$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Méthodes : Séries numériques

Démontrer qu'une série à termes positifs converge
  Pour démontrer qu'une série $\sum_n u_n$ converge, où la suite $(u_n)$ est une suite de réels positifs, on peut
  • trouver une suite $(v_n)$ dont la convergence de la série $\sum_n v_n$ est connue (par exemple, $v_n=\frac1{n^{\alpha}}$ avec $\alpha>1$ ou $v_n=a^n$ avec $0<a<1$) telle que $u_n\sim_{+\infty}v_n$. Pour obtenir un tel équivalent, on pourra notamment utiliser des développements limités (voir cet exercice).
  • trouver une suite $(v_n)$ dont la convergence de la série $\sum_n v_n$ est connue telle que $0\leq u_n\leq v_n$ (voir cet exercice ou cet exercice).
  • démontrer que les sommes partielles sont majorées (voir cet exercice).
  • utiliser le critère de d'Alembert, particulièrement approprié si la fonction comporte beaucoup de puissances ou de factorielles (voir cet exercice).
Démontrer qu'une série à termes positifs diverge
  Pour démontrer qu'une série $\sum_n u_n$ diverge, où la suite $(u_n)$ est une suite de réels positifs, on peut
  • trouver une suite $(v_n)$ dont la divergence de la série $\sum_n v_n$ est connue (par exemple, $v_n=\frac1{n^{\alpha}}$ avec $\alpha\leq 1$ ou $v_n=a^n$ avec $a\geq 1$) telle que $u_n\sim_{+\infty}v_n$. Pour obtenir un tel équivalent, on pourra notamment utiliser des développements limités (voir cet exercice);
  • trouver une suite $(v_n)$ dont la divergence de la série $\sum_n v_n$ est connue telle que $0\leq v_n\leq u_n$;
  • démontrer que le terme général ne tend pas vers 0;
  • utiliser le critère de d'Alembert, particulièrement approprié si la fonction comporte beaucoup de puissances ou de factorielles (voir cet exercice).
Démontrer qu'une série à terme quelconque converge ou diverge
  Pour étudier la nature d'une série $\sum_n u_n$ où la suite $(u_n)$ n'est pas forcément de signe constant, on peut
  • étudier la convergence absolue (voir cet exercice). Attention, la convergence absolue n'est qu'une condition suffisante de convergence;
  • démontrer que le terme général ne tend pas vers 0 (attention, ceci n'est qu'une condition suffisante de divergence);
  • utiliser le critère des séries alternées;
  • à l'aide de développements limités, décomposer le terme général $u_n$ sous la forme $u_n=v_n+O(w_n)$, où on sait étudier la nature des séries $\sum_n v_n$, et où on sait que la série $\sum_n w_n$ est absolument convergente. Dans ce cas, la série $\sum_n u_n$ aura le même comportement que la série $\sum_n v_n$ (voir cet exercice).
Etudier la convergence d'une série $\sum_n \frac{\cos(n\theta)}{n^\alpha}$ ou $\sum_n \frac{e^{in\theta}}{n^\alpha}$
  Pour étudier une série du type $\sum_n \frac{\cos(n\theta)}{n^\alpha}$ ou $\sum_n \frac{e^{in\theta}}{n^\alpha}$, lorsque la convergence absolue n'est pas suffisante, on réalise souvent une transformation d'Abel (voir cet exercice). Pour cela, on écrit le terme général comme un produit $u_nv_n$ (ici, $u_n=\cos(n\theta)$ par exemple et $v_n=\frac1{n})$ et on introduit la somme $s_n=\sum_{k=1}^n u_k$. On écrit ensuite que $u_k=s_k-s_{k-1}$ et on introduit la transformation suivante : $$\sum_{k=1}^n u_kv_k=\sum_{k=1}^n (s_k-s_{k-1})v_k=s_n v_n+\sum_{k=1}^{n-1}s_k(v_k-v_{k-1}).$$ Le plus souvent, on peut conclure car on sait que $(s_k)$ est une suite bornée (dans le cas trigonométrique, on sait calculer cette somme) et que $v_k-v_{k-1}$ est petit (par exemple, si $v_k=\frac 1k$, $v_k-v_{k-1}\sim\frac 1{k^2}$.
Encadrer des sommes finies ou infinies, des restes
  
  • Pour encadrer des sommes finies ou infinies du type $\sum_n f(n)$, dans le cas où $f$ est monotone, on peut utiliser un encadrement de $f(n)$ par $\int_n^{n+1}f(t)dt$ et $\int_{n-1}^n f(t)dt$, sommer les intégrales par la relation de Chasles, et calculer l'intégrale correspondante (voir cet exercice ou cet exercice);
  • Pour majorer un reste $\sum_{n\geq p}u_n$, lorsque $u_n\geq 0$, on peut trouver une suite $(v_n)$ de sorte que $u_n\leq v_n$ et on sait majorer le reste $\sum_{n\geq p}v_n$ (voir cet exercice);
  • Le critère des séries alternées fournit lui aussi une majoration du reste;
  • pour avoir un équivalent du reste, on peut penser au théorème de sommation des relations de comparaison (voir cet exercice).
Étudier une suite à l'aide des séries
  Pour étudier la convergence de la suite $(u_n)$, on peut étudier la convergence de la série $\sum_n (u_{n+1}-u_n)$.
Étudier une suite à l'aide des séries
  Pour étudier la convergence de la suite $(u_n)$, on peut étudier la convergence de la série $\sum_n (u_{n+1}-u_n)$.