$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Agrégation interne : séries entières, séries de Fourier

Pour réviser
Exercice 1 - Rayon de convergence - 1 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes : $$\begin{array}{lll} \mathbf{1.}\ \sum_{n\geq 1}\frac{1}{\sqrt{n}}x^n& \mathbf{2.}\ \sum_n\frac{n!}{(2n)!}x^n&\mathbf{3.}\ \sum_{n\geq 1} \frac{n!}{2^{2n}\sqrt{(2n)!}}x^n\\ \mathbf {4.}\ \sum_{n}(\ln n) x^n&\mathbf{5.}\ \sum_n\frac{\sqrt nx^{2n}}{2^n+1}& \mathbf{6.}\ \sum_n(2+ni) z^n\\ \mathbf{7.}\ \sum_n\frac{(-1)^n}{1\times 3\times\dots\times (2n-1)}z^n\\ \end{array}$$
Indication
Corrigé
Enoncé
Développer en série entière au voisinage de 0 les fonctions suivantes. On précisera le rayon de convergence de la série entière obtenue. $$\begin{array}{lcl} \mathbf{1.}\ln(1+2x^2)&\quad&\mathbf{2.}\displaystyle \frac{1}{a-x}\textrm{ avec }a\neq 0\\ \mathbf{3.}\ln(a+x) \textrm{ avec }a> 0&\quad&\mathbf{4.}\displaystyle \frac{e^x}{1-x}\\ \mathbf{5.}\ln(1+x-2x^2)&\quad&\mathbf{6.}\displaystyle(4+x^2)^{-3/2} \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Rayon de convergence et somme - 1 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour les séries entières suivantes, donner le rayon de convergence et exprimer leur somme en termes de fonctions usuelles : $$\begin{array}{llllll} \mathbf{1.}\quad\sum_{n\geq 0}\frac{n-1}{n!}x^n&\quad\quad& \mathbf{2.}\quad \sum_{n\geq 0}\frac{n+2}{n+1}x^n&\quad\quad& \mathbf{3.}\quad \sum_{n\geq 0}\frac{(n+1)(n-2)}{n!}x^n\\ \mathbf{4.}\quad\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n+1}}{2^n n!}x^{2n} \end{array}$$
Indication
Corrigé
Exercice 4 - L'anneau des séries entières est intègre [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On note $\mathcal A$ l'ensemble des séries entières (à coefficients complexes) de rayon de convergence supérieur ou égal à 1. L'addition et le produit de Cauchy de deux séries entières munissent $\mathcal A$ d'une structure d'anneau. Montrer que $\mathcal A$ est intègre.
Indication
Corrigé
Exercice 5 - Calcul de la somme d'une série [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère la série entière $f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n(2n+1)}x^{2n+1}$.
  1. Quel est son rayon de convergence, que l'on notera $R$? Y-a-t-il convergence aux bornes de l'intervalle de définition?
  2. Sur quel intervalle la fonction $f$ est-elle \emph{a priori} continue? Démontrer qu'elle est en réalité continue sur $[-R,R]$.
  3. Exprimer, au moyen des fonctions usuelles, la somme de la série dérivée sur $]-R,R[$. En déduire une expression de $f$ sur $]-R,R[$.
  4. Calculer $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n(2n+1)}$.
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Avec des séries entières [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On considère l'équation différentielle $$xy''-y'+4x^3 y=0\quad\quad (E)$$ dont on se propose de déterminer les solutions sur $\mathbb R$.
  1. Question préliminaire : soient $a,b,c,d$ 4 réels et $f:\mathbb R^*\to\mathbb R$ définie par $$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} a\cos(x^2)+b\sin(x^2)&\textrm{ si }x>0\\ c\cos(x^2)+d\sin(x^2)&\textrm{ si }x<0 \end{array}\right. $$ A quelle condition sur $a,b,c,d$ la fonction $f$ se prolonge-t-elle en une fonction de classe $C^2$ sur $\mathbb R$?
    On recherche les solutions de $(E)$ qui sont développables en série entière au voisinage de 0. On note $x\mapsto \sum_{n=0}^{+\infty}a_n x^n$ une telle solution, lorsqu'elle existe, et on désigne par $R$ son rayon de convergence.
  2. Montrer qu'il existe une relation de récurrence, que l'on explicitera, entre $a_{n+4}$ et $a_n$.
  3. Pour $p\in\mathbb N$, déterminer $a_{4p+1}$ et $a_{4p+3}$.
  4. Pour $p\in\mathbb N$, déterminer $a_{4p}$ en fonction de $a_0$ et de $p$ (respectivement $a_{4p+2}$ en fonction de $a_2$ et $p$).
  5. Quel est le rayon de la série entière obtenue? Exprimer la comme combinaison linéaire de deux fonctions "classiques".
  6. Soit $S$ le $\mathbb R$-espace vectoriel des applications de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ qui sont solutions de $(E)$ sur $\mathbb R$. Préciser une base de $S$.
