$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Agrégation interne : suites et séries de fonctions

Pour réviser
Enoncé
Soit $a\geq 0$. On définit la suite de fonctions $(f_n)$ sur $[0,1]$ par $f_n(x)=n^a x^n(1-x)$. Montrer que la suite $(f_n)$ converge simplement vers 0 sur $[0,1]$, mais que la convergence est uniforme si et seulement si $a<1.$
Indication
Corrigé
Enoncé
On définit une suite de fonction $(f_n)_{n\in\mathbb N}$ sur $[0,1]$ par $f_n(x)=\frac{x}{1+n^2x^2}$. Montrer que
  • $(f_n)$ converge uniformément sur $[0,1]$ vers une fonction dérivable $f$;
  • $(f_n')$ converge simplement sur $[0,1]$ vers une fonction $g$;
  • $f'\neq g$.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Exemples et contre-exemples [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $x\geq 0$, on pose $u_n(x)=\frac{x}{n^2+x^2}.$
  1. Montrer que la série $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ converge simplement sur $\mathbb R_+$.
  2. Montrer que la série $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ converge uniformémement sur tout intervalle $[0,A]$, avec $A>0$.
  3. Vérifier que, pour tout $n\in\mathbb N$, $\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{n}{n^2+k^2}\geq\frac 15$.
  4. En déduire que la série $\sum_{n\geq 1}u_n$ ne converge pas uniformément sur $\mathbb R_+$.
  5. Montrer que la série $\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n u_n$ converge uniformément sur $\mathbb R_+$.
  6. Montrer que la série $\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n u_n$ converge normalement sur tout intervalle $[0,A]$, avec $A>0$.
  7. Montrer que la série $\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^n u_n$ ne converge pas normalement sur $\mathbb R_+$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère la série de fonctions $S(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{x+n}$.
  1. Prouver que $S$ est définie sur $I=]-1,+\infty[$.
  2. Prouver que $S$ est continue sur $I$.
  3. Prouver que $S$ est dérivable sur $I$, calculer sa dérivée et en déduire que $S$ est croissante sur $I$.
  4. Quelle est la limite de $S$ en $-1$? en $+\infty$?
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Limite uniforme de polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction et $(P_n)$ une suite de fonctions polynomiales convergeant uniformément vers $f$.
  1. Justifier qu'il existe un entier $N$ tel que, pour tout $n\geq N$, on ait $|P_n(x)-P_N(x)|\leq 1$.
  2. Que dire du polynôme $P_n-P_N$?
  3. En déduire que $f$ est nécessairement un polynôme.
Indication
Corrigé
Enoncé
On appelle fonction $\zeta$ de Riemann la fonction de la variable $s\in\mathbb R$ définie par la formule $$\zeta(s)=\sum_{n\geq 1}\frac1{n^s}.$$
  1. Donner le domaine de définition de $\zeta$ et démontrer qu'elle est strictement décroissante sur celui-ci.
  2. Prouver que $\zeta$ est continue sur son domaine de définition.
  3. Déterminer $\lim_{s\to+\infty}\zeta(s)$.
  4. Montrer que pour tout entier $k\geq 1$ et tout $s>0$, on a $$\frac{1}{(k+1)^s}\leq\int_{k}^{k+1}\frac{dx}{x^s}\leq\frac1{k^s}.$$ En déduire que $\zeta(s)\sim_{1^+}\frac{1}{s-1}$.
  5. Démontrer que $\zeta$ est convexe.
  6. Tracer la courbe réprésentative de $\zeta$.
Indication
Corrigé
Pour progresser
Exercice 7 - Convergence uniforme et continuité uniforme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que la limite uniforme d'une suite de fonctions uniformément continues est elle-même uniformément continue.
Indication
Corrigé
Enoncé
Pour $x \geq 0$ et $n \geq 1$, on pose $f_n(x) = \dfrac x{\sqrt{n}(x+n)}$.
  1. Montrer que la série de fonctions de terme général $f_n$ est simplement convergente sur $\mathbb R_+$. On note $f$ sa somme.
  2. Montrer que la série de fonctions de terme général $f_n$ est normalement convergente sur $[0, M]$ pour tout $M>0$. Est-elle normalement convergente sur $\mathbb R_+$ ?
  3. Montrer que $f$ est continue sur $\mathbb R_+$ puis qu'elle est dérivable et croissante sur $\mathbb R_+$.
  4. Soit $n \geq 1$ et $x_0 \geq n \geq 1$. Montrer que $f(x_0) \geq \displaystyle{\sum_{k=1}^n \dfrac 1{2\sqrt{k}}}$. En déduire que $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x) = +\infty}$.
