$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Nombres complexes

Formes algébriques et trigonométriques
Enoncé
Mettre sous forme algébrique les nombres complexes suivants : $${\mathbf 1.}z_1=\frac{-4}{1+i\sqrt 3}\quad{\mathbf 2.}z_2=\frac{(3+5i)^2}{1-2i}\quad{\mathbf 3.}z_3=(1+i)^3\quad{\mathbf 4.}z_4=\left(\frac{1+i}{2-i}\right)^2+\frac{3+6i}{3-4i}.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Mettre sous forme exponentielle les nombres complexes suivants : $$\mathbf 1.z_1=1+i\sqrt 3\quad\mathbf 2.z_2=\frac{-i\sqrt 2}{1+i}\quad\mathbf{3.}z_3=\frac{(1+i\sqrt 3)^3}{(1-i)^5}\quad\mathbf 4. z_4=\sin x+i\cos x.$$
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Les deux à la fois - avec application [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère les nombres complexes suivants : $$z_1=1+i\sqrt 3,\ z_2=1+i\textrm{ et }z_3=\frac{z_1}{z_2}.$$
  1. Écrire $z_3$ sous forme algébrique.
  2. Écrire $z_3$ sous forme trigonométrique.
  3. En déduire les valeurs exactes de $\cos\frac\pi{12}$ et $\sin\frac\pi{12}$.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Forme algébrique, le retour [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer la forme algébrique des nombres complexes suivantes : $$\mathbf 1. z_1=(2+2i)^6\quad \mathbf 2. z_2=\left(\frac{1+i\sqrt 3}{1-i}\right)^{20}\quad\mathbf 3. z_3=\frac{(1+i)^{2000}}{(i-\sqrt 3)^{1000}}.$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Trouver les entiers $n\in\mathbb N$ tels que $(1+i\sqrt 3)^n$ soit un réel positif.
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Forme trigonométrique et formule d'Euler [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $a,b\in]0,\pi[$. Écrire sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants : $$\mathbf 1.\ z_1=1+e^{ia}\quad \mathbf 2.\ z_2=1-e^{ia}\quad \mathbf 3.\ z_3=e^{ia}+e^{ib}\quad \mathbf 4. z_4=\frac{1+e^{ia}}{1+e^{ib}}.$$
Indication
Corrigé
Module et argument
Exercice 7 - Transformation de Cayley [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $z$ et $z'$ deux nombres complexes de module 1 tels que $zz'\neq -1$. Démontrer que $\frac{z+z'}{1+zz'}$ est réel, et préciser son module.
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer les nombres complexes non nuls $z$ tels que $z$, $\frac 1z$ et $1-z$ aient le même module.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $z$ un nombre complexe, $z\neq 1$. Démontrer que : $$|z|=1\iff \frac{1+z}{1-z}\in i\mathbb R.$$
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Module de la somme et de la différence [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $z=\rho e^{i\theta}$ et $z'=\rho'e^{i\theta'}$ deux nombres complexes non nuls. Démontrer que $$|z+z'|=|z-z'|\Longleftrightarrow{\theta'=\theta+\frac{\pi}{2}[\pi]}.$$
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Entiers somme de deux carrés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On dit qu'un entier naturel $N$ est somme de deux carrés s'il existe deux entiers naturels $a$ et $b$ de sorte que $N=a^2+b^2$.
  1. Écrire un algorithme permettant de déterminer si un entier naturel $N$ est somme de deux carrés.
  2. On souhaite prouver que, si $N_1$ et $N_2$ sont sommes de deux carrés, alors leur produit $N_1N_2$ est aussi somme de deux carrés. Pour cela, on écrit $N_1=a^2+b^2$ et $N_2=c^2+d^2$, et on introduit $z_1=a+ib$, $z_2=c+id$. Comment écrire $N_1$ et $N_2$ en fonction de $z_1$ et $z_2$?
  3. En déduire que $N_1N_2$ est somme de deux carrés.
  4. Démontrer que si $N$ est somme de deux carrés, alors pour tout entier $p\geq 1$, $N^p$ est somme de deux carrés.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Automorphisme du disque [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $a$ un complexe de module $|a|<1$.
  1. Démontrer que, pour tout nombre complexe $z$ $$1-\left|\frac{z-a}{1-\bar{a}z}\right|^2 = \frac{(1-|a|^2)(1-|z|^2)}{|1-\bar a z|^2}.$$
  2. Déterminer les nombres complexes $z$ vérifiant $\displaystyle \left|\frac{z-a}{1-\bar{a}z}\right|\leq 1.$
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Égalité dans l'inégalité triangulaire [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $z_1,\dots,z_n$ des nombres complexes tous non nuls. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $$|z_1+\dots+z_n|=|z_1|+\dots+|z_n|.$$
Indication
Corrigé
Equations et nombres complexes
Enoncé
Résoudre l'équation $e^z=3\sqrt 3-3i$.
