$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Corps

Structure de corps
Exercice 1 - Un morphisme de corps est injectif [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $K,L$ deux corps et soit $f:K\to L$ un morphisme d'anneaux.
  1. Démontrer que si $x\in K\backslash\{0_K\}$, alors $f(x)$ est inversible, et déterminer son inverse.
  2. En déduire qu'un morphisme de corps est injectif.
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Q n'admet pas de sous-corps strict [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que $\mathbb Q$ n'admet pas d'autre sous-corps que lui-même.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $A$ un anneau intègre commutatif fini. Démontrer que $A$ est un corps.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $d\in\mathbb N$ tel que $\sqrt d\notin \mathbb Q$. On note $$\mathbb Q[\sqrt d]=\{a+b\sqrt d;\ (a,b)\in\mathbb Q ^2\}.$$ Démontrer que $(\mathbb Q[\sqrt d],+,\times)$ est un corps.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Deux corps non isomorphes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que $-1$ est une somme de deux carrés dans $\mathbb Q[i\sqrt 2]$. En déduire que les corps $\mathbb Q[\sqrt 2]$ et $\mathbb Q[i\sqrt 2]$ ne sont pas isomorphes.
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Condition d'isomorphisme de deux corps [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On rappelle que si $\alpha\in\mathbb N$ est tel que $\sqrt \alpha\notin \mathbb Q$, alors $\mathbb Q(\sqrt \alpha)=\{a+b\sqrt \alpha; (a,b)\in\mathbb Q^2\}$ est un corps. Soit $\alpha,\beta\in\mathbb N$ tels que $\sqrt \alpha$ et $\sqrt\beta$ sont irrationnels. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $\mathbb Q(\sqrt \alpha)$ et $\mathbb Q(\sqrt\beta)$ soient isomorphes.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Degré d'une extension de corps [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $K,L,M$ trois corps tels que $K$ est un sous-corps de $L$ et que $L$ est un sous-corps de $M$.
  1. Démontrer que $L$ peut être muni d'une structure de $K$-espace vectoriel, et que $M$ peut être muni d'une structure de $L$-espace vectoriel et d'une structure de $K$-espace vectoriel.
  2. On suppose que $L$ est un $K$-espace vectoriel de dimension finie $n$ et que $M$ est un $L$-espace vectoriel de dimension finie $p$. Démontrer que $M$ est un $K$-espace vectoriel de dimension finie dont on précisera la dimension.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Produit de tous les éléments [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $K$ un corps fini. Calculer $\prod_{x\in K^*}x$.
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Le groupe multiplicatif d'un corps fini est cyclique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $K$ un corps fini. On souhaite démontrer que le groupe multiplicatif $(K^*,\times)$ est cyclique. On note $n$ le cardinal de ce groupe.
  1. Préliminaire 1 : Soit $G$ un groupe abélien, $x$ et $y$ deux éléments de $G$ d'ordres respectifs $p$ et $q$. On suppose que $p$ et $q$ sont premiers entre eux. Démontrer que $xy$ est d'ordre $pq$.
  2. Préliminaire 2 : Soient $a,b\in\mathbb N^*$. Démontrer qu'il existe $a',b'$ tels que $a'|a$, $b'|b$, $a'\wedge b'=1$ et $a'b'=a\vee b$.
  3. Démontrer qu'il existe dans $K$ un élément d'ordre égal à $m$, le ppcm des éléments de $K$.
  4. Démontrer que $m\geq n$, puis conclure.
Indication
Corrigé
Nombres algébriques et transcendants
Exercice 10 - Paradoxe de Sierpinski-Mazurkiewicz [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $u$ un nombre complexe transcendant de module 1. Soit \begin{eqnarray*} E&=&\{P(u);\ P\in\mathbb N[X]\}\\ A&=&\{(XQ)(u);\ Q\in\mathbb N[X]\}\\ B&=&\{(R+1)(u);\ R\in\mathbb N[X]\}. \end{eqnarray*}
  1. Démontrer que $(A,B)$ forme une partition de $E$.
  2. En déduire qu'il existe un ensemble contenu dans le plan dont il existe une partition en deux parties qui sont isométriques à l'ensemble initial.
Indication
Corrigé
Corps algébriquement clos
Exercice 11 - Corps des fractions rationnelles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le corps des fractions rationnelles $\mathbb C(t)$ est-il algébriquement clos?
Indication
Corrigé