$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Exercices corrigés - Anneaux

Structure d'anneaux
Enoncé
Un élément $x$ d'un anneau $A$ est dit nilpotent s'il existe un entier $n\geq 1$ tel que $x^n=0$. On suppose que $A$ est commutatif, et on fixe $x,y$ deux éléments nilpotents.
  1. Montrer que $xy$ est nilpotent.
  2. Montrer que $x+y$ est nilpotent.
  3. Montrer que $1_A-x$ est inversible.
  4. Dans cette question, on ne suppose plus que $A$ est commutatif. Soit $u,v\in A$ tels que $uv$ est nilpotent. Montrer que $vu$ est nilpotent.
Indication
Corrigé
Enoncé
On dit qu'un anneau $A$ est un anneau de Boole si, pour tout $x\in A$, $x^2=x$. On fixe $A$ un tel anneau.
  1. Démontrer que, pour tout $x\in A$, $x=-x$.
  2. Montrer que $A$ est commutatif.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Endomorphisme de groupes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(G,+)$ un groupe commutatif. On note $\textrm{End}(G)$ l'ensemble des endomorphismes de $G$ sur lequel on définit la loi $+$ par $f+g:G\to G,\ x\mapsto f(x)+g(x)$. Démontrer que $(\textrm{End}(G),+,\circ)$ est un anneau.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Rationnels à dénominateur impair [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\displaystyle A=\left\{\frac mn;\ m\in\mathbb Z,\ n\in 2\mathbb N+1\right\}$ (c'est-à-dire que $A$ est l'ensemble des rationnels à dénominateur impair). Démontrer que $(A,+,\times)$ est un anneau. Quels sont ses éléments inversibles?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $\mathbb D$ l'ensemble des nombres décimaux, $$\mathbb D=\left\{\frac{n}{10^k};\ n\in\mathbb Z, k\in\mathbb N\right\}.$$ Démontrer que $(\mathbb D,+,\times)$ est un anneau. Quels sont ses éléments inversibles?
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère $\mathbb Z[\sqrt 2]=\{a+b\sqrt 2;\ a,b\in\mathbb Z\}$.
  1. Montrer que $(\mathbb Z[\sqrt 2],+,\times)$ est un anneau.
  2. On note $N(a+b\sqrt{2})=a^2-2b^2$. Montrer que, pour tous $x,y$ de $\mathbb Z[\sqrt 2]$, on a $N(xy)=N(x)N(y)$.
  3. En déduire que les éléments inversibles de $\mathbb Z[\sqrt 2]$ sont ceux s'écrivant $a+b\sqrt 2$ avec $a^2-2b^2=\pm 1$.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Caractéristique d'un anneau [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A$ un anneau. On appelle caractéristique de $A$ l'ordre de $1_A$ dans le groupe additif $(A,+)$. Dans la suite, on supposera que $A$ est de caractéristique finie $n$.
  1. Démontrer que, pour tout $x\in A$, $nx=0$.
  2. Démontrer que si $A$ est intègre, $n$ est un nombre premier.
  3. Démontrer que si $A$ est intègre et commutatif, alors $x\mapsto x^n$ est un morphisme d'anneaux.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Sous-anneaux de $\mathbb Z^2$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $d\in\mathbb N$, on note $A_d=\{(x,y)\in\mathbb Z^2;\ y-x\in d\mathbb Z\}$.
  1. Démontrer que, pour tout $d\in\mathbb N$, $A_d$ est un sous-anneau de $\mathbb Z^2$.
  2. Réciproquement, soit $A$ un sous-anneau de $\mathbb Z^2$. Démontrer que $H=\{x\in\mathbb Z;\ (x,0)\in A\}$ est un sous-groupe de $\mathbb Z$.
  3. En déduire qu'il existe $d\in\mathbb N$ tel que $A=A_d$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $A$ un anneau intègre commutatif fini. Démontrer que $A$ est un corps.
Indication
Corrigé
Idéaux
Enoncé
Soit $(A,+,\times)$ un anneau commutatif et $M$ une partie de $A$. On appelle annulateur de $M$ l'ensemble des $x\in A$ tels que $xy=0$ pour tout $y\in M$. Démontrer que l'annulateur de $M$ est un idéal de $(A,+,\times)$.
Corrigé
Enoncé
On appelle nilradical d'un anneau commutatif $(A,+,\times)$ l'ensemble de ses éléments nilpotents, c'est-à-dire l'ensemble des $x\in A$ pour lesquels il existe $n\geq 1$ de sorte que $x^n=0$. Démontrer que le nilradical de $A$ est un idéal de $A$.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Peu d'idéaux : c'est un corps! [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A$ un anneau commutatif.
