$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Agrégation interne : séries numériques

Pour réviser
Enoncé
Etudier la convergence des séries $\sum u_n$ suivantes : $$\begin{array}{lllll} \displaystyle \mathbf 1.\ u_n=\frac{n}{n^3+1}&&\displaystyle \mathbf 2.\ u_n=\frac{\sqrt n}{n^2+\sqrt n}&&\displaystyle \mathbf 3.\ \dis u_n=n\sin(1/n)\\ \displaystyle \mathbf 4.\ u_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\ln\left(1+\frac{1}{\sqrt{n}}\right)&& \displaystyle \mathbf 5.\ u_n=\frac{\sqrt {n+1}-\sqrt{n}}{n}&&\displaystyle \mathbf 6.\ u_n=\frac{(-1)^n +n}{n^2+1}\\ \displaystyle \mathbf 7.\ u_n=\frac{1}{n!}&&\displaystyle \mathbf 8. \ u_n=\frac{\ln(n^n)}{n!}&& \displaystyle \mathbf 9.\ u_n=\ln\left(\frac{n^2+n+1}{n^2+n-1}\right) \end{array}$$
Corrigé
Exercice 2 - Avec des paramètres - 1 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Discuter, suivant la valeur des paramètres, la convergence des séries suivantes : $$\begin{array}{lll} \displaystyle \mathbf 1.\ e^{\frac 1n}-a-\frac{b}{n},\ a,b\in\mathbb R && \displaystyle \mathbf 2.\ \sqrt[3]{n^3+an}-\sqrt{n^2+3},\ a\in\mathbb R \end{array}$$
Corrigé
Exercice 3 - Une erreur classique... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Montrer que la série $\sum_n \frac{(-1)^n}{\sqrt n}$ converge.
  2. Démontrer que $\displaystyle \frac{(-1)^n}{\sqrt n+(-1)^n}=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}-\frac1n+\frac{(-1)^n}{n\sqrt n}+o\left(\frac 1{n\sqrt n}\right)$.
  3. Étudier la convergence de la série $\displaystyle \sum_n \frac{(-1)^n}{\sqrt n+(-1)^n}$.
  4. Qu'a-t-on voulu mettre en évidence dans cet exercice?
Indication
Corrigé
Enoncé
On considère deux suites complexes $(u_n)$ et $(v_n)$. On s'intéresse à la convergence de la série $\sum_n u_nv_n$. Pour $n\geq 1$, on note $s_n=\sum_{k=0}^n u_k$.
  1. Montrer que, pour tout $(p,q)\in\mathbb N^2$ tel que $p\leq q$, on a : $$\sum_{k=p}^q u_kv_k=s_qv_q-s_{p-1}v_p+\sum_{k=p}^{q-1}s_k(v_k-v_{k+1}).$$
  2. Montrer que si la suite $(s_n)$ est bornée, et si la suite $(v_n)$ est à valeurs dans $\mathbb R^+$, décroissante et de limite nulle, alors $\sum_n u_nv_n$ est convergente.
  3. Montrer que la série $\sum_{n\geq 1}\frac{\sin(n\theta)}{\sqrt n}$ converge pour tout $\theta\in\mathbb R$.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Somme partielle des séries de Riemann [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $\alpha\in\mathbb R$.
  1. Pour $\alpha<1$, déterminer un équivalent de $S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^\alpha}$.
  2. Pour $\alpha=1$, déterminer un équivalent de $S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^\alpha}$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On souhaite étudier, suivant la valeur de $\alpha,\beta\in\mathbb R$, la convergence de la série de terme général $$u_n=\frac{1}{n^\alpha(\ln n)^\beta}.$$
  1. Démontrer que la série converge si $\alpha>1$.
  2. Traiter le cas $\alpha<1$.
  3. On suppose que $\alpha=1$. On pose $T_n=\int_2^n \frac{dx}{x(\ln x)^\beta}$.
    1. Montrer si $\beta\leq 0$, alors la série de terme général $u_n$ est divergente.
    2. Montrer que si $\beta>1$, alors la suite $(T_n)$ est bornée, alors que si $\beta\leq 1$, la suite $(T_n)$ tend vers $+\infty$.
    3. Conclure pour la série de terme général $u_n$, lorsque $\alpha=1$.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Somme d'une série et produit de Cauchy [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $(a,b)\in\mathbb C^2$ tels que $|a|<1$ et $|b|<1$. Prouver que $$\left\{ \begin{array}{rcll} \displaystyle \frac{1}{(1-a)(1-b)}&=&\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}&\textrm{ si }a\neq b, \\ \displaystyle\frac{1}{(1-a)^2}&=&\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}{(n+1)a^n}&\textrm{ si }a=b. \end{array}\right.$$
Indication
Corrigé
Pour progresser
Enoncé
Soit $\sum_n u_n$ une série à termes positifs.
