$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Fractions rationnelles

Généralités
Enoncé
Démontrer qu'il n'existe pas de fraction rationelle $F$ tel que $F^2=X$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $F\in\mathbb K(X)$. Montrer que si $\deg(F')<\deg(F)-1$, alors $\deg(F)=0$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $p$ et $q$ deux entiers naturels premiers entre eux. Déterminer les racines et les pôles de $(X^p-1)/(X^q-1)$, en précisant leur ordre de multiplicité.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $F=P/Q\in\mathbb C(X)$ une fraction rationnelle, avec $P\wedge Q=1$, telle que $F'=1/X$.
  1. Démontrer que $X|Q$.
  2. Soit $n\geq 1$ tel que $X^n|Q$. Démontrer que $X^{n}|Q'$.
  3. Conclure.
Indication
Corrigé
Décomposition en éléments simples
Enoncé
Décomposer en éléments simples les fractions rationnelles suivantes : $$\begin{array}{lll} \displaystyle\mathbf{1.}\quad\frac{1}{X^3-X}&\quad\quad\mathbf{2.}\quad \displaystyle\frac{X^2+2X +5}{X^2-3X+2} &\quad\quad\mathbf{3.}\quad \displaystyle \frac{X^3}{(X-1)(X-2)(X-3)} \\ \mathbf{4.}\quad \displaystyle\frac{2X^2+1}{(X^2-1)^2}& \quad\quad\mathbf{5.}\quad\displaystyle\frac{X^3+1}{(X-1)^3}& \quad\quad\mathbf{6.}\quad\displaystyle\frac{X^4+1}{(X+1)^2(X^2+1)} \end{array}$$
Corrigé
Enoncé
Décomposer en éléments simples les fractions rationnelles suivantes : $$\begin{array}{lll} \displaystyle\mathbf{1.}\quad \frac{1}{X^n-1}& \displaystyle\quad\quad\mathbf{2.}\quad\frac{X^{n-1}}{X^n-1}& \displaystyle\quad\quad\mathbf{3.}\quad\frac{1}{(X-1)(X^n-1)} \end{array}$$
Corrigé
Applications
Enoncé
  1. Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle $\displaystyle\frac{1}{X(X+1)(X+2)}$.
  2. En déduire la limite de la suite $(S_n)$ suivante : $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)(k+2)}$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $P\in\mathbb R[X]$ un polynôme de degré $n\geq 1$ possédant $n$ racines distinctes $x_1,\dots,x_n$ non-nulles.
  1. Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle $\displaystyle \frac1{XP(X)}$.
  2. En déduire que $\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{1}{x_k P'(x_k)}=\frac{-1}{P(0)}$.
Indication
Corrigé
Enoncé
  1. Décomposer en éléments simples la fraction $\frac{P'}P$, où $P$ est un polynôme de $\mathbb C[X]$.
  2. En déduire les polynômes $P\in\mathbb C[X]$ tels que $P'|P$.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Enveloppe convexe des zéros [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $P\in\mathbb C_n[X]$ admettant $n$ racines simples $\alpha_1,\dots,\alpha_n$. Soient $A_1,\dots,A_n$ les points du plan complexe d'affixe respectives $\alpha_1,\dots,\alpha_n$.
  1. Décomposer la fraction rationnelle $P'/P$ en éléments simples.
  2. Soit $\beta$ une racine de $P'$, et soit $B$ son image dans le plan complexe. Déduire de la question précédente que $$\sum_{j=1}^n \frac{1}{\beta-\alpha_j}=0.$$
  3. En déduire que $B$ est un barycentre de la famille de points $(A_1,\dots,A_n)$, avec des coefficients positifs. Interpréter géométriquement cette propriété.
Indication
Corrigé