  1. On suppose que $A$ n'admet que les idéaux triviaux $\{0\}$ et $A$. Démontrer que $A$ est un corps.
  2. On suppose que $A$ est intègre et qu'il n'admet qu'un nombre fini d'idéaux. Démontrer que $A$ est un corps.
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Suites croissantes d'id'éaux de $\mathbb K[X]$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(I_n)$ une suite croissante d'idéaux de $\mathbb K[X]$. Démontrer que la suite $(I_n)$ est stationnaire.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(A,+,\times)$ un anneau commutatif. Si $I$ et $J$ sont deux idéaux de $A$, on note \begin{eqnarray*} I+J&=&\left\{i+j;\ i\in I,\ j\in J\right\}\\ I.J&=&\left\{i_1j_1+\dots+i_nj_n;\ n\geq 1,\ i_k\in I,\ j_k\in J\right\} \end{eqnarray*} On dit que deux idéaux $I$ et $J$ sont étrangers si $I+J=A$.
  1. Montrer que $I+J$ et $IJ$ sont encore des idéaux de $A$.
  2. Montrer que $I.J\subset I\cap J$.
  3. Montrer que $(I+J).(I\cap J)\subset I.J$.
  4. Montrer que si $I$ et $J$ sont étrangers, alors $I.J=I\cap J$.
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Idéaux de $\mathbb Z_p$. [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $p$ un nombre premier. On note $$\mathbb Z_p=\left\{x=\frac {m}n;\ (m,n)\in\mathbb Z\times \mathbb N^*,\ p\wedge n=1\right\}.$$
  1. Vérifier que $\mathbb Z_p$ est un sous-anneau de $(\mathbb Q,+,\times)$.
  2. Soit $k\geq 0$. On note $$J_{p^k}=\left\{\frac mn;\ (m,n)\in\mathbb Z\times \mathbb N^*,\ p\wedge n=1,\ p^k| m\right\}.$$ Vérifier que $J_{p^k}$ est un idéal de $\mathbb Z_p$.
  3. Réciproquement, montrer que si $I$ est un idéal de $A$, il existe $k\geq 1$ tel que $I=J_{p^k}$.
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Idéaux de l'anneau de Boole [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $E$ un ensemble fini et $A=\mathcal P(E)$.
  1. Montrer que $(A,\Delta,\cap)$ est un anneau commutatif. Est-il intègre?
  2. Soit $E'\subset E$. Démontrer que $I=\mathcal P(E')$ est un idéal de $A$.
  3. Réciproquement, soit $I$ un idéal de $A$. Prouver que $$\left\{\begin{array}{ll} \forall X\in I,\ \forall Y\subset X,\ Y\in I\\ \forall X\in I,\ \forall Y\in I,\ X\cup Y\in I. \end{array}\right. $$
  4. En déduire qu'il existe $E'\subset E$ tel que $I=\mathcal P(E')$.
  5. Si $E$ est infini, démontrer que l'ensemble des parties finies de $E$ forme un idéal de $A$ qui n'est pas de la forme $\mathcal P(E)$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $A$ un anneau commutatif (unitaire). Si $I$ est un idéal de $A$, on appelle radical de I l'ensemble $\sqrt{I}=\{x\in A;\ \exists n\geq 1,\ x^n\in I\}$.
  1. Montrer que $\sqrt{I}$ est un idéal de $A$.
  2. Soient $I,J$ deux idéaux de $A$ et $p\geq 1$. Montrer que $$\sqrt{I.J}=\sqrt{I\cap J}=\sqrt{I}\cap \sqrt{J},\ \sqrt{\sqrt{I}}=\sqrt{I}\textrm{ et }\sqrt{I^p}=\sqrt{I}.$$
  3. Si $A=\mathbb Z$ et $I=k\mathbb Z$, $k\geq 1$, déterminer le radical de $I$.
Indication
Corrigé
Exercice 18 - Idéaux premiers - idéaux maximaux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A$ un anneau commutatif. On dit qu'un idéal $I$ est premier si $xy\in I\implies x\in I$ ou $y\in I$. On dit que $I$ est maximal si, pour tout idéal $J$ de $A$ tel que $I\subset J$, on a $J=I$ ou $J=A$.