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Racine carrée en détails [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On cherche à déterminer les nombres complexes $z$ tels que $z^2=15-8i$. Pour cela, on pose $z=x+iy$.
  1. Montrer que $z^2=15-8i$ si et et seulement si $(x,y)$ est solution du système : $$\left\{\begin{array}{rcl} x^2-y^2&=&15\\ 2xy&=&-8. \end{array}\right.$$
  2. Démontrer que si $z^2=15-8i$, on a aussi $x^2+y^2=17$.
  3. En déduire tous les nombres complexes $z$ tels que $z^2=15-8i$.
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Racine carrée d'un nombre complexe [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer les racines carrées des nombres complexes suivants : $z_1=3+4i,\ z_2=8-6i.$
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Racine carré de deux façons [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer les racines carrées de $Z=\sqrt 3+i$ sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique. En déduire la valeur de $\cos\left(\frac\pi{12}\right)$.
Corrigé
Exercice 18 - Équations du second degré [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre les équations du second degré suivantes : $$\begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ z^2-2iz-1+2i=0&&\mathbf{2.}\ iz^2+(4i-3)z+i-5=0\\ \mathbf{3.}\ z^2-(7+i)z+12+3i=0. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Résoudre les équations suivantes : $$\begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ z^5=-i&&\mathbf{2.}\ z^6=\frac{-4}{1+i\sqrt 3}\\ \mathbf{3.}\ z^5=\frac{(1+i\sqrt 3)^4}{(1+i)^2}.&& \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 20 - Presque des racines de l'unité [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre les équations suivantes : $$\begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ (z-1)^5=(z+1)^5&&\mathbf{2.}\ \left(\frac{z+1}{z-1}\right)^3+\left(\frac{z-1}{z+1}\right)^3=0\\ \mathbf{3.}(z+i)^n=(z-i)^n. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Résoudre les systèmes suivants, d'inconnues les nombres complexes $z_1$ et $z_2$ :
  1. $$\left\{ \begin{array}{rcl} 2z_1-z_2&=&i\\ -2z_1+3iz_2&=&-17 \end{array}\right.$$
  2. $$\left\{ \begin{array}{rcl} 3z_1+z_2&=&1-7i\\ iz_1+2z_2&=&11i \end{array}\right.$$
On donnera les résultats sous forme algébrique.
Indication
Corrigé
Exercice 22 - Variations sur les équations classiques [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Résoudre les équations suivantes : $$\begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ iz^8+iz^4+1+i=0&&\mathbf{2.}\ z^n=\bar z\ (n\geq 2)\\ \mathbf{3.}\ z^4-z^3+z^2-z+1=0&& \mathbf{4.}\ 1+2z+\dots+2z^{n-1}+z^n=0 \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
On cherche à résoudre l'équation $$z^3+(1+i)z^2+(i-1)z-i=0.$$
  1. Rechercher une solution imaginaire pure $ai$ à l'équation.
  2. Déterminer $b,c\in\mathbb R$ tels que $$z^3+(1+i)z^2+(i-1)z-i=(z-ai)(z^2+bz+c).$$
  3. En déduire toutes les solutions de l'équation.
  4. Sur le même modèle, résoudre l'équation $z^3-(2+i)z^2+2(1+i)z-2i=0$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Résoudre l'équation $4iz^3+2(1+3i)z^2-(5+4i)z+3(1-7i)=0$, sachant qu'elle admet une racine réelle.
Corrigé
Exercice 25 - Somme et puissances de racines $n$-iemes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 1$ et $\omega=e^{2i\pi/n}$.
  1. Calculer le produit des racines $n$-ièmes de l'unité.
  2. Soit $p\geq 0$. Calculer $\sum_{k=0}^{n-1}\omega^{kp}$.
  3. En déduire que $\sum_{k=0}^{n-1}(1+\omega^k)^n =2n$.
Indication
Corrigé
Nombres complexes et géométrie
Exercice 26 - Équation et lieu géométrique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $z\in\mathbb C$. Montrer que $|z-i|=|z+i|$ si et seulement si $z$ est réel.
