$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Endomorphismes des espaces euclidiens

Généralités
Exercice 1 - Endomorphismes de trace nulle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien, $\dim(E)\geq 1$, et $u\in\mcl(E)$. On suppose que $Tr(u)=0$. Soit $(e_1,\dots,e_n)$ une base orthonormale de $E$.
  1. Calculer $Tr(u)$ à l'aide de cette base orthonormale.
  2. Montrer qu'il existe $i\neq j$ tels que $(e_i,u(e_i))$ et $(e_j,u(e_j))$ sont de signes différents.
  3. Pour $\theta\in[0,\pi/2]$, on pose $e(\theta)=(\cos\theta) e_i+(\sin\theta)e_j$. Prouver que $e(\theta)$ est unitaire.
  4. Soit $g(\theta)=(e(\theta),u(e(\theta)))$. Prouver qu'il existe $\theta\in[0,\pi/2]$ tel que $g(\theta)=0$.
  5. En déduire qu'il existe une base orthonormale de $E$ telle que la matrice de $u$ dans cette base a tous ses coefficients sur la diagonale nuls.
Indication
Corrigé
Endomorphismes et matrices symétriques
Enoncé
Soit $u$ un endomorphisme symétrique d'un espace euclidien $E$ vérifiant, pour tout $x\in E$, $\langle u(x),x\rangle=0$. Que dire de $u$?
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Matrice symétrique à puissance nulle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ symétrique. On suppose qu'il existe $p\in\mathbb N$ tel que $A^p=0$. Que vaut $A$?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ une matrice symétrique. Est-ce que la matrice $A+iI_n$ est inversible?
Indication
Corrigé
Enoncé
Justifier que la matrice $$A=\left( \begin{array}{rcl} 1&-2&-2\\ -2&1&-2\\ -2&-2&1 \end{array}\right)$$ est diagonalisable, et trouver $P\in O_3(\mathbb R)$ tel que $P^TAP$ soit diagonale.
Indication
Corrigé
Enoncé
Diagonaliser dans une base orthonormée la matrice suivante : $$A=\left( \begin{array}{rcl} 6&-2&2\\ -2&5&0\\ 2&0&7 \end{array}\right).$$
Corrigé
Enoncé
Soit $$M=\left( \begin{array}{ccc} \frac 12&\frac 14&\frac 14\\ \frac 14&\frac 13&\frac 5{12}\\ \frac 14&\frac 5{12}&\frac 13 \end{array}\right).$$
  1. Prouver que la suite de matrices $(M^n)$ converge.
  2. Soit $N=\lim_n M^n$. Caractériser géométriquement l'endomorphisme associé à $N$.
  3. Soit $(X_n)$ la suite de vecteurs de $\mathbb R^3$ définie par $X_0=\left(\begin{array}{rcl} u_0\\v_0\\w_0\end{array}\right)$ et $X_{n+1}=MX_n$. Prouver que la suite $(X_n)$ converge et déterminer sa limite en fonction de $u_0$, $v_0$ et $w_0$.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Premiers pas avec les endomorphismes symétriques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel euclien, et soient $u,v$ deux endomorphismes symétriques de $E$.
  1. Démontrer que $\ker(u)\oplus^\perp \textrm{Im}(u)=E$.
  2. Démontrer que $u\circ v$ est symétrique si et seulement si $u\circ v=v\circ u$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $u$ un endomorphisme autoadjoint d'un espace euclidien $E$ de dimension $n$. On note $\lambda_1\leq \lambda_2\leq\dots\leq\lambda_n$ les valeurs propres de $u$, comptées avec leur multiplicité. Démontrer que, pour tout $x\in E$, on a $$\lambda_1 \|x\|^2\leq \langle u(x),x\rangle \leq \lambda_n \|x\|^2.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien et $u$ un endomorphisme symétrique de $u$. On note $m$ la plus petite et $M$ la plus grande des valeurs propres de $u$. On appelle image numérique de $u$ et on note $W(u)$ l'ensemble $\{\langle u(x),x\rangle;\ x\in E,\ \|x\|=1\}$. Le but de l'exercice est de démontrer que $1\in W(u)$ si et seulement si $1\in [m,M]$.
