$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Exercices corrigés - Polynômes sur d'autres corps ou sur des anneaux

Exercice 1 - pgcd dans deux corps différents [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\mathbb K\subset\mathbb L$ deux corps. On considère $P,Q\in\mathbb K[X]$.
  1. Démontrer que $P$ et $Q$ sont premiers entre eux dans $\mathbb K[X]$ si et seulement s'ils sont premiers entre eux dans $\mathbb L[X]$.
  2. Plus généralement, démontrer que le pgcd de $P$ et de $Q$ vus comme polynômes de $\mathbb K[X]$ est égal au pgcd de $P$ et de $Q$ vus comme polynôme de $\mathbb L[X]$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $p$ un nombre premier et $n\geq 1$ un entier non divisible par $p$.
  1. Démontrer que le polynôme $X^n-1$ est premier avec son polynôme dérivé sur $(\mathbb Z/p\mathbb Z)[X]$.
  2. En déduire que le polynôme $X^n-1$ ne possède pas de facteurs carrés sur $(\mathbb Z/p\mathbb Z)[X]$.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Irréductibilité par réduction [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $p$ un nombre premier. Pour tout polynôme $P\in\mathbb Z[X]$, on note $\bar P$ son image (par réduction modulo $p$ de ses coefficients) dans $(\mathbb Z/p \mathbb Z)[X]$.
  1. Soit $P\in\mathbb Z[X]$ unitaire. Montrer que si $\bar P$ est irréductible dans $(\mathbb Z/p\mathbb Z)[X]$, alors $P$ est irréductible dans $\mathbb Z[X]$. La réciproque est-elle vraie?
  2. Démontrer que le polynôme $X^4+X+1$ est irréductible dans $\mathbb Z[X]$.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Critère d'irréductibilité d'Eisenstein [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Si $P\in\mathbb Z[X]$, on appelle contenu de $P$, et on note $c(P)$, le pgcd des coefficients de $P$.
  1. Soit $P,Q\in\mathbb Z[X]$ et $p$ un nombre premier. On suppose que $p$ divise tous les coefficients de $PQ$. Montrer que $p$ divise tous les coefficients de $P$ ou tous les coefficients de $Q$.
  2. Soit $P,Q\in\mathbb Z[X]$ et $R(X)=\frac{PQ}{c(P)c(Q)}\in\mathbb Z[X]$. Démontrer que $c(R)=1$. En déduire que l'on a $c(PQ)=c(P)c(Q)$.
  3. Soit $Q$ un polynôme de $\mathbb Z[X]$. On suppose que $Q$ n'est pas irréductible dans $\mathbb Q[X]$. Démontrer qu'il existe deux polynômes $A$ et $B$ de $\mathbb Z[X]$ tels que $Q=AB$, avec $\deg(A)<\deg(Q)$ et $\deg(B)<\deg(Q)$.
  4. Soit $A(X)=a_n X^{n}+\dots+a_1X+a_0\in\mathbb Z[X]$. On suppose qu'il existe un nombre premier $p$ tel que $$p|a_k,\textrm{ pour tout }0\leq k\leq n-1,\ p\not\mid a_n,\ p^2\not\mid a_0.$$ Démontrer que $A$ est irréductible dans $\mathbb Q[X]$.
  5. Démontrer qu'il existe dans $\mathbb Q[X]$ des polynômes irréductibles de tout degré $n\geq 1$.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Polynômes et fonctions polynomiales [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\mathbb K$ un corps commutatif. On note $\mathcal F(\mathbb K)$ l'ensemble des fonctions polynomiales de $\mathbb K$ dans lui-même. Pour tout polynôme $P\in\mathbb K[X]$, on note $\tilde P$ la fonction polynomiale associée.
  1. On suppose $\mathbb K$ infini. Vérifier que le morphisme de $\mathbb K$-algèbres $P\in\mathbb K[X]\mapsto \tilde P\in\mathcal F(K)$ est injectif. Que peut-on en déduire sur $\mathbb K[X]$ et $\mathcal F(\mathbb K)$?
  2. Combien y-a-t-il d'éléments dans $(\mathbb Z/2\mathbb Z)[X]$ et dans $\mathcal F(\mathbb Z/2\mathbb Z)$?
  3. On suppose désormais jusqu'à la fin de l'exercice que $\mathbb K$ est de cardinal fini $q$. Soit $P\in\mathbb K[X]$ et $R$ le reste dans la division euclidienne de $P$ par $\prod_{a\in \mathbb K}(X-a)$. Démontrer que l'on a $\tilde P=\tilde R$.
  4. Démontrer que $\mathcal F(\mathbb K)$ et $\mathbb K_{q-1}[X]$ sont isomorphes.
Indication
Corrigé