$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Groupes : compléments

Sous-groupes normaux, groupe quotient
Exercice 1 - Groupe (spécial) linéaire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que $SL_n(\mathbb R)$ est un sous-groupe normal de $GL_n(\mathbb R)$ et prouver que le groupe quotient est isomorphe à $\mathbb R^*$.
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Commutateurs et groupe dérivé [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $G$ un groupe et $H$ un sous-groupe normal de $G$. Soient $x,y\in G$. On appelle commutateur de $x$ et $y$ l'élément $xyx^{-1}y^{-1}$, et on note $D$ le sous-groupe de $G$ engendré par tous les commutateurs. $D$ s'appelle le groupe dérivé de $G$.
  1. Que vaut $D$ lorsque $G$ est abélien?
  2. Démontrer que $D$ est un sous-groupe normal.
  3. Soient $\bar x$ et $\bar y$ deux éléments de $G/H$. Démontrer que $$\bar x\cdot \bar y=\bar y\cdot \bar x\iff xyx^{-1}y^{-1}\in H.$$
  4. En déduire que $G/H$ est commutatif si et seulement si $H$ contient $D$.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Sous-groupe normal contenant une transposition [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 2$ et $H$ un sous-groupe de $S_n$ normal contenant une transposition. Démontrer que $H=S_n$.
Corrigé
Exercice 4 - Automorphisme intérieur et centre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $G$ un groupe. Pour tout $g\in G$, on note $\varphi_g$ l'automorphisme de $G$ dans lui-même défini par $\varphi_g(x)=gxg^{-1}$. On note $\textrm{Int}(G)=\{\varphi_g;\ g\in G\}$.
  1. Démontrer que $\textrm{Int}(G)$ est un sous-groupe normal de $\textrm{Aut}(G)$.
  2. Soit $f:G\to\textrm{Int}(G)$ défini par $f(g)=\varphi_g$. Démontrer que $f$ est un morphisme de groupe. Quel est son noyau?
  3. En déduire que $G/Z(G)$ est isomorphe à $\textrm{Int}(G)$.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Sous-groupe engendré et normal [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $G$ un groupe et $H,K$ deux sous-groupes de $G$ normaux. Démontrer que le sous-groupe engendré par $H\cup K$ est normal.
Corrigé
Exercice 6 - Sous-groupe du groupe diédral [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Montrer que le groupe diédral $D_6$ admet un sous-groupe isomorphe à $D_3$. Ce sous-groupe est-il normal?
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Morphisme entre groupes d'ordres premiers entre eux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $G$ et $H$ deux groupes finis de cardinal respectif $m$ et $n$. On suppose en outre que $m$ et $n$ sont premiers entre eux. Démontrer que le seul morphisme de groupe $f$ de $G$ vers $H$ est le morphisme trivial, c'est-à-dire que $f(x)=1_H$ pour tout $x$ de $G$.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Un sous-groupe d'indice 2 est normal [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $G$ un groupe et $H$ un sous-groupe de $G$ d'indice 2.
  1. Montrer que $H$ est un sous-groupe normal de $G$.
  2. En déduire que, pour tout $x\in G$, $x^2\in H$.
  3. Pour $n\geq 3$, on note $\mathcal A_n$ le sous-groupe de $\mathcal S_n$ des permutations paires. On rappelle que $\mathcal A_n$ est le sous-groupe de $\mathcal S_n$ engendré par les 3-cycles. Quel est le sous-groupe de $\mathcal A_n$ engendré par les carrés des éléments de $\mathcal A_n$?
  4. Déduire des questions précédentes que $\mathcal A_4$ ne contient pas de sous-groupe de cardinal 6.
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Centre d'un sous-groupe, quotient par le centre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $G$ un groupe et $Z(G)$ son centre : $Z(G)=\{x\in G;\ \forall y\in G,\ xy=yx\}$. On rappelle (théorème de Burnside) que le centre d'un $p$-groupe n'est jamais trivial.
