$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Méthodes : Suites et séries de fonctions

Démontrer qu'une suite de fonctions $(f_n)$ converge uniformément vers $f$
  Pour démontrer qu'une suite de fonctions $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $I$, on peut :
  • étudier les variations de la fonction $f_n-f$ sur $I$ (en la dérivant par exemple) afin de déterminer $\sup_{x\in I}|f_n(x)-f(x)|$ et de démontrer que cette quantité tend vers 0 (voir cet exercice);
  • majorer directement $|f_n(x)-f(x)|$ pour tout $x\in I$ par une quantité qui ne dépend plus de $x$ et qui tend vers 0 (voir cet exercice).
Démontrer qu'une suite de fonctions $(f_n)$ ne converge pas uniformément vers $f$
  Pour démontrer qu'une suite de fonctions $(f_n)$ ne converge pas uniformément vers $f$ sur $I$, on peut :
  • étudier les variations de la fonction $f_n-f$ sur $I$ (en la dérivant par exemple) afin de déterminer $\sup_{x\in I}|f_n(x)-f(x)|$ et de démontrer que cette quantité ne tend pas vers 0 (voir cet exercice);
  • trouver une suite $(x_n)$ de $I$ telle que $(f(x_n)-f_n(x_n))$ ne tend pas vers zéro (voir cet exercice);
  • nier le fait que la convergence uniforme préserve la continuité : si tous les $f_n$ sont continues sur $I$ et que $f$ ne l'est pas, alors la convergence ne saurait être uniforme (voir cet exercice);
  • nier le fait que la convergence uniforme permet d'échanger passage à la limite et intégration sur un segment (voir cet exercice).
Démontrer qu'une série de fonctions converge normalement sur $I$
  Pour démontrer qu'une série de fonctions $\sum_n u_n$ converge normalement sur $I$, on majore pour tout $x\in I$ le terme général $|u_n(x)|$ par un réel $a_n$ (qui ne dépend pas de $x$!) et telle que la série $\sum_n a_n$ converge. Pour majorer $|u_n(x)|$, on peut ou bien étudier les variations de $u_n$ ou bien majorer directement (voir cet exercice).
Démontrer quune série de fonctions ne converge pas normalement sur $I$
  Pour démontrer qu'une série de fonctions $\sum_n u_n$ ne converge pas normalement sur $I$, on peut
  • calculer $\|u_n\|_\infty$ et démontrer que $\sum_n \|u_n\|_\infty$ diverge (voir cet exercice);
  • trouver une suite $(x_n)$ de $I$ telle que $\sum_n |u_n(x_n)|$ diverge;
  • démontrer que la série $\sum_n u_n$ ne converge pas uniformément sur $I$ (voir cet exercice);
  • démontrer que la série $\sum_n |u_n(x)|$ ne converge pas pour un certain $x\in I$ (voir cet exercice).
Démontrer qu'une série de fonctions converge uniformément sur $I$
  Pour démontrer qu'une série de fonctions $\sum_n u_n$ converge normalement sur $I$, on peut
  • démontrer la convergence normale (voir cet exercice);
  • utiliser le critère des séries alternées, qui donne aussi une majoration du reste de la série (voir cet exercice);
  • majorer directement le reste par une méthode dépendant de l'exercice, par exemple par comparaison à une intégrale ou en utilisant une série géométrique (voir cet exercice).
Démontrer qu'une série de fonctions ne converge pas uniformément sur $I$
  Pour démontrer qu'une série de fonctions $\sum_n u_n$ ne converge pas uniformément sur $I$, on peut
  • utiliser des propriétés qualitatives : si par exemple tous les $u_n$ sont continues et qu'on peut prouver que $\sum_n u_n$ n'est pas continue, la convergence ne peut pas être uniforme (voir cet exercice);
  • trouver des suites d'entiers $(p_n)$ et $(q_n)$ et une suite $(x_n)$ de $I$ tels que $\left|\sum_{k=p_n}^{q_n}u_k(x_n)\right|\geq a$ où $a$ est un réel strictement positif; modulo l'inégalité triangulaire, ceci contredit la convergence uniforme (voir cet exercice);
  • minorer directement la norme infinie du reste par quelque chose qui ne tend pas vers $0$ (voir cet exercice).
Étudier la convergence uniforme d'une série trigonométrique
  Pour étudier la convergence uniforme d'une série trigonométrique du type $\sum_n \frac{\cos(n\theta)}{n^\alpha}$ ou $\sum_n \frac{e^{in\theta}}{n^\alpha}$, lorsque la convergence absolue n'est pas suffisante, on réalise souvent une transformation d'Abel (voir cet exercice). Pour cela, on écrit le terme général comme un produit $u_nv_n$ (ici, $u_n=\cos(n\theta)$ par exemple et $v_n=\frac1{n})$ et on introduit la somme $s_n=\sum_{k=1}^n u_k$. On écrit ensuite que $u_k=s_k-s_{k-1}$ et on introduit la transformation suivante : $$\sum_{k=1}^n u_kv_k=\sum_{k=1}^n (s_k-s_{k-1})v_k=s_n v_n+\sum_{k=1}^{n-1}s_k(v_k-v_{k-1}).$$ Le plus souvent, on peut conclure car on sait que $(s_k)$ est une suite bornée (dans le cas trigonométrique, on sait calculer cette somme) et que $v_k-v_{k-1}$ est petit (par exemple, si $v_k=\frac 1k$, $v_k-v_{k-1}\sim\frac 1{k^2}$.
Étudier la régularité de la somme d'une série
  Pour étudier la régularité de la somme d'une série $\sum_n u_n$, on applique les théorèmes du cours concernant le caractère continu, dérivable,... de la somme d'une série. On peut aussi "localiser" les hypothèses. Par exemple, pour démontrer la continuité de $\sum_n u_n$ sur $\mathbb R$, sous l'hypothèse que chaque $u_n$ est continue, il suffit de prouver la convergence sur tous les intervalles du type $[a,b]$, avec $a<b$ arbitraires. Pour prouver la continuité sur $]0,+\infty[$, il suffit de démontrer la convergence uniforme sur tous les intervalles du type $[a,b]$ avec $a>0$.
Étudier la monotonie de la somme d'une série
  Pour étudier la monotonie de la somme d'une série $\sum_n u_n$, on peut
  • étudier si chaque $u_n$ est monotone. Si par exemple tous les $u_n$ sont croissantes, alors la somme l'est aussi (voir cet exercice).
  • étudier le signe de la dérivée si on peut dériver terme à terme. Le critère des série alternées permet parfois de connaitre le signe de cette dérivée (voir cet exercice).
Étudier la limite aux bornes d'une fonction définie comme la somme d'une série
  Pour étudier la limite aux bornes (par exemple en $+\infty$) de la somme d'une série $\sum_n u_n$, on peut
  • utiliser le théorème de la double limite en cas de convergence uniforme sur tout l'intervalle (voir cet exercice);
  • si la série est une série alternée, on peut utiliser le critère des séries alternées pour encadrer la somme par deux sommes partielles consécutives (par exemple la première et la deuxième) et appliquer le théorème des gendarmes (voir cet exercice);
  • encadrer la somme en utilisant une comparaison à une intégrale (voir cet exercice);
  • pour montrer que la limite vaut $+\infty$, minorer la somme par une somme partielle, puis prendre la limite. Cela fonctionne si la limite de la somme partielle peut-être rendue arbitrairement grande (voir cet exercice).