  1. Démontrer que, pour tout $x\in E$, on a $m\|x\|^2\leq \langle u(x),x\rangle\leq M\|x\|^2$. Que peut-on en conclure?
  2. Soit $e,f\in E$ de norme $1$ tels que $u(e)=me$ et $u(f)=Mf$. Pour $\theta\in\mathbb R$, on pose $g(\theta)=(\cos\theta)e+(\sin\theta)f$ et $h(\theta)=\langle u(g(\theta)),g(\theta)\rangle$. Calculer $h(0)$ et $h(\pi)$. Que peut-on en déduire?
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Norme d'un endomorphisme symétrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien. Pour $f\in\mcl(E)$, on note $\rho(f)=\max\{|\lambda|;\ \lambda\textrm{ valeur propre de }f\}$. On pose également $\|f\|=\sup\{\|f(x)\|;\ \|x\|\leq 1\}$. Démontrer que si $f$ est symétrique, alors $\|f\|=\rho(f)$.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Symétrique et orthogonal [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer les endomorphismes symétriques et orthogonaux d'un espace vectoriel euclidien.
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Identité plus un endomorphisme de rang 1 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n\geq 2$, $a$ un vecteur unitaire de $E$ et $\lambda$ un réel.
  1. Démontrer que $$f(x)=x+\lambda \langle x,a\rangle a$$ définit un endomorphisme symétrique de $E$.
  2. Déterminer les valeurs propres de $f$ et les sous-espaces propres correspondants.
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Symétrique entraîne linéaire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $u:E\to E$ tel que, pour tous $x,y\in E$, on a $\langle u(x),y\rangle=\langle x,u(y)\rangle$. Démontrer que $u$ est linéaire.
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Somme des carrés des coefficients [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien, soit $u$ un endomorphisme symétrique de $E$ et soient $(e_i)$, $(f_j)$ deux bases orthonormales de $E$.
  1. Démontrer que $$\sum_{i=1}^n \|u(e_i)\|^2=\sum_{i=1}^n \|u(f_i)\|^2.$$
  2. Soit $A=(a_{i,j})_{i,j}\in\mathcal S_n(\mathbb R)$ une matrice symétrique réelle, et soient $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ ses valeurs propres. Démontrer que $$\sum_{i,j=1}^n a_{i,j}^2=\sum_{i=1}^n \lambda_i^2.$$
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Application à une matrice non symétrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$. Démontrer que la matrice $A^T A$ est diagonalisable et que ses valeurs propres sont des réels positifs.
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Endomorphismes symétriques qui commutent [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $u,v$ deux endomorphismes symétrique d'un espace euclidien qui commutent, $u\circ v=v\circ u$.
  1. Soit $\lambda$ une valeur propre de $u$. On pose $F=\ker(u-\lambda Id_E)$. Démontrer que $F$ et $F^\perp$ sont stables par $v$.
  2. Démontrer qu'il existe une base orthonormale de $E$ diagonalisant simultanément $u$ et $v$.
Indication
Corrigé
Exercice 18 - Endomorphismes symétriques de trace nulle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace euclidien de dimension $n$ et soit $u$ un endomorphisme symétrique de $E$. On suppose que $\textrm{Tr}(u)=0$.
  1. Démontrer qu'il existe $x\in E$, $x$ non-nul, tel que $\langle u(x),x\rangle=0$.
  2. En déduire qu'il existe une base orthonormée de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ a tous ses coefficients diagonaux nuls.
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Théorème de Fischer-Cochran [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien.