  1. Démontrer que $Z(G)$ est un sous-groupe distingué de $G$.
  2. Démontrer que, si $G$ n'est pas abélien, alors $G/Z(G)$ n'est pas monogène.
  3. En déduire qu'un groupe de cardinal $p^2$ est abélien.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Unique sous-groupe normal d'ordre donné [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $G$ un groupe d'ordre $nm$ et $H$ un sous-groupe normal de $G$ d'ordre $n$.
  1. Démontrer que, pour tout $a\in G$, on a $a^m\in H$.
  2. On suppose que $n\wedge m=1$. Démontrer que $H$ est l'unique sous-groupe de $G$ d'ordre $n$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $G$ un groupe, et $K\subset H\subset G$ deux sous-groupes de $G$. On suppose que $H$ est normal dans $G$ et que $K$ est un sous-groupe caractéristique de $H$ : pour tout automorphisme $\phi$ de $H$, $\phi(K)\subset K$.
  1. Démontrer que $K$ est un sous-groupe normal de $G$.
  2. Démontrer que si on suppose simplement $K$ sous-groupe normal de $H$ et $H$ sous-groupe normal de $G$, $K$ n'est pas nécessairement un sous-groupe normal de $G$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $G$ un groupe, et $H,K$ deux sous-groupes normaux de $G$ avec $H\subset K$.
  1. Démontrer que $K/H$ est un sous-groupe normal de $G/H$.
  2. Démontrer que le quotient $(G/H)/(K/H)$ est isomorphe à $G/K$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On rappelle que le centre d'un $p$-groupe est non trivial. On fixe $G$ un groupe de cardinal $p^r$.
  1. Démontrer qu'il existe dans $G$ un élément $x$ d'ordre $p$ et tel que le sous-groupe engendré par $x$ soit normal.
  2. Démontrer que pour tout $k\in\{0,\dots,r\}$, $G$ admet un sous-groupe normal d'ordre $p^k$.
  3. Démontrer qu'il existe une suite $G_0=\{e\}\subset G_1\subset\dots\subset G_r=G$ de sous-groupes $G_i$ de $G$, normaux, et d'ordres respectifs $p^i$.
  4. Soit $H$ un sous-groupe de $G$ d'ordre $p^s$, $s<r$. Démontrer qu'il existe un sous-groupe de $G$ d'ordre $p^{s+1}$ contenant $H$.
Indication
Corrigé
Théorèmes de Sylow
Enoncé
Démontrer qu'un groupe d'ordre 200 n'est pas simple.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $p$ un nombre premier. On cherche à déterminer le nombre de $p$-Sylow du groupe symétrique $S_p$.
  1. Quel est l'ordre des $p$-Sylow de $G$?
  2. Combien $S_p$ comporte-t-il de $p$-cycles?
  3. Conclure.
Corrigé
Enoncé
Soit $G$ un groupe d'ordre 15. Démontrer que $G$ est isomorphe à $\mathbb Z/15\mathbb Z$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $p$ un nombre premier et $n$ un entier naturel avec $p>n$. On considère $G$ un groupe d'ordre $pn$, et $H$ un sous-groupe de $G$ d'ordre $p$. Démontrer que $H$ est un sous-groupe normal de $G$.
Indication
Corrigé
Groupe opérant sur un ensemble
Exercice 18 - Exemples d'orbites dans le plan [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $G$ un sous-groupe de $GL_2(\mathbb R)$. On fait agir $G$ sur le plan affine euclidien en choisissant un point $O$ de cet espace et en identifiant $\mathbb R^2$ et les vecteurs d'origine $O$. Décrire l'orbite d'un point $A$ quand $G$ est le sous-groupe engendré par
  1. une symétrie par rapport à une droite $D$ passant par $O$;
  2. une rotation d'angle $\pi/2$ de centre $O$;
  3. une rotation d'angle $2\pi/n$, $n\in\mathbb N^*$ de centre $O$ et une symétrie par rapport à une droite $D$ passant par $O$.