Indication
Corrigé
Exercice 7 - Application aux calculs de séries [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Déterminer la série de Fourier de la fonction périodique de période $2\pi$ définie par $f(x)=x^2$ pour $-\pi\leq x\leq \pi$. En déduire la somme des séries $\dis \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2}$, $\dis \sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2},\ \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^4}$.
Indication
Corrigé
Exercice 8 - Régularité et décroissance des coefficients - avec indications [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une application continue et $2\pi$-périodique.
  1. Démontrer que $(c_n(f))$ tend vers 0 lorsque $|n|$ tend vers $+\infty$.
  2. On suppose que $f$ est $C^k$. Établir une relation entre les coefficients de Fourier de $f$ et ceux de $f^{(k)}$.
  3. En déduire que si $f$ est de classe $C^\infty$, alors $c_n(f)=o(1/n^k)$ pour tout entier $k$.
  4. Réciproquement, on suppose que $c_n(f)=o(1/n^k)$ quand $|n|\to+\infty$ pour tout entier $k$ et on pose $S(x)=\sum_{n\in\mathbb Z}c_n(f)e^{inx}$.
    1. Calculer les coefficients de Fourier de $S$.
    2. Démontrer que $S$ est de classe $C^\infty$.
    3. En utilisant le théorème de Parseval, démontrer que deux fonctions continues qui ont les mêmes coefficients de Fourier sont égales.
    4. En déduire que $f=S$ et donc que $f$ est de classe $C^\infty$.
  5. Quel théorème a-t-on démontré dans cet exercice?
Corrigé
Pour progresser
Exercice 9 - Étude pratique de la somme d'une série entière [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $$f:x \mapsto \sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\sin \left( {\frac{1}{{\sqrt n }}} \right)x^n } .$$
  1. Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série entière définissant $f$.
  2. Etudier la convergence en $ - R$ et en $R$.
    1. Soit $M>0$. Montrer qu'il existe un entier $N\geq 1$ et un réel $\delta>0$ tel que, pour tout $x\in]1-\delta,1[$, alors $$\sum_{n=1}^N \sin \left( {\frac{1}{{\sqrt n }}} \right) x^n\geq M.$$
    2. En déduire la limite de $f(x)$ quand $x \to 1^ - $.
    1. On considère la série entière $$g:x\mapsto \sum_{n=2}^{+\infty} \left[\sin\left(\frac 1{\sqrt n}\right)-\sin\left(\frac 1{\sqrt{n-1}}\right)\right]x^n.$$ Démontrer que cette série converge normalement sur $[0,1]$.
    2. En déduire que $\lim_{x\to 1^-}(1 - x)f(x)=0$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(a_n)$ une suite de réels tel que $\sum_n a_n x^n$ soit de rayon de convergence $1$. On note $f$ la somme de cette série entière. On suppose de plus que la série numérique $\sum_n a_n$ converge et on note $$R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}a_k.$$
  1. Démontrer que, pour tout $x\in[0,1[$ et tout $n\geq 1$, on a $$f(x)-\sum_{k=0}^{+\infty}a_k=\sum_{k=0}^n a_k(x^k-1)+(x-1)\sum_{k=n+1}^{+\infty}R_k x^k+R_n(x^{n+1}-1).$$
  2. En déduire que $$\lim_{x\to 1^-}f(x)=\sum_{k=0}^{+\infty}a_k.$$
Indication
Corrigé
Exercice 11 - Une fonction non développable en série entière [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}e^{-n}e^{n^2ix}$.
  1. Justifier que $f$ est une fonction de classe $C^\infty$ sur $\mathbb R$.
  2. Montrer que, pour chaque $k$, $\frac{|f^{(k)}(0)|}{k!}\geq k^k e^{-k}$.
  3. En déduire que $f$ n'est pas développable en série entière en 0.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Nombre de dérangements [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour tous les entiers $k$ et $n$ tels que $n\geq 1$ et $0\leq k\leq n$, on note $D_{n,k}$ le nombre de bijections (ou permutations) $s$ de l'ensemble $\{1,\dots,n\}$ ayant $k$ points fixes, c'est-à-dire telles que $$k=\textrm{card}\big\{i\in\{1,\dots,n\};\ s(i)=i\big\}.$$ On pose $D_{0,0}=1$ et $d_n=D_{n,0}$. $d_n$ désigne le nombre de dérangements, c'est-à-dire de permutations sans point fixe.
  1. Dresser la liste de toutes les permutations de $\{1,2,3\}$ et en déduire la valeur de $D_{3,0}$, $D_{3,1}$, $D_{3,2}$ et $D_{3,3}$.
  2. Montrer que $n!=\sum_{k=0}^n D_{n,k}$.
  3. Montrer que $D_{n,k}=\binom{n}{k}D_{n-k,0}$.
  4. Montrer que la série entière $\sum_{n\geq 0}\frac{d_n}{n!}z^n$ a un rayon de convergence supérieur ou égal à 1.
  5. On pose $f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{d_n}{n!}x^n$. Montrer que $(\exp x)f(x)=\frac{1}{1-x}$ pour $|x|<1$.
