$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Agrégation interne : suites numériques

Pour réviser
Enoncé
Etudier les suites $(u_n)$ définies par $$\begin{array}{lcl} \displaystyle 1.\ \sum_{k=1}^n \frac{n}{n+k}&&\displaystyle 2.\ u_n=\sum_{k=0}^{2n+1}\frac n{n^2+k}. \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ les deux suites définies pour $n\geq 1$ par : $$u_n=\sum_{k=0}^n\frac{1}{k!},\ \ v_n=u_n+\frac{1}{n\times n!}.$$
  1. Montrer que les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont adjacentes. On note $e$ leur limite commune.
  2. Montrer que, pour tout $n\in\mathbb N^*$, $n! u_n< n! e < n!u_n+\frac 1n.$
  3. En déduire que $e$ est un nombre irrationnel (on pourra procéder par l'absurde).
  4. Écrire un algorithme donnant un encadrement de $e$ avec un écart inférieur strict à $a$, $a$ étant un réel entré par l'utilisateur.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Fonction croissante - avec indications [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère la suite récurrente $u_{n+1}=f(u_n)$ avec $f(x)=x^2+\frac{3}{16}$ et $u_0\geq 0$.
  1. Étudier $f$ et le signe de $f(x)-x$. Quelles sont les limites possible de $(u_n)$?
  2. On suppose $u_0\in[0,1/4]$. Montrer que $u_n\in[0,1/4]$ pour tout $n$, puis que $(u_n)$ est croissante. Quelle est la nature de $(u_n)$ (si elle est convergente, préciser sa limite)?
  3. On suppose $u_0\in[1/4;3/4]$. Montrer que $(u_n)$ est décroissante et minorée. Quelle est la nature de $(u_n)$ (si elle est convergente, préciser sa limite)?
  4. On suppose $u_0>3/4$. Montrer que $(u_n)$ est croissante. Quelle est la nature de $(u_n)$ (si elle est convergente, préciser sa limite)?
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Fonction décroissante - avec indications [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:]0,+\infty[\to]0,+\infty[$ définie par $f(x)=1+\frac{2}{x}$. On considère la suite récurrente $(u_n)$ vérifiant $u_{n+1}=f(u_n)$ et $u_0=1$.
  1. Étudier le sens de variation de $f$ sur $[1,3]$ et montrer que l'intervalle $[1,3]$ est stable par $f$. Que peut-on en déduire sur $(u_n)$?
  2. Soient $(v_n)$ et $(w_n)$ les suites définies par $v_{n}=u_{2n}$ et $w_n=u_{2n+1}$. Montrer que $(v_n)$ est croissante.
  3. Démontrer que $(w_n)$ est décroissante.
  4. En déduire que $(v_n)$ et $(w_n)$ sont convergentes et déterminer leur limite respective.
  5. Quelle est la nature de la suite $(u_n)$?
Indication
Corrigé
Enoncé
Soient $x$ et $y$ deux nombres réels strictement positifs. On définit :
  • leur moyenne arithmétique, notée $m$, par la relation $m=\frac{x+y}{2}$;
  • leur moyenne géométrique, notée $g$, par la relation $g=\sqrt{xy}$;
  • leur moyenne harmonique, notée $h$, par la relation $\frac 1h=\frac12\left(\frac 1x+\frac 1y\right)$.
  1. Montrer que $h\leq g\leq m$ et vérifier que $\sqrt{mh}=g$.
  2. On définit deux suites $u$ et $v$ par récurrence par la donnée de $u_0$ et $v_0$, avec $0<v_0\leq u_0$, et par les relations de récurrence suivante :
    • $u_{n+1}$ est la moyenne arithmétique de $u_n$ et $v_n$;
    • $v_{n+1}$ est la moyenne harmonique de $u_n$ et $v_n$.
    1. Montrer que pour tout $n\in\mathbb N$, on a $0<v_n\leq u_n$.
    2. Montrer que la suite $u$ est décroissante et que la suite $v$ est croissante.
    3. Montrer que les deux suites $u$ et $v$ convergent vers la même limite notée $l$.
    4. Montrer que $l$ est la moyenne géométrique de $u_0$ et $v_0$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite à termes réels strictement positifs telle que $\left(\frac{u_{n+1}}{u_n}\right)$ converge vers un réel $l$.
  1. On suppose $l<1$ et on fixe $\varepsilon>0$ tel que $l+\varepsilon<1$.
    1. Démontrer qu'il existe un entier $n_0$ tel que, pour $n\geq n_0$, on a $$u_n\leq (l+\varepsilon)^{n-n_0}u_{n_0}.$$
    2. En déduire que $(u_n)$ converge vers 0.
  2. On suppose $l>1$. Démontrer que $(u_n)$ converge vers $+\infty$.
  3. Étudier le cas $l=1$.
