé
Exercice 26 - Un produit scalaire sur les polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $E=\mathbb R_n[X]$ et $a_0,\dots,a_n$ des réels distincts. On pose, pour $(P,Q)\in E^2$, $$\langle P,Q\rangle=\sum_{k=0}^n P(a_k)Q(a_k).$$
  1. Vérifier qu'on définit un produit scalaire sur $E$.
  2. Déterminer une base orthonormée de $E$.
  3. Déterminer la distance de $Q\in E$ au sous-espace $H=\left\{P\in E;\ \sum_{k=0}^n P(a_k)=0\right\}.$
Indication
Corrigé
Enoncé
Calculer $\inf_{a,b\in\mathbb R}\int_0^1(x^2-ax-b)^2dx$.
Indication
Corrigé
Exercice 28 - Projecteurs orthogonaux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien, et $p$ un projecteur de $E$. Montrer que $p$ est un projecteur orthogonal si et seulement si pour tout $x$ de $E$, on a $\|p(x)\|\leq \|x\|$.
Indication
Corrigé
Exercice 29 - Projecteurs orthogonaux (bis) [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $E$ un espace vectoriel euclidien, et $p,q\in\mathcal L(E)$ deux projecteurs orthogonaux. Démontrer l'équivalence entre :
  1. $\textrm{Im}(p)\subset \textrm{Im}(q)$;
  2. Pour tout $x\in E$, $\|p(x)\|\leq \|q(x)\|$.
Indication
Corrigé
Exercice 30 - Méthode des moindres carrés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n$ et $p$ deux entiers naturels avec $p\leq n$. On munit $\mathbb R^n$ du produit scalaire canonique et on identifie $\mathbb R^n$ avec $\mathcal M_{n,1}(\mathbb R)$. On considère une matrice $A\in\mathcal M_{n,p}(\mathbb R)$ de rang $p$ et $B\in\mathcal M_{n,1}(\mathbb R)$.
  1. Démontrer qu'il existe une unique matrice $X_0$ de $\mathcal M_{p,1}(\mathbb R)$ telle que $$\|AX_0-B\|=\inf\{\|AX-B\|;\ X\in\mathcal M_{p,1}(\mathbb R)\}.$$
  2. Montrer que $X_0$ est l'unique solution de $$A^T AX=A^T B.$$
  3. Application : déterminer $$\inf\{(x+y-1)^2+(x-y)^2+(2x+y+2)^2;\ (x,y)\in\mathbb R^2\}.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E$ un espace préhilbertion. Pour $x_1,\dots,x_p$ des vecteurs de $E$, on appelle matrice de Gram la matrice de $\mathcal M_p(\mathbb R)$ définie par $(\langle x_i,x_j\rangle)_{i,j}$. On appelle déterminant de Gram des vecteurs $x_1,\dots,x_p$, et on note $G(x_1,\dots,x_p)$, le déterminant de cette matrice.
  1. Démontrer que $(x_1,\dots,x_p)$ est une famille libre si et seulement si $G(x_1,\dots,x_p)\neq 0$.
  2. On suppose désormais que $(x_1,\dots,x_p)$ est une famille libre, et on note $F=\textrm{vect}(x_1,\dots,x_p)$. Soit également $x\in E$. Démontrer que $$d(x,F)^2=\frac{G(x,x_1,\dots,x_p)}{G(x_1,\dots,x_p)}.$$
Indication
Corrigé
Polynômes orthogonaux
Exercice 32 - Généralités sur les polynômes orthogonaux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $w:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue strictement positive. Pour $E=\mathbb R[X]$, on pose $$\langle P,Q\rangle =\int_a^b P(t)Q(t)w(t)dt$$ dont on admettra qu'il s'agit d'un produit scalaire sur $E$.
  1. Démontrer qu'il existe une unique suite de polynômes $(P_n)_{n\geq 0}$ formée de polynômes deux à deux orthogonaux avec chaque $P_n$ de degré $n$ et de coefficient dominant 1.
  2. Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, $P_{n+1}-XP_n$ est orthogonal à $\mathbb R_{n-2}[X]$.
  3. En déduire pour tout $n\geq 1$, l'existence de $a_n$ et $b_n$ tels que $$P_{n+1}=(X+a_n)P_n+b_n P_{n-1}.$$
Indication
Corrigé
Exercice 33 - Polynômes de Laguerre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On pose, pour tout entier naturel $n$ et pour tout réel $x$, $$h_n(x)=x^ne^{-x}\textrm{ et }L_n(x)=\frac{e^x}{n!}h_n^{(n)}(x).$$
  1. Calculer explicitement $L_0,L_1,L_2$.
  2. Montrer que, pour tout entier $n$, $L_n$ est une fonction polynômiale. Préciser son degré et son coefficient dominant.
  3. Pour tous $P,Q\in\mathbb R[X]$, on pose $$\varphi(P,Q)=\int_0^{+\infty}P(x)Q(x)e^{-x}dx.$$ Démontrer que $\varphi$ est bien définie.