  6. En déduire que $d_n=n!\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k!}$.
  7. Soit $p_n$ la probabilité pour qu'une permutation prise au hasard soit un dérangement. Quelle est la limite de $p_n$ quand $n$ tend vers $+\infty$?
Indication
Corrigé
Exercice 13 - Inégalité de Wirtinger [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:\mtr\to\mtc$ une application $2\pi-$périodique de classe $C^1$ telle que $\int_0^{2\pi}f(t)dt=0$. Montrer que $$\int_0^{2\pi}|f(t)|^2dt\leq \int_0^{2\pi}|f'(t)|^2dt,$$ et caractériser l'égalité.
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Séries de Fourier et équations différentielles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le but de l'exercice est de déterminer si l'équation différentielle $(E)$ $$y''+e^{it}y=0$$ admet des solutions $2\pi$-périodiques.
    1. Montrer que la série trigonométrique $\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(n!)^2}e^{int}$ converge uniformément sur $\mathbb R$ vers une fonction $f$ $2\pi$-périodique.
    2. Montrer que la fonction $f$ est de classe $C^2$ et qu'elle est solution de $(E)$.
  1. Soit $g:\mathbb R\to\mathbb C$ une solution $2\pi$-périodique de classe $C^2$ de $(E)$. On désigne par $\sum_{n\in\mathbb Z}c_n(g)e^{int}$ et $\sum_{n\in\mathbb Z}c_n(g'')e^{int}$ les séries de Fourier respectives de $g$ et de $g''$.
    1. Exprimer $c_n(g'')$ en fonction de $c_n(g)$.
    2. En utilisant que $g$ est solution de $(E)$, exprimer $c_n(g'')$ en fonction de $c_{n-1}(g)$.
    3. En déduire que l'ensemble des solutions $2\pi$-périodiques de $(E)$ est l'espace vectoriel de dimension 1 engendré par la fonction $f$.
  2. $(E)$ possède-t-elle des solutions qui ne sont pas $2\pi$-périodiques?
Indication
Corrigé
Enoncé
On se propose dans cet exercice d'étudier la convergence de la série de Fourier de la fonction impaire, $2\pi$-périodique, définie par $$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 1&\textrm{ si }x\in]0,\pi[\\ 0&\textrm{ si }x=k\pi,\ k\in\mathbb Z. \end{array}\right.$$
  1. Question préliminaire :
    1. Montrer que, pour tout $x\in[0,\pi/2]$, on a $\sin(x)\geq\frac{2}\pi x.$
    2. Montrer que, pour tout $x\in\mathbb R$, on a $|\sin x-x|\leq \frac{|x|^3}6.$
    3. Soit $h_n$ la fonction définie sur $[0,\pi]$ par $$h_n(t)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{\sin t}{(2n)\sin\left(\frac{t}{2n}\right)}&\textrm{ si }t\neq 0\\ 1&\textrm{si }t=0. \end{array}\right.$$ Déduire des questions précédentes que $(h_n)$ converge uniformément sur $[0,\pi]$ vers une fonction $h$ que l'on précisera.
  2. Calculer la série de Fourier de $f$ et prouver qu'elle converge simplement vers $f$. Y-a-t-il convergence uniforme?
  3. Soit $S_n$ la $(2n-1)$-ième somme partielle de la série de Fourier de $f$, $$S_n(x)=\frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^n \frac{\sin\big((2k-1)x\big)}{2k-1}.$$ Justifier que $S_n$ est dérivable sur $\mathbb R$ et que sa dérivée vérifie $$S_n'(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{2}\pi\times\frac{\sin(2nx)}{\sin x}&\textrm{ si }x\notin\pi\mathbb Z\\ \frac{(-1)^q 4n}\pi&\textrm{ si }x=q\pi,\ q\in\mathbb Z. \end{array}\right.$$ En déduire que $S_n$ présente $(2n-1)$ extrema locaux sur l'intervalle $]0,\pi[$. Montrer que le premier d'entre eux est un maximum et qu'il est atteint en $x_n=\frac{\pi}{2n}$. On posera pour la suite $a_n=S_n(x_n)$.
  4. Montrer que, pour tout $x\in[0,\pi[$, on a $$S_n(x)=\frac2\pi\int_0^x\frac{\sin(2nt)}{\sin t}dt.$$ En déduire que $$a_n=\frac{2}\pi\int_0^{\pi}\frac{\sin t}{(2n)\sin\left(\frac{t}{2n}\right)}dt.$$
  5. Montrer que $\lim_{n\to+\infty}a_n=\frac2\pi\int_0^{\pi}\frac{\sin t}tdt.$
On peut vérifier que $\frac2\pi\int_0^{\pi}\frac{\sin t}tdt>1.$
Indication
Corrigé