  1. Soit $v\in S(E)$ tel que $(v(x),x)=0$ pour tout $x\in E$. Montrer que $v=0$.
  2. Soient $u_1,\dots,u_p\in S(E)$. On suppose que $rg(u_1)+\dots+rg(u_p)=n$, et que $$\forall x\in E, (u_1(x),x)+\dots+(u_p(x),x)=(x,x).$$
    1. Montrer que $u_1+\dots+u_p=Id_E$.
    2. Montrer que $E=Im(u_1)\oplus\dots\oplus Im(u_p)$.
    3. Montrer que pour tout $i$, $u_i$ est la projection orthogonale sur $Im(u_i)$.
Indication
Corrigé
Exercice 20 - Théorème de Courant-Fischer [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A$ une matrice symétrique réelle d'ordre $n$ et $\lambda_1\leq\lambda_2\leq \dots\leq \lambda_n$ ses valeurs propres rangées par ordre décroissant. Soit également $(e_1,\dots,e_n)$ une base orthonormale de vecteurs propres associés, ie $f(e_k)=\lambda_k e_k$. On désigne par $V_k$ le sous-espace $\textrm{vect}(e_1,\dots,e_k)$, par $W_k$ le sous-espace vectoriel $\textrm{vect}(e_k,\dots,e_n)$ et par $\mathcal F_k$ l'ensemble des sous-espaces vectoriels de $\mathbb R^n$ de dimension $k\in\{1,\dots,n\}$. On pose, pour tout $x\in\mathbb R^n$ non-nul, $$R_A(x)=\frac{\langle Ax,x\rangle}{\|x\|^2}.$$
  1. Montrer que $\lambda_1=\min_{x\neq 0}R_A(x)$ et que $\lambda_n=\max_{x\neq 0}R_A(x)$.
  2. Montrer que $\max_{x\in V_k\backslash\{0\}} R_A(x)=\lambda_k$.
  3. Soit $V$ un sous-espace vectoriel de $\mathbb R^n$ de dimension $k$. Vérifier que $V\cap W_k\neq\{0\}$. En déduire que $\max_{x\in V\backslash\{0\}} R_A(x)\geq \lambda_k$.
  4. Déduire des questions précédentes le théorème de Courant-Fischer : $$\lambda_k=\min_{V\in\mathcal F_k}\max_{x\in V\backslash\{0\}}R_A(x).$$
Indication
Corrigé
Endomorphismes symétriques positifs et définis positifs
Exercice 21 - Décomposition polaire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien. Un endomorphisme symétrique $u\in S(E)$ est dit \emph{positif} si pour tout $x$ de $E$, $(u(x),x)\geq 0$. Il est dit \emph{défini positif} si pour tout $x$ de $E$ non nul, $(u(x),x)>0$. On notera $S^+(E)$ l'ensemble des endomorphismes symétriques positifs, et $S^{++}(E)$ l'ensemble des endomorphismes symétriques définis positifs.
  1. Soit $u\in S(E)$. Montrer que $u$ appartient à $S^+(E)$ si et seulement si ses valeurs propres sont positives ou nulles. Donner une condition nécessaire et suffisante sur les valeurs propres de $u\in S(E)$ pour que $u\in S^{++}(E)$.
  2. Soit $u\in S^+(E)$, $\lambda_1,\dots,\lambda_p$ ses valeurs propres (distinctes), et $E_i=\ker(u-\lambda_i Id_E)$. On définit $v_i$ par $v_i(x)=\sqrt{\lambda_i} x$ si $x\in E_i$, et $v_i(x)=0$ si $x\in E_i^\perp$. On note enfin $v=v_1+\dots+v_p$. Justifier que $v^2=v\circ v=u$, et que $v$ est positif.
  3. Soit $w$ un autre élément de $S^+(E)$ tel que $w^2=u$.
    1. Montrer que $wu=uw$.
    2. En déduire que $w(E_i)\subset E_i$.
    3. Soit $w_i$ l'endomorphisme induit par $w$ sur $E_i$. Vérifier que $w_i$ est symétrique positif, puis diagonaliser $w_i$.
    4. En déduire que $w=v$.
  4. Soit $f\in GL(E)$.
    1. Montrer que $f^*\circ f\in S^{++}(E)$.
    2. Montrer qu'il existe un unique couple $(h,g)\in O(E)\times S^{++}(E)$ tel que $f=h\circ g$. Cette factorisation s'appelle \emph{décomposition polaire} de $f$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $H$ la matrice $\displaystyle H=\left(\frac{1}{i+j-1}\right)_{i,j=1,\dots,n}$, et soit $X=\left(\begin{array}c x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{array}\right)$ un vecteur de $\mathbb R^n$.