  4. Démontrer que $\varphi$ est un produit scalaire sur $\mathbb R[X]$.
  5. Calculer, pour tout $n\in\mathbb N$, $\varphi(L_0,X^n)$.
    1. Montrer que, pour tout $k\in\{0,\dots,n\}$, il existe $Q_k\in\mathbb R[X]$ tel que, pour tout $x\in\mathbb R$, on a $$h_n^{(k)}(x)=x^{n-k}e^{-x}Q_k(x).$$
    2. Établir que : $$\forall n\in\mathbb N,\ \forall P\in\mathbb R[X],\ \forall p\in\{0,\dots,n\},\ \varphi(L_n,P)=\frac{(-1)^p}{n!}\int_0^{+\infty}h_n^{(n-p)}(x)P^{(p)}(x)dx.$$
  6. En déduire que $(L_n)_{n\in\mathbb N}$ est une famille orthonormée de $(\mathbb R[X],\varphi)$.
Corrigé
Exercice 34 - Polynômes de Tchebychev [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On désigne par $E$ l'espace vectoriel des fonctions continues de $[-1,1]$ dans $\mathbb R$. On désigne par $E_n$ l'espace vectoriel des fonctions polynomiales de $[-1,1]$ dans $\mathbb R$ de degré inférieur ou égal à $n$, où $n$ est un entier naturel.
  1. Existence et unicité
    1. Démontrer qu'il existe un polynôme $T$ à coefficients réels de degré inférieur ou égal à $n$ vérifiant la propriété $(\heartsuit)$ : $$(\heartsuit):\ \forall \theta\in\mathbb R,\ T(\cos\theta)=\cos(n\theta)$$ (on pourra remarquer que $\cos(n\theta)$ est la partie réelle de $(\cos\theta+i\sin\theta)^n)$.
    2. Démontrer qu'un polynôme vérifiant $(\heartsuit)$ est unique. On l'appelle le polynôme de Tchebychev d'indice $n$, on le note $T_n$.
  2. On définit alors sur $[-1,1]$ une fonction polynômiale par $$\forall x\in[-1,1],\ T_n(x)=\cos(n\arccos x).$$
    1. Montrer que, pour tout $x\in[-1,1]$, on a $$T_{n+2}(x)=2xT_{n+1}(x)-T_n(x).$$
    2. Calculer $T_0,T_1,T_2,T_3$.
    3. Quel est le degré de $T_n$? Quel est le terme du coefficient de plus haut degré de $T_n$?
  3. Racines et extrema
    1. Montrer que, pour tout $x\in[-1,1]$, $T_n(x)=2^{n-1}\prod_{k=0}^{n-1}(x-\cos\theta_k)$ où $\theta_k=\frac{(2k+1)\pi}{2n}$.
    2. On pose, pour $k\in\{0,\dots,n\}$, $c_k=\cos(k\pi/n)$. Calculer $\|T_n\|_\infty=\sup_{x\in[-1,1]}|T_n(x)|$, puis prouver que $|T_n(c_k)|=\|T_n\|_\infty$ pour tout $k\in\{0,\dots,n-1\}$.
  4. Orthogonalité
    1. Montrer que, pour toutes fonctions $f,g$ dans $E$, l'application $t\mapsto \frac{f(t)g(t)}{\sqrt{1-t^2}}$ est intégrable sur $]-1,1[$.
    2. Pour $f,g$ éléments de $E$, on pose $\langle f,g\rangle=\int_{-1}^1 \frac{f(t)g(t)}{\sqrt{1-t^2}}dt$. Justifier que ceci définit un produit scalaire sur $E$.
    3. Calculer $\langle T_n,T_m\rangle$ pour tout $n,m\in\mathbb N$.
  5. Régularité et dérivée en 1.
    1. Justifier que $T_n$ est de classe $C^\infty$ sur $[-1,1]$.
    2. Pour $x\in]-1,1[$, donner une expression simple de $T_n'(x)$.
    3. Montrer que $\arccos(x)\sim \sqrt{2(1-x)}$ quand $x\to 1$ (on pourra utiliser un développement limité à l'ordre 2 en zéro de la fonction $\cos$). En déduire la valeur de $T_n'(1)$.
Corrigé
Familles totales
Exercice 35 - Famille des polynômes est totale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On munit $\mathcal C([0,1])$ du produit scalaire $$\langle f,g\rangle=\int_0^1 f(t)g(t)dt.$$ Démontrer que la famille $(X^n)_{n\geq 0}$ est totale dans cet espace préhilbertien.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E$ un espace préhilbertien et $(e_n)$ une famille orthonormée totale de $E$. Démontrer que, pour tout $x\in E$, on a $$\sum_{n\geq 1} \langle x,e_n\rangle^2=\|x\|^2.$$
Indication
Corrigé
Géométrie
Exercice 37 - Les bissectrices sont concourantes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le but de l'exercice est de démontrer que, dans un triangle $ABC$, les trois bissectrices intérieures sont concourantes et que le point d'intersection est le centre d'un cercle tangent aux trois côtés du triangle. Pour cela, on considère $E$ un espace vectoriel euclidien de dimension égale à $2$, $D$ et $D'$ deux droites distinctes de $E$, $u$ et $v$ des vecteurs directeurs unitaires de respectivement $D$ et $D'$. On pose $w_1=u+v$ et $w_2=u-v$, $D_1$ la droite dirigée par $w_1$ et $D_2$ la droite dirigée par $w_2$.
  1. Démontrer que $\langle u,v\rangle\in ]-1,1[$.
  2. Démontrer que $D_1=D_2^{\perp}$.
  3. Soit $x=\alpha u+\beta v$ un vecteur de $E$. Calculer $d(x,D)^2$ et $d(x,D')^2$ en fonction de $\alpha,\beta,u$ et $v$.
  4. Démontrer que $d(x,D)=d(x,D')\iff x\in D_1\cup D_2$.
  5. On suppose que $x$ est non nul. Démontrer que $x\in D_1$ si et seulement si $\cos\big(\widehat{(u,x)}\big)=\cos\big(\widehat{(v,x)}\big).$
  6. En déduire le résultat annoncé au début de l'exercice.
Indication
Corrigé