Indication
Corrigé
Pour progresser
Exercice 7 - Suites extraites vérifiant certaines propriétes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite de nombre réels.
  1. On suppose que $(u_n)$ est croissante et qu'elle admet une suite extraite convergente. Que dire de $(u_n)$?
  2. On suppose que $(u_n)$ est croissante et qu'elle admet une suite extraite majorée. Que dire de $(u_n)$?
  3. On suppose que $(u_n)$ n'est pas majorée. Montrer qu'elle admet une suite extraite qui diverge vers $+\infty$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(u_n)_{n\geq 1}$ une suite réelle. On pose $S_n=\frac{u_1+\dots+u_n}{n}$.
  1. On suppose que $(u_n)$ converge vers 0. Soient $\veps>0$ et $n_0\in\mathbb N$ tel que, pour $n\geq n_0$, on a $|u_n|\leq\veps$.
    1. Montrer qu'il existe une constante $M$ telle que, pour $n\geq n_0$, on a $$|S_n|\leq \frac{M(n_0-1)}{n}+\veps.$$
    2. En déduire que $(S_n)$ converge vers 0.
  2. On suppose que $u_n=(-1)^n$. Que dire de $(S_n)$? Qu'en déduisez-vous?
  3. On suppose que $(u_n)$ converge vers $l$. Montrer que $(S_n)$ converge vers $l$.
  4. On suppose que $(u_n)$ tend vers $+\infty$. Montrer que $(S_n)$ tend vers $+\infty$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite bornée de nombre réels. Pour tout $n\in\mathbb N$, on pose $$x_n=\inf\{u_p;\ p\geq n\}\textrm{ et }y_n=\sup\{u_p;\ p\geq n\}.$$
  1. Pourquoi les suites $(x_n)$ et $(y_n)$ sont-elles bien définies?
  2. Déterminer les suites $(x_n)$ et $(y_n)$ dans les cas suivants : $$\mathbf a.\ u_n=(-1)^n\quad \mathbf b.\ u_n=1-\frac1{n+1}.$$
  3. Démontrer que $(x_n)$ est croissante, que $(y_n)$ est décroissante. En déduire que ces deux suites sont convergentes. On notera $\alpha=\lim_{n\to+\infty} x_n$ et $\beta=\lim_{n\to+\infty}y_n$.
  4. Démontrer que $\alpha\leq \beta$.
  5. Démontrer que si $\alpha=\beta$, alors la suite $(u_n)$ converge.
  6. Démontrer que si $(u_n)$ admet une sous-suite convergeant vers un réel $\ell$, alors $\alpha\leq \ell\leq \beta$.
  7. Démontrer que, pour tout $\veps>0$ et pour tout $n\in\mathbb N$, il existe $p\geq n$ tel que $$y_n-\veps\leq u_p\leq y_n.$$
  8. Démontrer que, pour tout $\veps>0$ et pour tout $p_0\in\mathbb N$, il existe $p\geq p_0$ tel que $$\beta-2\veps\leq u_p\leq \beta+2\veps.$$
  9. En déduire qu'il existe une sous-suite de $(u_n)$ qui converge vers $\beta$.
  10. Quel théorème vient-on de redémontrer?
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Racine d'une équation polynomiale [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Démontrer pour tout entier $n\geq 1$ l'existence d'une unique solution réelle positive ou nulle de l'équation $$x^n+x^{n-1}+\dots+x-1=0.$$ Cette solution est notée $u_n$. Démontrer que l'on a $0\leq u_n\leq 1$.
  2. Démontrer que la suite $(u_n)$ est strictement décroissante.
  3. Démontrer que, pour tout entier $n\geq 1$, on a $$u_n^{n+1}-2u_n+1=0.$$
  4. Démontrer que la suite $(u_n)$ tend vers $1/2$.
  5. Écrire un algorithme qui, pour un entier $p\geq 1$ donné, permet de déterminer le plus petit entier $s$ pour lequel on a $$0<u_s-\frac 12\leq 10^{-p}.$$ On pourra utiliser les fonctions $g_n$ définies par $$g_n(x)=(x-1)\left(1+x+\dots+x^{n}-1\right).$$
  6. Pour $n\geq 1$, on pose $\veps_n=u_n-\frac 12$. Démontrer que $(n\veps_n)$ tend vers 0 lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
  7. Déduire de la question précédente et de la question 3. le développement asymptotique suivant de $u_n$ : $$u_n=\frac 12+\frac{1}{4\cdot 2^n}+o\left(\frac 1{2^n}\right).$$
Indication
Corrigé