$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Exercices corrigés - Groupe symétrique

Exercice 1 - Comprendre les éléments du groupe symétrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soit $n\geq 4$ et $a,b,c,d\in\{1,\dots n\}$ tous distincts. Que vaut $(a\ b)\circ (c\ d)\circ(d\ a)$?
  2. Que dire d'une permutation de $S_{n}$ possédant au moins $n-1$ points fixes.
  3. Une permutation telle que $s^2=Id$ est-elle nécessairement une transposition?
  4. Énumérer tous les éléments de $\mathcal S_4$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Pour les permutations $\sigma$ suivantes, décomposer $\sigma$ en produits de cycles disjoints, en produit de transpositions, calculer l'ordre de $\sigma$, la signature de $\sigma$, calculer $\sigma^{100}$ : $$\sigma_1=\left(\begin{array}{cccccc} 1&2&3&4&5&6\\ 3&5&4&6&2&1 \end{array}\right)\textrm{ et } \sigma_2=\left(\begin{array}{ccccccccc} 1&2&3&4&5&6&7&8&9\\ 4&6&9&7&2&5&8&1&3 \end{array}\right).$$
Corrigé
Exercice 3 - Décomposition en produit de transpositions [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\displaystyle \sigma=\left(\begin{array}{ccccccc}1&2&3&4&5&6&7\\ 3&5&6&7&1&2&4 \end{array}\right)$.
  1. Décomposer $\sigma$ en produit de cycles à supports disjoints.
  2. Donner la signature de $\sigma$.
  3. Décomposer $\sigma$ en produit de transpositions.
  4. Calculer $\sigma^{2001}$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Pour $n\geq 1$, on note $\mathcal A_n$ l'ensemble des éléments de $\mathcal S_n$ de signature égale à $1$. $\mathcal A_n$ est appelé le groupe alterné d'indice $n$.
  1. Démontrer que $\mathcal A_n$ est un sous-groupe de $\mathcal S_n$.
  2. Énumérer tous les éléments de $\mathcal A_3$, de $\mathcal A_4$.
  3. On suppose désormais que $n\geq 2$ et on fixe $\tau$ une transposition de $\mathcal S_n$. Démontrer que $\phi:S_n\to S_n,\ \sigma\mapsto \sigma\circ\tau$ est une bijection. En déduire le cardinal de $\mathcal A_n$.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Dénombrement et groupe symétrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 2$ et $2\leq k\leq n$. Combien le groupe $S_n$ possède-t-il de cycles de longueur $k$?
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Signature d'une grande permutation [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 1$. Déterminer la signature de la permutation suivante : $$\sigma_n=\left(\begin{array}{ccccc} 1&2&\dots&n-1&n\\ n&n-1&\dots&2&1 \end{array}\right).$$
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Le centre du groupe symétrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 3$.
  1. Soient $a\neq b\in \{1,\dots n\}$ et soit $\sigma\in S_n$. Quelle est la permutation $\sigma\circ (a\ b)\circ\sigma^{-1}$?
  2. On appelle centre du groupe symétrique l'ensemble des permutations $\sigma\in S_n$ qui commutent avec toutes les autres : $\forall s\in S_n,\ s\circ \sigma=\sigma\circ s$. Déterminer le centre de $S_n$.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Des générateurs du groupe symétrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 2$.
  1. Démontrer que $S_n$ est engendré par les transpositions $(1\ 2)$, $(1\ 3),\dots,(1\ n)$.
  2. Démontrer que $S_n$ est engendré par les transpositions $(1\ 2)$, $(2\ 3),\dots,(n-1\ n)$.
    1. On considère la transposition $t=(1\ 2)$ et le cycle $c=(1\ 2\ 3\dots n)$. Calculer $c^k tc^{-k}$.
    2. En déduire que $S_n$ est engendré par $t$ et $c$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Un jeu de taquin est constitué de neuf cases dont huit sont occupées par un jeton numéroté de 1 à 8, et une est vide. On peut faire glisser un jeton horizontalement ou verticalement dans la case vide. On repère le résultat d'une manipulation par la permutation des numéros qu'elle produit (on lit les numéros dans l'ordre, sans s'occuper de la case vide). Par exemple, dans la manipulation suivante, $$\textrm{Position initiale : } \begin{array}{|c|c|c|} \hline 1&2&3\\\hline 4&5&6\\ \hline 7&8&\\\hline \end{array} \textrm{ Position finale : } \begin{array}{|c|c|c|} \hline 4&1&3\\\hline 2&&5\\ \hline 7&8&6\\\hline \end{array} $$ la permutation obtenue est $$\left(\begin{array}{ccccccccc} 1&2&3&4&5&6&7&8\\ 4&1&3&2&5&7&8&6 \end{array}\right). $$ Démontrer qu'on ne peut obtenir que des permutations de signature égale à 1.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Générateurs du groupe alterné [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que le groupe alterné $\mathcal A_n$ des permutations paires est engendré par les $3$-cycles.
Indication
Corrigé
Exercice 11 - $\mathcal A_4$ n'admet pas de sous-groupes d'ordre 6 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Soit $G$ un groupe et $H$ un sous-groupe de $G$ d'indice 2. Démontrer que, pour tout $x\in G$, on a $x^2\in H$.
  2. En déduire que $\mathcal A_4$ n'admet pas de sous-groupes d'ordre 6.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Une autre décomposition des éléments de $S_n$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 2$ et $\sigma_i=(1\ 2\dots i)\in S_n$. Démontrer que toute permutation $s\in S_n$ s'écrit de manière unique $s=\sigma_n^{k_n}\circ\dots\circ\sigma_3^{k_3}\circ \sigma_2^{k_2}$, où $k_j\in \{0,\dots,j-1\}$.
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Automorphisme qui transforme une transposition en une transposition [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\phi$ un automorphisme de $S_n$ qui transforme une transposition en une transposition. On note $t_i$ la transposition $(1\ i)$.
  1. Montrer qu'il existe trois éléments $a_1,\ a_2$ et $a_3$ tels que $\phi(t_2)=(a_1\ a_2)$ et $\phi(t_3)=(a_1\ a_3)$.
  2. Montrer que pour tout $i>3$, il existe $a_i$ tel que $\phi(t_i)=(a_1\ a_i)$.
  3. Montrer que l'application $s$ qui à $i$ associe $a_i$ est bijective.
  4. Montrer que $\phi$ coïncide avec l'automorphisme intérieur associé à $s$.
Indication
Corrigé