  1. Déterminer les idéaux premiers de $\mathbb Z$.
  2. Soit $I$ un idéal et $x\in A\backslash I$. Soit $J$ l'idéal engendré par $I$ et $x$. Montrer que $$J=\left\{a\in A;\ \exists i\in I,\ \exists k\in A,\ a=i+kx\right\}.$$
  3. En déduire que tout idéal maximal est premier.
  4. Montrer que si tous les idéaux de $A$ sont premiers, alors $A$ est un corps.
  5. Montrer que si $A$ est principal, tout idéal premier est maximal.
  6. (pour ceux qui savent quotienter par un idéal) Soit $I$ un idéal de $A$. Montrer que $I$ est premier si et seulement si $A/I$ est intègre. Montrer que $I$ est maximal si et seulement si $A/I$ est un corps. En déduire une autre preuve que $I$ maximal entraine $I$ premier.
Indication
Corrigé
Anneaux principaux
Exercice 19 - $\mathbb Z^2$ est principal [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On souhaite étudier dans cet exercice les idéaux de $\mathbb Z^2$.
  1. Soit $I$ un anneau de $\mathbb Z^2$ et $I_1=\{x\in\mathbb Z;\ (x,0)\in I\}$, $I_2=\{y\in\mathbb Z;\ (0,y)\in I\}$. Démontrer que $I_1$ et $I_2$ sont deux idéaux de $\mathbb Z$.
  2. Démontrer que $I=I_1\times I_2$.
  3. Conclure.
Indication
Corrigé
Exercice 20 - L'anneau des nombres décimaux est principal [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(\mathbb D,+,\times)$ l'anneau des nombres décimaux, c'est-à-dire l'ensemble des nombres de la forme $\frac{n}{10^k}$, avec $n\in\mathbb Z$ et $k\in\mathbb N$. Démontrer que cet anneau est principal.
Indication
Corrigé
Exercice 21 - $\mathbb Z/n\mathbb Z$ est principal [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n\geq 2$. Démontrer que l'anneau $\mathbb Z/n\mathbb Z$ est principal.
Indication
Corrigé
Exercice 22 - Anneau des entiers de Gauss [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\mathbb Z[i]=\{a+ib;\ a,b\in\mathbb Z^2\}$.
  1. Démontrer que $\mathbb Z[i]$ est un sous-anneau de $(\mathbb C,+,\times)$.
  2. Quels sont les éléments inversibles de $\mathbb Z[i]$?
  3. Soit $z\in\mathbb C$. Démontrer qu'il existe $\omega\in \mathbb Z[i]$ tel que $|z-\omega|<1$.
  4. Soient $u,v\in\mathbb Z[i]$ avec $v\neq 0$. Démontrer qu'il existe $q,r\in \mathbb Z[i]$ avec $u=qv+r$ et $|r|<|v|$. A-t-on unicité?
  5. Démontrer que $\mathbb Z[i]$ est principal.
Indication
Corrigé
Exercice 23 - Suite d'idéaux et anneau principal [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A$ un anneau principal.
  1. On suppose que toute suite décroissante (pour l'inclusion) d'idéaux de $A$ est stationnaire. Montrer que $A$ est un corps.
  2. Démontrer que toute suite croissante (pour l'inclusion) d'idéaux de $A$ est stationnaire.
Indication
Corrigé
Algèbre
Exercice 24 - Algèbre des matrices qui commutent avec une autre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$. On note $C=\{M\in\mathcal M_n(\mathbb R);\ AM=MA\}$. Montrer que $C$ est une algèbre.
Indication
Corrigé
Exercice 25 - Une algèbre de matrices [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $a,b,c\in\mathbb R$, on note $$M(a,b,c)=\left(\begin{array}{ccc} a&b&c\\ c&a&b\\ b&c&a \end{array}\right)$$ et $E=\{M(a,b,c);\ a,b,c\in \mathbb R\}$. Démontrer que $E$ une algèbre, et en donner une base en tant qu'espace vectoriel.
Indication
Corrigé
Exercice 26 - Algèbres commutatives intègres de dimension finie sur $\mathbb R$. [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $A$ une algèbre commutative intègre de dimension finie $n\geq 2$ sur $\mathbb R$. On identifie $\mathbb R$ avec $\mathbb R.1$, où $1$ est l'élément neutre de $A$ pour la multiplication.
  1. Démontrer que tout $a\in A$ non-nul est inversible.
  2. Soit $a\in A$ et non dans $\mathbb R=\textrm{vect}(1)$. Prouver que la famille $(1,a)$ est libre, tandis que la famille $(1,a,a^2)$ est liée.
  3. En déduire l'existence de $i\in \textrm{vect}(1,a)$ tel que $i^2=-1$.
  4. En déduire que $\dim(A)=2$.
  5. En déduire que $A$ est isomorphe à $\mathbb C$.
Indication
Corrigé