  5. Montrer que $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow +\infty}\dfrac{f(x)}x =0}$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $u_n(\theta)=\frac{e^{in\theta}}{\sqrt{n}}$.
  1. Montrer que $\sum_{n\geq 1} u_n(\theta)$ converge uniformément sur tout intervalle $[a,2\pi-a]$, avec $a\in]0,\pi[$.
  2. Montrer que la convergence n'est pas uniforme sur $[0,2\pi]$ (on pourra utiliser la théorie des séries de Fourier et notamment le théorème de Parseval).
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Non-dérivabilité à droite d'une fonction limite [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère la série de fonctions $\sum_{n\geq 1}\frac{e^{-nt}}{1+n^2}$ et on note $f$ sa somme.
  1. Quel est le domaine de définition de $f$?
  2. Démontrer que $f$ est continue sur $\mathbb R^+$ et de classe $C^\infty$ sur $]0,+\infty[$.
  3. On fixe $A>0$.
    1. Justifier l'existence d'un entier $N\geq 1$ tel que $$\sum_{n=1}^N \frac{n}{1+n^2}\geq A.$$
    2. En déduire qu'il existe $\delta>0$ tel que, pour tout $h\in]0,\delta[$, $$\sum_{n=1}^N \frac{e^{-nh}-1}{h(1+n^2)}\leq -A+1.$$
    3. Démontrer que $f$ n'est pas dérivable en 0, mais que sa courbe représentative admet une tangente verticale au point d'abscisse 0.
  4. Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues et $2\pi$-périodiques, on définit leur produit de convolution par $$f\star g(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x-t)g(t)dt.$$ Dans toute la suite, $f$ désigne une telle fonction continue $2\pi-$périodique. Pour $k\in\mtz$, on note $e_k(x)=e^{ikx}$. On note $$S_n=e_{-n}+e_{-(n-1)}+\dots+e_0+\dots+e_{n-1}+e_n,\textrm{ }C_n=\frac{S_0+S_1+\dots+S_n}{n+1}.$$
  1. Montrer que $f\star S_n$ est un polynôme trigonométrique. Quel nom donne-t-on usuellement à $f\star S_n$?
  2. Montrer que si $x\notin \mtr\backslash 2\pi\mtz$, on a : $$C_n(x)=\frac{1}{n+1}\left(\frac{\sin((n+1)x/2)}{\sin(x/2)}\right)^2.$$
  3. Montrer que $C_n\geq 0$, que $\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi C_n(t)dt=1$, et que pour tout $\alpha\in]0,\pi]$, $C_n$ converge uniformément vers 0 sur $[-\pi,\pi]\backslash [-\alpha,\alpha]$.
  4. Montrer que $f\star C_n$ converge uniformément vers $f$ sur $\mtr$.
Ainsi, cet exercice prouve le théorème de Féjer : toute fonction continue $2\pi-$périodique est limite uniforme sur $\mtr$ de polynômes trigonométriques. En outre, il donne une suite qui réalise l'approximation uniforme - la suite des moyennes de Ces\`aro de la série de Fourier de $f$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(f_n)$ une \emph{suite croissante} (ie $f_n\leq f_{n+1}$) de fonctions continues sur un segment $[a,b]$ qui converge simplement vers une fonction $f$ continue. Pour $\veps>0$ et $n\geq 1$, on pose $$K_n(\veps)=\{x\in[a,b];\ |f(x)-f_n(x)|\geq \veps\}.$$
  1. Justifier que si pour tout $\veps>0$, il existe un entier $n$ tel que $K_n(\veps)=\varnothing$, alors $(f_n)$ converge uniformément vers $f$.
  2. Démontrer que $(f_n)$ converge uniformément vers $f$ sur $[a,b]$.
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Une drôle d'équation différentielle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On définit une suite $(u_n)$ de fonctions de $[0,1]$ dans $\mathbb R$ par $u_0(x)=1$ et pour tout $n\geq 0$, $$u_{n+1}(x)=1+\int_0^x u_n(t-t^2)dt.$$
  1. Montrer que, pour tout $x\in [0,1]$, $$0\leq u_{n+1}(x)-u_n(x)\leq \frac{x^{n+1}}{(n+1)!}.$$
  2. En déduire la convergence simple de la suite $(u_n)$ sur $[0,1]$. On note $u$ sa limite.
  3. Démontrer que la suite $(u_n)$ converge uniformément vers $u$ sur $[0,1]$ et que $u$ n'est pas identiquement nulle.
  4. Démontrer que $u$ est solution de l'équation différentielle $u'(x)=u(x-x^2)$.
Indication
Corrigé