Indication
Corrigé
Enoncé
Déterminer le lieu géométrique des points $M$ dont l'affixe $z$ vérifie $$ \begin{array}{ll} \mathbf 1.\ \displaystyle \frac{|z-3|}{|z-5|}=1&\mathbf{2.}\ \displaystyle \frac{|z-3|}{|z-5|}=\frac{\sqrt 2}2\\ \mathbf 3.\ |(1+i)z-2i|=2 \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 28 - Écriture complexe de transformations [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer la nature et les éléments caractéristiques des transformations géométriques données par l'écriture complexe suivante : $$\begin{array}{ll} \mathbf 1.\ z\mapsto \frac 1iz&\mathbf 2.\ z\mapsto z+(2+i)\\ \mathbf 3.\ z\mapsto (1+i\sqrt 3)z+\sqrt 3(1-i)&\mathbf 4.\ z\mapsto (1+i\tan\alpha )z-i\tan\alpha,\ \alpha\in [0,\pi/2[. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit la figure suivante :
Le but de l'exercice est de démontrer que $\alpha+\beta+\gamma=\frac{\pi}{4}\ [2\pi]$. On se place dans le repère orthonormé direct $(A,\vec u,\vec v)$ de sorte que $\vec u=\overrightarrow{AB}$.
  1. Reproduire la figure et placer les points $E$ et $F$ sur $[DZ]$ tels que $\beta$ et $\gamma$ soient des mesures respectives de $(\vec u,\overrightarrow{AE})$ et $(\vec v,\overrightarrow{AF})$.
  2. Quelles sont les affixes des points $z_Z$, $Z_E$ et $z_F$?
  3. Démontrer que $z_Z\times z_E\times z_F=65(1+i)$.
  4. Conclure.
Corrigé
Exercice 30 - Une coquille d'escargot [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Dans le plan muni d'un repère orthonormal $(O,\vec i,\vec j)$, on note $A_0$ le point d'affixe 6 et $S$ la similitude de centre $O$, de rapport $\frac{\sqrt 3}2$ et d'angle $\frac\pi 6$. On pose $A_{n+1}=S(A_n)$ pour $n\geq 1$.
  1. Déterminer, en fonction de $n$, l'affixe du point $A_n$. En déduire que $A_{12}$ est sur la demi-droite $(O,\vec i)$.
  2. Établir que le triangle $OA_nA_{n+1}$ est rectangle en $A_{n+1}$.
  3. Calculer la longueur du segment $[A_0A_1]$. En déduire la longueur $\ell$ de la ligne polygonale $A_0A_1A_2\dots A_{12}.$
Indication
Corrigé
Enoncé
Pour chacune des conditions suivantes, déterminer le lieu géométrique des points $M$ dont l'affixe $z$ vérifie la condition.
  1. $I(i)$ et $M'(iz)$ sont alignés avec $M$; déterminer alors l'ensemble des points $M'$ correspondants;
  2. $\displaystyle \Re e\left(\frac{z-1}{z-i}\right)=0$;
  3. $M$, $P$ d'affixe $z^2$ et $Q$ d'affixe $z^3$ sont les sommets d'un triangle rectangle.
Indication
Corrigé
Exercice 32 - Points à coordonnées entières [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $ABCD$ un carré dans le plan complexe. Prouver que, si $A$ et $B$ sont à coordonnées entières, il en est de même de $C$ et $D$. Peut-on trouver un triangle équilatéral dont les trois sommets sont à coordonnées entières?
Indication
Corrigé
Exercice 33 - A partir des racines $n$-ièmes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $a$ un nombre complexe de module 1, $z_1,\dots,z_n$ les racines de l'équation $z^n=a$. Montrer que les points du plan complexe dont les affixes sont $(1+z_1)^n,\dots,(1+z_n)^n$ sont alignés.
Indication
Corrigé
Exercice 34 - Alignement de puissances [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Trouver tous les nombres complexes $z$ tels que $z$, $z^2$ et $z^4$ soient alignés.
Indication
Corrigé
Exercice 35 - Triangle équilatéral [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $A$, $B$ et $C$ trois points non alignés d'affixe $a$, $b$ et $c$. On note $j=e^{2i\pi/3}$.
  1. Montrer que le triangle $ABC$ est équilatéral direct si et seulement si $a+bj+cj^2=0$.
  2. On ne suppose pas nécessairement que $ABC$ est équilatéral. On construit à partir de ABC les trois triangles équilatéraux de base $AB$, $AC$ et $BC$ construits à l'extérieur du premier. Montrer que les centres de gravité de ces trois triangles forme un triangle équilatéral.
Indication
Corrigé
Exercice 36 - Triangle équilatéral [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Montrer que le triangle de sommets $M_1(z_1)$, $M_2(z_2)$ et $M_3(z_3)$ est équilatéral si et seulement si $$z_1^2+z_2^2+z_3^2=z_1z_2+z_1z_3+z_2z_3.$$
Indication
Corrigé
Consulter aussi