  1. On suppose que $\sum_n u_n$ converge. Prouver que, pour tout $\alpha>1$, $\sum_n u_n^\alpha$ converge.
  2. On suppose que $\sum_n u_n$ diverge. Prouver que, pour tout $\alpha\in]0,1[$, $\sum_n u_n^\alpha$ diverge.
Indication
Corrigé
Exercice 9 - Développement asymptotique de la série harmonique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On pose $H_n=1+\frac12+\dots+\frac1n$.
  1. Prouver que $H_n\sim_{+\infty}\ln n$.
  2. On pose $u_n=H_n-\ln n$, et $v_n=u_{n+1}-u_n$. Étudier la nature de la série $\sum_n v_n$. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente. On notera $\gamma$ sa limite.
  3. Soit $R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty} \frac{1}{k^2}$. Donner un équivalent de $R_n$.
  4. Soit $w_n$ tel que $H_n=\ln n+\gamma+w_n$, et soit $t_n=w_{n+1}-w_n$. Donner un équivalent du reste $\sum_{k\geq n}t_k$. En déduire que $H_n=\ln n+\gamma+\frac{1}{2n}+o\left(\frac1n\right)$.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Somme et développement asymptotique de la série des inverses des carrés [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le but de l'exercice est de calculer $\sum_{n\geq 1}\frac1{n^2}$ et de donner un développement asymptotique de la somme partielle $S_n=\sum_{k=1}^n \frac1{k^2}.$
    1. Soit $\alpha>1$ et $k\geq 2$. Démontrer que $$\int_{k}^{k+1}\frac{dt}{t^\alpha}\leq \frac1{k^\alpha}\leq \int_{k-1}^{k}\frac{dt}{t^\alpha}.$$
    2. En déduire que $$\sum_{k\geq n}\frac{1}{k^{\alpha}}\sim_{+\infty}\frac{1}{(\alpha-1)n^{\alpha-1}}.$$
  1. Soit $f$ une fonction de classe $C^1$ sur $[0,\pi]$. Démontrer que $$\int_0^\pi f(t)\sin\left(\frac{(2n+1)t}{2}\right)dt\longrightarrow_{n\to+\infty}0.$$
  2. On pose $A_n(t)=\frac12+\sum_{k=1}^n \cos(kt).$ Vérifier que, pour $t\in]0,\pi]$, on a $$A_n(t)=\frac{\sin\left((2n+1)t/2\right)}{2\sin(t/2)}.$$
  3. Déterminer deux réels $a$ et $b$ tels que, pour tout $n\geq 1$, $$\int_0^\pi (at^2+bt)\cos(nt)dt=\frac1{n^2}.$$ Vérifier alors que $$\int_0^\pi(at^2+bt)A_n(t)=S_n-\frac{\pi^2}6.$$
  4. Déduire des questions précédentes que $S_n\to \frac{\pi^2}6.$
  5. Déduire des questions précédentes que $$S_n=\frac{\pi^2}6-\frac1n+o\left(\frac 1n\right).$$
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Règle de Raabe-Duhamel [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite à termes positifs telle qu'il existe $a\in\mathbb R$ vérifiant $$\frac{u_{n+1}}{u_n}=1-\frac an+o\left(\frac1n\right).$$
  1. On suppose $a>1$. Soit $b\in]1,a[$ et posons $v_n=\frac1{n^b}$. Comparer $u_n$ et $v_n$. En déduire que $\sum_n u_n$ converge si $a>1$.
  2. Démontrer que $\sum_n u_n$ diverge si $a<1$.
  3. En utilisant les séries de Bertrand, montrer que le cas $a=1$ est douteux.
  4. On suppose que $\frac{u_{n+1}}{u_n}=1-\frac1n+O\left(\frac1{n^2}\right).$ On pose $v_n=\ln(nu_n)$ et $w_n=v_{n+1}-v_n$.
    1. Montrer que $w_n=O\left(\frac1{n^2}\right)$.
    2. En déduire que $u_n\sim \frac{\lambda}{n}$ avec $\lambda>0$ et que $\sum u_n$ est divergente.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Étude d'une suite récurrente [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(u_n)$ une suite réelle telle que $u_0\in]0,\pi[$ et $u_{n+1}=\sin u_n$, pour $n\geq 0$.
  1. Etudier la convergence de $(u_n)$.
  2. Montrer que $u_{n+1}/u_n$ tend vers 1. Calculer la limite de $\frac{u_n+u_{n+1}}{u_n}$.
  3. Montrer que $\frac{u_n-u_{n+1}}{u_n^3}$ tend vers 1/6.
  4. En déduire que $\frac{1}{u_{n+1}^2}-\frac{1}{u_n^2}$ tend vers 1/3.
  5. Montrer que l'on a $\lim(\sqrt{n}u_n)=\sqrt{3}.$
Indication
Corrigé