$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Exercices corrigés - Trigonométrie et nombres complexes

Équations et inéquations trigonométriques
Exercice 1 - Équations trigonométriques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre dans $\mathbb R$ les équations suivantes : $$\begin{array}{ll} \mathbf 1. \sin(5x)=\sin\left(\frac{2\pi}3+x\right)&\mathbf 2. \sin\left(2x-\frac\pi3\right)=\cos\left(\frac x3\right)\\ \mathbf 3. \cos(3x)=\sin(x)&\mathbf 4. \tan x=2 \sin x. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Équation trigonométrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour quelles valeurs de $m$ l'équation $\sqrt 3\cos x-\sin x=m$ admet-elle des solutions? Les déterminer lorsque $m=\sqrt 2$.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Trinôme du second degré? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre dans $[0,2\pi]$ l'équation $\cos(2x)+\cos(x)=0$.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Valeur de $\cos(\pi/12)$ et $\sin(\pi/12)$. [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer la valeur de $\cos(\pi/12)$ et $\sin(\pi/12)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On cherche à déterminer tous les réels $t$ tels que $$\cos t=\frac{1+\sqrt 5}4.$$
  1. Démontrer qu'il existe une unique solution dans l'intervalle $]0,\pi/4[$. Dans la suite, on notera cette solution $t_0$.
  2. Calculer $\cos(2t_0)$, puis démontrer que $\cos(4t_0)=-\cos(t_0)$.
  3. En déduire $t_0$.
  4. Résoudre l'équation.
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Inéquations trigonométriques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre sur $\mathbb R$ les inéquations suivantes : $$\begin{array}{ll} \mathbf 1.\ \sin x\geq-\frac 1{\sqrt 2}&\mathbf 2.\ \tan x\geq 1\\ \mathbf 3.\ \cos(x/3)\leq \sin(x/3)&\mathbf 4.\ \cos^2x \geq \cos2x. \end{array} $$
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Inéquations trigonométriques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre sur $\mathbb R$ les inéquations suivantes :
  1. $2\cos^2 x-9\cos x+4\geq 0$;
  2. $\cos 5x+\cos 3x\geq \cos x$.
Indication
Corrigé
Linéarisation, calcul de sommes
Enoncé
Linéariser $\cos^5 x$, $\sin^5 x$ et $\cos^2 x\sin^3 x$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Exprimer $\cos(5x)$ et $\sin(5x)$ en fonction de $\cos x$ et $\sin x$.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Un calcul d'intégrale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer $\int_0^{\pi/2}\cos^4t\sin^2tdt$.
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Sommes trigonométriques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\in\mathbb N^*$ et $x,y\in\mathbb R$. Calculer les sommes suivantes :
  1. $\dis \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}\cos(x+ky)$;
  2. $\displaystyle S=\sum_{k=0}^n \frac{\cos(kx)}{(\cos x)^k}\textrm{ et }T=\sum_{k=0}^n \frac{\sin(kx)}{(\cos x)^k},$ avec $x\neq\frac{\pi}2+k\pi$, $k\in\mathbb Z$;
  3. $\displaystyle D_n=\sum_{k=-n}^n e^{ikx}$ et $\displaystyle K_n=\sum_{k=0}^n D_k$, avec $x\neq 0+2k\pi$, $k\in\mathbb Z$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $n\in\mathbb N^*$; on note $\mathbb U_n$ l'ensemble des racines $n$-ièmes de l'unité. Calculer $\sum_{z\in \mathbb U_n}|z-1|$.
Indication
Corrigé
Enoncé
A partir de la somme des racines $5-$ièmes de l'unité, calculer $\cos(2\pi/5)$.
Indication
Corrigé
Consulter aussi