$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Méthodes : polynômes et fractions rationnelles

Trouver le reste dans la division euclidienne
  Pour trouver le reste de la division euclidienne de $A$ par $B$, on peut :
  • écrire le résultat de la division euclidienne $A=BQ+R$, en écrivant formellement $R=\sum_{n=0}^p a_nX^n$;
  • Évaluer l'équation $A=BQ+R$ en les racines de $B$;
  • On trouve alors un système linéaire vérifié par les coefficients de $R$;
  • Si $B$ est scindé, il y a autant d'équations que d'inconnues et on résoud le système;
  • Sinon, on dérive l'équation $A=BQ+R$, et on évalue l'équation aux racines doubles de $B$;
  • Et ainsi de suite si on des racines d'ordre 3,4,…
(voir cet exercice, celui-ci ou celui-là).
Démontrer que $A$ divise $B$
  Pour démontrer que $A$ divise $B$, on peut
  • Effectuer la division euclidienne de $A$ par $B$ et démontrer que le reste est nul (voir cet exercice).
  • Si $B$ est scindé, vérifier que toute racine $x$ de $B$ de multiplicité $m$ est racine de $A$ de multiplicité $m'\geq m$, par exemple en vérifiant que $A(a)=A'(a)=\dots=A^{(m-1)}(a)=0$ (voir cet exercice).
Décomposer un polynôme en produit d'irréductibles sur $\mathbb C$
  Pour décomposer un polynôme $P$ en produits d'irréductibles de $\mathbb C[X]$, on cherche les racines de $P$ (voir cet exercice).
Décomposer un polynôme en produit d'irréductibles sur $\mathbb R$
  Pour décomposer un polynôme $P\in\mathbb R[X]$ en produits d'irréductibles de $\mathbb R[X]$, on peut commencer par le décomposer en produits d'irréductibles de $\mathbb C$, puis regrouper les facteurs correspondants à deux racines non réelles conjuguées (voir cet exercice).
Propriétés sur les racines
  Pour démontrer des propriétés sur les racines d'un polynôme, ou utiliser des propriétés connues sur les racines d'un polynôme, on utilise très souvent les relations entre les coefficients et les racines d'un polynôme (voir cet exercice, celui-ci ou celui-là).
Pratique de la décomposition en éléments simples
  Pour décomposer une fraction rationnelle en éléments simples,
  • on l'écrit sous forme irréductible $P/Q$;
  • on calcule la partie entière de la fraction rationnelle;
  • on écrit à priori la décomposition en éléments simples;
  • on exploite éventuellement la parité de la fraction rationnelle;
  • pour un pôle $a$ d'ordre $m$, le terme devant $\frac{1}{(X-a)^m}$ s'obtient en calculant $$\lim_{x\to a}\frac{P(a)}{(x-a)^m Q(x)}.$$ En particulier, si $a$ est un pôle simple, alors le terme devant $\frac{1}{X-a}$ est $P(a)/Q'(a)$.
  • Cas particulier : Si $P$ est un polynôme scindé possédant $p$ racines $\alpha_i$ d'ordres respectifs $m_i$, alors la décomposition en éléments simples de $\frac{P'}P$ est $$\frac{P'}{P}=\sum_{i=1}^p \frac{m_i}{X-\alpha_i}.$$