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Orbites et stabilisateurs pour le groupe symétrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $G$ un sous-groupe de $S_4$ opérant sur $\{1,2,3,4\}$ par l'action naturelle de $S_4$. Pour $i\in\{1,2,3,4\}$, on note $O_i$ l'orbite de $i$ et $S_i$ le stabilisateur de $i$. Déterminer $O_i$ et $S_i$ pour les cas suivants :
  1. $G$ est le groupe engendré par le 3-cycle $(1\ 2\ 3)$.
  2. $G$ est le groupe engendré par le 4-cycle $(1\ 2\ 3\ 4)$.
  3. $G$ est le groupe engendré par les doubles transpositions.
  4. $G=\mathcal A_4$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Un groupe de 35 éléments agit sur un ensemble à 19 éléments sans fixer aucun d'entre eux. Combien y-a-t-il d'orbites? Combien d'éléments contiennent-elles?
Indication
Corrigé
Exercice 21 - Actions transitives en géométrie [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que $O_2^+(\mathbb R)$ agit transitivement sur le cercle unité de $\mathbb R^2$. Démontrer que $O_3^+(\mathbb R)$ agit transitivement sur la sphère unité de $\mathbb R^3$.
Corrigé
Enoncé
Soit $G$ un groupe et $H$ un sous-groupe de $G$. On appelle normalisateur de $H$ dans $G$, et on note $\textrm{Nor}_G(H)$ l'ensemble des éléments $g\in G$ tels que $gHg^{-1}=H$.
  1. Démontrer que $\textrm{Nor}_G(H)$ est le plus grand sous-groupe de $G$ contenant $H$ comme sous-groupe normal.
  2. Démontrer que le nombre de sous-groupes distincts conjugués de $H$ dans $G$ est égal à l'indice $[G:\textrm{Nor}_G(H)]$ de $\textrm{Nor}_G(H)$ dans $G$.
Indication
Corrigé
Exercice 23 - Théorème de Burnside [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $G$ un groupe fini. On dit qu'un élément $x\in G$ est central s'il commute avec tous les autres éléments de $G$. On suppose désormais que $G$ est un $p$-groupe, et on fait agir $G$ sur lui-même par automorphisme intérieur : $(g,x)\mapsto gxg^{-1}$.
  1. Démontrer que $x$ est central si et seulement si son orbite sous cette action est de cardinal 1.
  2. En déduire que dans un $p$-groupe, il existe un élément central différent de $e$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $G$ un groupe fini opérant sur un ensemble fini $E$. On note $r$ le nombre d'orbites distinctes. Démontrer que $$r=\frac1{\textrm{card}(G)}\sum_{g\in G}\textrm{card}\{x\in E;\ g\cdot x=x\}$$ (on pourra dénombrer de deux façons distinctes $X=\{(g,x)\in G\times E;\ g\cdot x=x\})$.
Corrigé
Exercice 25 - Un sous-groupe distingué [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $G$ un groupe de cardinal $n$ et soit $p$ le plus petit diviseur premier de $n$. Soit $H$ un sous-groupe de $G$ possédant $m=\frac np$ éléments. Le but de l'exercice est de démontrer que $H$ est normal.
  1. Montrer que $\{gH;\ g\in G\}$ forme une partition de $G$.
  2. On note $\chi=\{gH;\ g\in G\}$. Quel est le cardinal de $\chi$?
  3. Démontrer que $(g,A)\in G\times \chi\mapsto gA$ est une action de groupe de $G$ sur $\chi$.
  4. On note $\varphi:G\to S(\chi)$ le morphisme de groupe canoniquement associé à l'action précédente et $N$ le noyau de $\varphi$. Démontrer que $N\subset H$.
  5. Démontrer que $N$ et $H$ ont le même cardinal.
  6. Conclure.
Indication
Corrigé