  1. Exprimer $\langle HX,X\rangle$ à l'aide d'une intégrale (on pourra remarquer que $\frac{1}{i+j-1}=\int_0^1 x^{i+j-2}dx$).
  2. En déduire que la matrice $H$ est définie positive.
Corrigé
Exercice 23 - Sous-espace engendré par les matrices symétriques définies positives [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Quel est le sous-espace vectoriel engendré par les matrices symétriques définies positives dans $\mathcal M_n(\mathbb R)$?
Indication
Corrigé
Adjoint d'un endomorphisme
Exercice 24 - Image et noyau de l'adjoint [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien, $u\in\mcl(E)$. Montrer que $$\ker(u^*)=(Im(u))^\perp,\ Im(u^*)=(\ker u)^\perp.$$ En déduire que $rg(u)=rg(u^*)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien et soit $u\in\mathcal L(E)$. Démontrer que $\textrm{rg}(u)=\textrm{rg}(u^*\circ u)$.
Indication
Corrigé
Exercice 26 - Norme d'un endomorphisme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien. Pour $f\in\mcl(E)$, on note $\rho(f)=\max\{|\lambda|;\ \lambda\textrm{ valeur propre de }f\}$. On rappelle que $\|f\|=\sup\{\|f(x)\|;\ \|x\|\leq 1\}$.
  1. On suppose que $f$ est symétrique. Montrer que $\|f\|=\rho(f)$.
  2. On ne suppose plus que $f$ est symétrique. Montrer que $\|f\|^2=\|f^*f\|$. En déduire que $\|f\|=\sqrt{\rho(f^*f)}$.
Indication
Corrigé
Exercice 27 - Somme des carrés des coefficients [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien et $u\in\mathcal L(E)$.
  1. Montrer que, si $(e_i)$ et $(f_k)$ sont deux bases orthonormées de $E$, alors $$\sum_{i=1}^n \|u(e_i)\|^2=\sum_{k=1}^n \|u^*(e_k)\|^2.$$
  2. En déduire que la quantité $\sum_{i=1}^n \|u(e_i)\|^2$ est indépendant de la base orthonormée choisie.
  3. Soit $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ une matrice symétrique, $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ ses valeurs propres, comptées avec leur multiplicité. Montrer que $$\sum_{1\leq i,j\leq n}a_{i,j}^2=\sum_{k=1}^n \lambda_k^2.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien, et $f\in\mcl(E)$ tel que pour tout $x$, $\|f(x)\|\leq \|x\|$.
  1. Montrer que $f^*$ a la même propriété.
  2. Montrer que $f-Id_E$ et $f^*-Id_E$ ont le même noyau.
  3. Montrer que $E=\ker(f-Id_E)\oplus^\perp \textrm{Im}(f-Id_E)$.
  4. Calculer, pour $x\in E$, $\lim_{p\to+\infty}\frac{1}{p}\sum_{k=0}^{p-1}f^k(x)$.
Indication
Corrigé
Exercice 29 - Sur l'adjoint d'un projecteur [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un espace vectoriel euclidien et soit $f\in\mathcal L(E)$ un projecteur.
  1. Démontrer que $f^*$ est un projecteur.
  2. Montrer que $f^*=f$ si et seulement si $f$ est la projection orthogonale sur $\textrm{Im}(f)$.
  3. On suppose que $f$ et $f^*$ commutent.
    1. Démontrer que $f\circ f^*$ est une projection orthogonale.
    2. Démontrer que $\ker(f\circ f^*)\cap \textrm{Im}(f)=\{0\}.$
    3. En déduire que $\ker(f\circ f^*)=\ker(f)$ et que $\textrm{Im}(f\circ f^*)=\textrm{Im}(f)$.
  4. En déduire que $f$ et $f^*$ commutent si et seulement si $f=f^*$.
Indication
Corrigé